【正文】 ，則 z 向量的長度為 N1. 利用該函數(shù)，可以設(shè)計 n 階橢圓濾波器，濾波器的傳遞系數(shù)為： ? ? ( ( 1 ) ) ( ( 2 ) ) ( ( n ) )( ( 1 ) ) ( ( 2 ) ) ( ( n ) )s z s z s zk s p s pHs sp? ? ? ?? ? ? ? ? （ 2 9） 根據(jù)基本原理設(shè)計并繪制橢圓低通模擬濾波器的幅頻響應(yīng)曲線，設(shè)計階數(shù)還是分別取作 2,4,6,8。運行效果如圖 27 所示。遺憾的是通帶和阻帶的并不夠單調(diào)平滑，在通帶和阻帶內(nèi)均勻等波紋。 模擬濾波器的簡介中，體現(xiàn)了濾波 器設(shè)計的基本思想，為之后研究數(shù)字濾波器的設(shè)計鋪墊了一定的理論基礎(chǔ)和研究思路。 但伴隨數(shù)字信號處理的不斷發(fā)展，其超越模擬系統(tǒng)的優(yōu)勢逐漸顯現(xiàn)出來。對模擬濾波器的介紹可以熟悉濾波器的參數(shù)，以求對濾波過程建立基本了解。這也是模擬濾波器的一個作用。 例如精度高，靈活性可靠性強，能夠達到高性能的技術(shù)指標(biāo)，便于時分復(fù)用， 和 大規(guī)模集成生產(chǎn)。 ③ FIR 濾波器響應(yīng)有限，利于編成，計算延遲相對較小。 ⑤ 因為有 限，所以可以采用快速傅里葉變換。故而實踐起來方便有效，成為一種非常常見的數(shù)字濾波器。 ⑦ FIR 的極點只能在圓點，所以只能通過調(diào)節(jié)零點來調(diào)整濾波器性能。 在一定的時延的背景下，任意的信號都可以變成有限長序列，所以總能用因果系統(tǒng)進行實現(xiàn)。 二、 FIR 的 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 目前， FIR 濾波器的基本結(jié)構(gòu)主要有三種：直聯(lián)型，級聯(lián)型和頻率抽樣型結(jié)構(gòu)。其系統(tǒng)的差分表達式為： 10( ) ( ) ( )Nmy n h m x n m????? （ 3 1） 在結(jié)構(gòu)中，輸出 y(n)是每個沿著這條鏈的抽頭信號由相應(yīng)的系數(shù)（脈沖響應(yīng)）加權(quán)，然后將所得乘積相加得到。 直接型 對其他參數(shù)的控制，例如，零點位置等，沒有 其他結(jié)構(gòu)有優(yōu)勢。 其結(jié)構(gòu)如下圖： 圖 3 1 直接型結(jié)構(gòu) ⒉ 級聯(lián)型 如將系統(tǒng)函數(shù) H(z)分解成實系數(shù)二階因子的乘積形式比可以得到： 21 120 1 20 1( ) ( ) ( )NN nk k kn kH z h n z z z? ? ?????? ??? ? ?? ?? ? ? ?? ? （ 3 2） 從表達式中和結(jié)構(gòu)框圖中可以看出，由于乘積項的存在，這種結(jié)構(gòu)里每一個節(jié)點都控制著一對零點，因而可以采用它設(shè)計需要控制零點的濾波器，比直接型方便。當(dāng)階數(shù) N 較高時，不易分解，所以目前還沒有直接型使用普遍。由抽樣定理，我們知道要想保證信號不失真，就必須保證在頻率域內(nèi)采樣點數(shù) N大于等于原序列的長度 M，此時原序列 H(z)與頻率采樣值需 H(k)滿足下列關(guān)系式： 1 101( ) (1 ) ( ) / 1NNk NkH z z H k W zN?? ? ??? ? ?? （ 3 3） 該式又被稱作是 H(z)的內(nèi)插公式。01( ) ( ) ( )NckkH z H z H zN??? ? （ 3 4） 從框圖中可以看到， H(z)是由 N 個一階網(wǎng)絡(luò) 39。 圖 3 3 FIR 濾波器頻率采樣結(jié)構(gòu) 頻率采樣性結(jié)構(gòu)相對于其他結(jié)構(gòu)主要的優(yōu)勢在于，它通過直接調(diào)整乘法器的系數(shù)來有效的改變頻響特性。其缺點是，有限的字長可能不會使零極點完全對消，相應(yīng)的也就面臨系統(tǒng)不穩(wěn)定的風(fēng)險。 三、 FIR 濾波器的線性相位 如果 FIR 濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n)為實數(shù)序列，并滿足一定的對稱性（可以是偶對稱也可以是奇 對稱）。面對取值 N 的不同， h(n)可以被劃分為四種情況，它們 分別 對應(yīng)了四種線性相位的濾波器。 