【正文】 顯示出等波紋性，階次可以比較低。其中權(quán)系 數(shù) w由通帶和阻帶波動 Ap、 Ar決定。 不同的窗函數(shù) 數(shù)生成的過渡帶寬和阻帶最小衰減是不同的 ， 窗函數(shù)有截短和平滑的作用，窗函數(shù)選擇的好，可以在相同階次的情況下，提高濾波器的性能，或是在滿足設(shè)計要求的情況下，減少濾波器階數(shù) 。 FIR 數(shù)字濾波器的 最優(yōu)化設(shè)計 本節(jié)將介紹優(yōu)化設(shè)計的三種最優(yōu)化設(shè)計方法：均方誤差最小化準(zhǔn)則、最大誤差最小化準(zhǔn)則、切比雪夫最佳一致逼近。 說到逼近，就有一個逼近的還壞問題。我們前面講過的窗函數(shù)法和頻率抽樣法都是想給出逼近方法、所需變量，然后再討論其逼近特性， 如果反過來要求在某種準(zhǔn)則喜愛設(shè)計濾波器各參數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計的概念。在 FIR濾波器最優(yōu)化設(shè)計中，常用的準(zhǔn)則有最小均方誤差準(zhǔn)則和最大化誤差最小化準(zhǔn)則。 這一方法注重的是整個 ??— 頻率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點的性能，有些頻點可能會有較大的誤差。 所以，矩形窗設(shè)計法是一個最小均方誤差 FIR設(shè)計，根據(jù)前面的討論，其優(yōu)點是過渡帶較窄、陡，缺點是局部點誤差大，或者說誤差分布不均勻。上式的意義是通過改變 N個采樣頻率，使頻率響應(yīng)在給定頻率 范圍內(nèi)最大比較誤差達(dá)到最小。但它只是通過改變過渡帶的一個或幾個采樣值來調(diào)整濾波器的特性；如果所有頻率采樣值都可調(diào)整，從理論上講，濾波器的性能顯然可以進一步提高。顯然，第二種濾波器的階數(shù)一定比第一種高。逼近誤差均勻分布的濾波器叫做等波紋濾波器。設(shè)理想濾波器的單位響應(yīng)在時域表達(dá)為 hd(n),則 hd(n) 一般是無限長的，且是非因果的，不能直 接作為FIR 濾波器的單位脈沖響應(yīng)。按照線性相位濾波器的要求，線性相位 FIR數(shù)字低通濾波器的單位抽樣響應(yīng) h(n)必須是偶對稱的。窗函數(shù)法的設(shè)計過程如下 ()( ) ( ) ( ) ( )I D TF T n D TF TjjddH e h n h n H e?? ? ????? ???? ???? 其中 )( ?jd eH 是理想濾波器的頻率響應(yīng)， H( je? )是設(shè)計出的實際濾波器的頻響。其核心就是從給定的頻率特性確定有限長單位脈沖響應(yīng)序列 h(n)，即用一個有限長度的窗口函數(shù)序列 hd(n)來截取一個無限長的序列 hd(n)獲得一個有限長序列 h(n)，即 h(n)= hd(n)?W(n) 并且要滿足以下條件，也就是窗函數(shù)所必須滿足的特性： (1)窗譜主瓣盡可能地窄，以獲得較陡的過渡帶； (2)盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度，也就是能量盡量集中于主瓣，使肩峰和紋波減小，就可增多阻帶的衰減。 這就給窗函數(shù)序列的形狀和長度選擇提出了嚴(yán)格的要求。再用 (6)式求出其脈沖響應(yīng)序列的表達(dá)式 : 畢業(yè)論文（ 設(shè)計） 26 ( ) ( )2 T j T j TdTTh n T H e e d? ? ? ?? ?? ?? ? 這時，定義數(shù)據(jù)窗為向量 ω=[ω(0),ω(1) ， ? ,ω(N)] ，拓展 ω 為偶函數(shù)窗，即 ω(n)=ω(n) 。1 ， ? ， 177。 