【正文】 的高通設計中，低通至高通的變換就是 S變量 的倒置，這一關系同樣可應用于雙線性變換，只要將變換式 中的 S代之以 1/S，就可得到數(shù)字高通濾波器 . 即 11112 ?????zzTs1．歸一化模擬低通原型到數(shù)字高通濾波器的頻率變換 由于倒數(shù)關系不改變模擬濾波器的穩(wěn)定性，因此，也不會影響雙線變換后的穩(wěn)定條件，而且 軸仍映射在單位圓上，只是方向顛倒了。 ????????? 22 ?c tgT0?? ?? ???? 1?z?1??z0???? ??0 圖 2 高通原型變換 應當明確： 所謂高通 DF， 并不是 ω高到 ， 由于數(shù)字頻域存在 折疊頻 率 ， 對于實數(shù)響應的數(shù)字濾波器 ， 部分只是 的鏡象部分 ， 因此有效的數(shù)字域僅是 ， 高通也僅指這一段的高端 ， 即到 為止的部分 。 但在確定模擬原型 預畸的臨界頻率時 ， 應采用 ,不必加負 號 ， 因臨界頻率只有大小的意義而無正負的意義 。 解：首先確定數(shù)字域截止頻率 , ,1 0 0,10 usTk Hzf s ??kHzf ?k H zf s 52 ???? 11 ?? Tf22211Tc tgT ????????? ?? ?1222/11)(????? Na VjH ?)(?NV則 切比雪夫低通原型的振幅平方函數(shù)為： 為 N階切比雪夫多項式 通帶損耗 時， N=3時 , 系統(tǒng)函數(shù)為： ??? ??321213131)(ssssH a ????????dB1??為方便，將 和 S 用 T/2歸一化， 則 1?2~,12/~ 11 TssT ?????32 ~~~)~(ssssH a ????于是 32132111~ 2 0 4 0 4 4 3 3311 3 2 )~()(11 ????????? ??????????zzzzzzsHZHzzsa圖 3 三階切比雪夫高通頻響 2．歸一化模擬低通原型到數(shù)字帶通濾波器的頻率變換 直接尋求模擬低通到數(shù)字帶通之間的映射關系 l??0u?sl?su?s? ： 中心頻率 ：下邊頻和上邊頻 ：下阻帶上邊頻 ：上阻帶下邊頻 ：模擬的阻帶下邊頻 c?:模擬的 3DB截止頻率 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??0 0 00? z e sj(零點 ) ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?0 1, ? z s j?(極點 ) 數(shù)字帶通到模擬低通的映射應滿足的映射關系 滿足以上關系的變換式為 : s s z e z ez z z zzj j? ? ? ?? ? ? ? ??( ) ( )( )( )( ) c o s? ?? ?0 01 12 11202穩(wěn)定變換： S平面穩(wěn)定的函數(shù)變換到 Z平面也是穩(wěn)定的 例如設 0z=r1,則有 01 )c o s1(2)1(1 1c o s2 2 02202?? ????? ??? r rrrrrs ??表明： Z平面單位圓內的極點變到了 S平面的左半平面 ?jez ?其次令 代入上式，可得頻率變換關系 ????? ??? jje ees jjj???????s i nc o sc o s11c o s2 0202表明： Z平面單位圓變換到了 S平面的虛軸 模擬低通與數(shù)字帶通的頻率變換 sususb ???s inc osc os 0 ???1??c當 時，反歸一化處理 csp ?? /)1(1c o s2202??????? zzzspcc?)2c os ()2c os (c os 0luul????????uuc ???s inc osc os 0 ???例 653 設計一個三階巴氏數(shù)字帶通濾波器對模擬信號濾波 ,上下邊帶的 3dB截止頻率為 =, =,阻帶邊頻 = kHz,采樣頻率為 =100kHz。 f2 1f 2sfsf解 : 1）先確定上下邊帶的 3dB數(shù)字截止頻率，及上阻帶下邊頻 r a dff s ???? ?????3522 / 2 1 2 . 5 1 0 / 1 0 0 . 2 5ls f f r a d? ? ? ?? ? ? ? ?r a dff ssu ???? ?????2）確定數(shù)字中心頻率 : 0)2c os ()2c os (c os21210 ?????????0 ( ) / 2 0 . 5lu? ? ? ?? ? ?