H(0) 1?z 1?z H(N1) 1?z y(n) 1??NNW 1?NW 0NW Nz?? x(n) . . 1. 時域特點 FIR 的時域特點可以歸結(jié)為以下兩類： ( ) ( 1 ) 1()1 2()2h n h N n Nh n nN? ? ?? ? ? ?? ?????? ???? ?第 一 類 關(guān) 于 偶 對 稱 ( ) ( 1 ) 1()1 2()22h n h N n Nh n nN?? ? ?? ? ? ? ?? ?????? ?? ? ?? ?第 二 類 關(guān) 于 奇 對 稱 群時延定義為 ( ) 12dNd?? ?? ??? ，是一個常數(shù)，所以在此將第一類和第二類線性相位的特征統(tǒng)稱為恒定群時延特性。 2. 頻域特點 將線性相位具體分為四類，并在頻域上做出分析將特點歸納如下： ( ) = 0 , , 2( ) = ( ) 0( ) = 0 , , 2( ) = 0, 2 =gggggNHN H HNH? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???? ????????為 奇 數(shù) （ 情 況 1 ） ： 關(guān) 于 三 點 偶 對 稱第 一 類為 偶 數(shù) （ 情 況 2 ） ： 關(guān) 于 奇 對 稱 （ ）為 奇 數(shù) （ 情 況 3 ） ： 關(guān) 于 三 點 奇 對 稱第 二 類為 偶 數(shù) （ 情 況 4 ） ： 關(guān) 于 奇 對 稱 ， 關(guān) 于 偶 對 稱 綜合以上特點可以將四種線性相位的 FIR 濾波器的特點總結(jié)如下表 3 1： 表 3 1 四種線性相位 FIR 濾波器的特性 . . 3. 結(jié)論 針對以上分析的四種 FIR 濾波器各自的特點和濾波器實現(xiàn)的功能，可以把濾波器設(shè) 計的結(jié)論歸納出以下幾點： ① 情況 1：對稱脈沖響應(yīng)， N 為奇數(shù)。滿足 ( ) 0gH ? ? ，因此不能實現(xiàn)高通，帶阻濾波器 . . ③ 情況 3：反對稱脈沖響應(yīng)， N 為奇數(shù)。能夠?qū)崿F(xiàn)帶通濾波器。 ④ 情況 4：反對稱脈沖響應(yīng)， N 為偶數(shù)。 總之，在第 3,4 種情況中，都是反對成脈沖響應(yīng)，對于任何頻率都有固定的 n/2相移，通常采用這兩種情況設(shè)計微分器和 90176。如果只是設(shè)計一般的選頻濾波器大多采用第 1,2 種情況。而帶通濾波器可以任選。 表 3 2 四種線性相位與四種選頻濾波器設(shè)計對應(yīng)關(guān)系 選頻類型 線性相位 低通 高通 帶通 帶阻 情況 1 √ √ √ √ 情況 2 √ √ 情況 3 √ 情況 4 √ √ 為了方便設(shè)計的使用， MATLAB 就以上討論的四種線性相位單獨定義了 4 種輔助函數(shù)。從數(shù)字上可以明顯的看出對應(yīng)關(guān)系。 第二節(jié) 窗函數(shù)設(shè)計 FIR 濾波器 分析 一、 窗函數(shù)設(shè)計思想 FIR 濾波器在設(shè)計中，其主要任務(wù)就是根據(jù)給定的性能指標(biāo)確定濾波器的系數(shù)，以及系統(tǒng)單位脈沖序列 h(n)，特別的，它是一個有限長的序列。 對應(yīng)單位脈沖響應(yīng)序列。因此還可以得到： π1( n ) ( )2 jddh H e d? ? ???? ? （ 3 6） 但是 錯誤 !未找到引用源。所以可采取函數(shù) ()wn 將無線脈沖響應(yīng) (n)dh 截取一段 h(n)來近似表示為 (n)dh ，這種截取在數(shù)學(xué)上的表示是： ? ? (n ) ( )n ndh hw? 。因為這種方法的基本原理是利用一定寬度的窗函數(shù)來截取無線長單位響應(yīng)序列，獲得有限長脈沖響應(yīng)序列，從而得到 FIR 濾波器的脈沖響應(yīng)，故而稱之為 FIR 濾波器的窗函數(shù)設(shè)計法。 . . 圖 3 4 窗函數(shù)的卷積過程 從上圖可以歸納出加窗對理想頻率響應(yīng)的影響為： ① ? ?H? 的最大肩峰值出現(xiàn)在通帶截止頻率 c? 的兩旁，也就是 c 2 / N? ? ???的地方。肩峰和余振大小取決于? ?RW? 函數(shù)的副瓣。具體關(guān) 系可以通過以下表達式來說明。所以 N 的改變不會改變主瓣與旁瓣的比例，最多只能改變 ? ?RW?的絕對值大小和起伏的密度。