流程圖 表 1 窗函數(shù)仿真設(shè)計步驟流程圖 窗函數(shù)的 種類及 理論根據(jù) 常用窗函數(shù)有如下幾種 [8]：矩形窗（ Rectangle Window)、三角窗 (Bartlett Window)、漢寧窗 (Hanning Window)、海明窗 (Hamming Window)、布萊克曼窗(Blackman Window)、凱澤窗 (Kaiser Window)( β=7 ． 865)，各種窗函數(shù)基本參數(shù)比較如下表 : 畢業(yè)論文（ 設(shè)計） 27 窗函數(shù) 頻譜性能指標(biāo) 加窗后濾波器性能指標(biāo) 旁瓣 峰值 主瓣 寬度 過渡帶寬 △ω 阻帶最 小衰減 /dB /(2π/N) /(2π/N) / dB 矩形窗 13 2 21 三角形窗 25 4 25 漢寧窗 31 4 44 海明窗 41 4 53 布萊克曼窗 57 6 74 凱澤窗 （ β= ） 57 5 80 表 2 常用窗函數(shù)基本參數(shù) 1）矩形窗 矩形窗的頻域 響應(yīng)為 其主瓣寬度為 。 fir1和 fir2 1） fir1。 b=fir1（ n， Wn）得到 n 階低通 FIR 濾波器，調(diào)用后返回維數(shù)為 n+1 的行向量 b，它是濾波器的系數(shù)。 2） fir2函數(shù)，其調(diào)用格式為： ? b=fir2(n,f,m) ? b=fir2(n,f,m,window) ? b=fir2(n,f,m,npt) ? b=fir2(n,f,m,npt,window) ? b=fir2(n,f,m,npt,lap) ? b=fir2(n,f,m,npt,lap,window) 格式中， n為濾波器階數(shù)； f和 m分別為濾波器期望幅頻響應(yīng)的頻率向量和幅值向量，取值在 0～ 1間， m和 f長度相同； window為窗函數(shù)，列向量，長度必須是（ n+1）；默認(rèn) 時自動取 hamming； npt為對頻率響應(yīng)進行內(nèi)插點數(shù)，默認(rèn)時為 512；lap定義一個區(qū)域尺寸，默認(rèn)為 25； b為 FIR濾波器系數(shù)向量，長度為 n+1。一般假設(shè)理想低通濾波器的截止頻率為 c? ，其幅頻特性為： ??? ?? ??? ??? ??? 0 0,0 0,1)( jd eH 畢業(yè)論文（ 設(shè)計） 31 )( )](s i n[2 1)( an andenh jd c c ? ??? ?? ? ??? ?? ? （ 2） 由性能指標(biāo)確定窗函數(shù) )(nW 和窗口長度 N， 根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計窗口長度 N。因過渡帶 Δw 近似于窗口長度 N成反比， N≈A/Δw ， A決定于窗口形式。按照過渡帶及阻帶衰減情況，選擇窗函數(shù)形式。 （ 3） 求濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n) h(n)= hd(n)?W(n) h(n)即為所設(shè)計的 FIR濾波器系數(shù)向量 h(n)式中 W(n)是上面選擇好的窗函數(shù)。如要求 h(n)對 (N1)/2奇對稱，只要保證 hd(n)對 (N1)/2奇對稱就可以了。如果 )( ?jd eH 不滿足要求，根據(jù)具體情況重復(fù)（ 2）（ 3）（ 4）步，直到滿足要求 。 （ 1) MATLAB 中濾波器設(shè)計的函數(shù)采用的是歸一化頻率。 31 ( ) 2 4 1 0 ( / s e c )2c p s t r a d?? ? ? ? ? ? ? ? 其對應(yīng)的數(shù)字頻率為 2 0 .3 7 5ccc ssf? ? ???? ? ?? 由此可得 ? ?11() 22 ccjnj j ndh n e e d e d?? ??? ? ? ???? ???????? ? ?1 sin ( ) ,(){,ccnnnn? ? ???? ??????? 其中， ? 為線性相位所必需的移位，我們已經(jīng)知道其滿足 12N? ?? （ 3） 由阻帶衰減 As來確定窗形狀，由過渡帶寬確定 N 畢業(yè)論文（ 設(shè)計） 33 由 As=40dB 可知，漢寧窗、海明窗、布萊克曼窗均滿足要求。 