分析表明：阻帶內(nèi)最小衰減是由窗函數(shù)形狀來決定，而過渡帶寬度則是由窗 函數(shù)的長度 N 確定。這種效應(yīng)是因為將 ()dhn直接截斷而引起的，所以又被稱之為截斷效應(yīng)。 ，旁瓣要盡可能的小，使能量能夠盡量集中在旁瓣中，這樣就可以通過減少肩峰和余振，來提高 阻帶衰減和通帶的平穩(wěn)性。窗譜肩峰的大小影響到通帶的平穩(wěn)的阻帶的衰減。這相當(dāng)于將窗的長度變?yōu)闊o限長，沒有實際意義。 二、 窗函數(shù)簡介 常見的窗函數(shù)主要有 6 種，它們分別是矩形窗，三角窗，漢寧窗，海明窗，布萊克曼窗和凱塞窗。 1. 矩形窗 矩形窗的窗體表達式為： ? ? 0 0 ,n1 , 0R n n Nw nN???? ? ??? ， （ 3 13） 其頻率響應(yīng)為： ? ? ? ? ? ? 1122s in ( / 2 )s in ( / 2 )NNjjjR N R NW e R n W e e??? ?? ?????? ?? （ 3 14） 2. 三角窗 三角窗又叫做 巴特列特窗（ Bartlett）。其分析如下： 21,012()212 , 112BrnNnNwnnN nNN?? ???? ??? ??? ? ? ?? ?? （ 3 15） 窗譜為： 2 211( ) ( )221si nsi n( )422 4() 1si n( ) si n( )22NNjjjBrN NW e e eNN ??????????????? ? ??? ???????? ????????????? ???? （ 3 16） “? ”當(dāng)且僅當(dāng) 1N? 成立。 /N。 3. 漢寧（ Hanning）窗（又稱升余弦窗） 12( ) 1 c o s2 ()1H n Nn nw n RN ??????? ????????? （ 3 17） 利用傅里葉變換的調(diào)制性質(zhì)，即利用 ? ?00() ( )j n je x n X e? ? ??? “? ”表示傅里葉變換對。 的傅里葉變換為 ? ? ? ? 12NjjRRW e W e ?? ? ??? 得： ? ? ? ?? ?12 ( ) 5 ( ) ( )1D1T F TjHnNjHRnRRWW W WNNe w nWe???? ? ?????????? ? ? ? ???????? ??????? （ 3 18） 當(dāng) N187。所以窗譜的幅度函數(shù)為 ? ? 22( ω ) 0 . 5 0 . 2 5 [ ]H n R R RW W W WNN??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? （ 3 19） 漢寧窗是下面一類窗的特例：當(dāng) a=2 時就是漢寧窗。同樣，海明窗是下面一類窗的特例（ ?? 時 ） N2 π( ) (1 ) c o s R ( )1nw n nN??????? ? ? ???? ????? （ 3 23） 5. 布萊克曼（ Blackman）窗（又稱二階升余弦窗） 為了更進一步的抑制旁瓣，可再加上余弦的二階諧波分量，得到布拉克曼窗 ： ? ?2 π 4 π0 . 4 2 0 . 5 c o s 0 . 0 8 c o s R ( )11Bl Nw N nn Nnn??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????? ? ? ??? （ 3 24） 其頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)為： . . ? ? ? ? RRRR2 π 2 W W114 π 4 π [ W W ]11Bl RWW NNNN? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? （ 3 25） 此時主瓣寬度為矩形窗譜主瓣寬度的三倍，即為 12 錯誤 !未找到引用源。布拉克曼窗是下面一類窗的特例：選 M=2， 錯誤 !未找到引用源。 =， 錯誤 !未找到引用源。 02( ) ( 1 ) 0 . 5 c o s ( ) ( )1M m mNmnw n a m R nN ???????? ???? (3 26) 6. 凱賽（ Kaiser）窗 這是一種自適應(yīng)型較強的窗 。但凱澤窗通過引入?yún)⒆兞?錯誤 !未找到引用源。 來提高它窗體可供不同衰減的選擇性。 是貝塞爾函數(shù)， 錯誤 !未找到引用源。 越大，則 錯誤 !未找到引用源。因而改變 錯誤 !未找到引用源。一般情況下選擇 4錯誤 !未找到引用源。 凱塞窗在不同的 錯誤 !未找到