海明窗 2( ) [ 0 . 5 4 0 . 4 6 c o s ( ) ] ( )1Nnn R nN ?? ?? ? 1sin[ ( ) ]2() 1()2cdNnhn Nn????? ?? s in [ 0 . 3 7 5 ( 2 6 ) ] 2( ) ( ) ( ) [ 0 . 5 4 0 . 4 6 c o s ( ) ] ( )( 2 6 ) 1dN nnh n h n n R nnN??? ? ?? ? ? ? ???（ 5） 由 ()hn 求 ()jHe? 檢驗各項指標(biāo)是否滿足要求，如不滿足要求要改變 N ，或改變窗形狀（或兩者都改變）來重新計算。f2=200。 %采樣頻率 m=(*f1)/(fs/2)。 %定義窗函數(shù)的長度 N=M1。 %使用 fir1函數(shù)設(shè)計 濾波器 %輸入的參數(shù)分別是濾波器的階數(shù)和截止頻率 figure(1) [h,f]=freqz(b,1,512)。頻率 /赫茲 39。 ylabel(39。)。濾波器的增益響應(yīng) 39。 figure(2) subplot(211) t=0:1/fs:。 %濾波前信號 plot(t,s)。時間 /秒 39。 ylabel(39。)。信號濾波前時域圖 39。 subplot(212) Fs=fft(s,512)。 %信號頻域圖的幅值 f=(0:255)*fs/512。頻率 /赫茲 39。 ylabel(39。)。信號濾波前頻域圖 39。 figure(3) sf=filter(b,1,s)。時間 /秒 39。 畢業(yè)論文（ 設(shè)計） 35 ylabel(39。)。信號濾波后時域圖 39。 axis([ 2 2])。 %濾波后的信號頻域圖 AFsf=abs(Fsf)。 %頻率采樣 plot(f,AFsf(1:256)) %濾波后的信號頻域圖 xlabel(39。)。幅度 39。 title(39。)。一個模擬帶通濾波器的例子是電阻 電感 電容電路 (RLC circuit)。比如 RLC 振蕩回路就是一個模擬帶通濾波器。但是實際上，沒有 真正意義的理想帶通濾波器。事實上，在理想通帶邊界有一部分頻率衰減的區(qū)域，不能完全過濾，這一曲線被稱做滾降斜率 (rolloff)。一般情況下，濾波器的設(shè)計就是把這一衰減區(qū)域做的盡可能的窄，以便該濾波器能最大限度接近完美通帶的設(shè)計。 理想帶通的頻率響應(yīng)： ??? ????? ? ? ??????? 其它,00,)( 21jjd eeH 單位抽樣響應(yīng)： ? ? ? ?? ??????????????????????????nnnnnnh d),(1,)(s i n)(s i n)1( 1)(1212 帶通濾波器 ），（ 2,1 ?? =低通濾波器 (ω2)低通濾波器 (ω1) 畢業(yè)論文（ 設(shè)計） 38 利用 MATLAB 編程設(shè)計一個數(shù)字帶通濾波器 ： Rs=。 %采樣頻率 fcuts=[1000 1300 2210 2410]。 dev=Rs*ones(1,length(a))。 %M為能夠滿足設(shè)計要求的濾波器的最小階數(shù)， Wc為濾波器的截止頻率點 %第一個元素 f為待設(shè)計濾波器的過渡帶的起始點和結(jié)束點 %第二個元素 a指定第一個元素頻率段的理想幅度值 %第三個元素 dev中的元素為各通帶和阻帶內(nèi)允許的幅度最大誤差 M=mod(M,2)+M。 b=fir1(M,Wc,ftype,window)。 %濾波器的幅頻特性圖 [H,W]=freqz(b,a,M) %當(dāng) N 是整數(shù)時函數(shù)返回 N點的頻率向量和幅頻響應(yīng)向量 figure(1) plot(f*fs/(2*pi),20*log10(abs(h)))。頻率 /赫茲 39。 ylabel(39。)。濾波器的增益響應(yīng) 39。 f1=500。f3=2020。 %待濾波正弦信號頻率 t=(0:200)/f