得： 3512 / 2 3 7 . 5 1 0 / 1 0 0 . 7 5us f f r a d? ? ?? ? ? ? ?3522 / 2 4 5 . 1 2 5 1 0 / 1 0 0 . 9 2 5s u s sf f r a d? ? ? ?? ? ? ? ?3）求模擬低通截止頻率和阻帶下邊頻 01c o s c o s c o s 0 .5 c o s 0 .7 5 1s in s in 0 .7 5ucu?? ????? ?? ? ? ? ? ?0c o s c o s c o s( 0 .5 ) c o s( 0 .9 2 5 ) 4 .1 6 5 3sin sin ( 0 .9 2 5 )sussu?? ????? ?? ? ? ?4）求 , 當 =1時 ,三階巴氏低通濾波器的傳輸函數(shù)為 : H sa ( ) ?cH s s s sa ( ) ? ? ? ?12 2 13 25）求 H(z),將 代入上式得 s z zz zz? ? ?? ? ??202222 1111cos ?H z H s z z zza s zz( ) ( )? ? ? ? ??? ??? ? ??22112 4 64121 3 33fs26）求相對 =。假設從 z到 Z的映射關系為 )(zHL )(ZHd)( 11 ?? ? ZGz)( 11|)()( ?? ?? ZGzLd zHZH則有： 變換函數(shù) 必須滿足以下三個條件： )( 1?ZG（ 1）為滿足一定的頻率響應要求， z域的頻率必須變換成 Z域的頻率，也就是說平面的單位圓必須映射到 Z平面的單位圓上； （ 2）為保證由因果穩(wěn)定的系統(tǒng)變換得到的系統(tǒng)也是因果穩(wěn)定的，要求平面的單位圓內部必須映射到 Z平面的單位圓內部； （ 3）由于 是 z1的有理函數(shù)，為了保證變換后的 也是 Z1的有理函數(shù)，要求變換函數(shù) 必須是 Z1的有理函數(shù)。選擇合適的 N和 ，則可得到各類變換 ? ? )](a r g [ ?jeG ??Nia1．數(shù)字低通 — 數(shù)字低通 )(zHL )(ZHd 和 都是低通系統(tǒng)函數(shù)，只是截止頻率不同 )(zHL )(ZHd 從 0變到 時， 也應從 0變到 ，如圖所示。 得頻率間關系為 ： ?????jjjeee??????1 圖 1(a) LPLP變換（有對稱性） ?c??00??????????????????????????????????c o s1s i na r c t a n2c o s)1(2s i n)1(a r c t a n22由此求得 與 之間的關系： ? ?，線性＝時， ??? 0?時，頻率壓縮0??時，頻率擴張0??對于幅度響應為分段常數(shù)的濾波器 ， 變換后仍可得類似的頻率響應 設低通原型的截止頻率為 ， 變換后的對應截止頻率為 c? c?帶入下式 得： ?????jjjeee??????1 ?????? ??????? ??22s incccc????? 由截頻為 的 得到截頻為 的 變換關系： c? c?)(zHL )(ZHd1111|)()(???????ZzzLd zHZH??2．數(shù)字低通 — 數(shù)字高通 低通變成高通，只需將頻率響應旋轉 180176。 由以上分析得變換關系： 或 00 ?? ??c?? ??2c?? ?1)1(1)( 1122211211?????????????zrzrrzrzzgu)2(1122212????????????????jjjjjererreree??????????????????~0~0~~000,~~0 ????? ??? 時，如圖 3(a), ,1)1(,0 ????? g，時 ??? 全通函數(shù)取負號。 112 ???kkr121 ??? kkr ?)2c o s ()2c o s (1212????????LPBP頻率關系 圖 4 (a) LPBS變換 2? 0? 1?c?c?????)( ?jeH00??4．數(shù)字低通 — 數(shù)字帶阻 如圖 4(a), LP—— BS變換把帶阻的中心頻率 的變化范圍為 ,故 N=2 又 g(1)=1, 所以，全通函數(shù)取正號。 2212 ctgtgk ??? ?????? ??121 ???kr?kkr???112?????? ??????? ??2c o s2c o s1212?????cc ???? ??? 21 ,LPB S頻率變換關系 IIR數(shù)字濾波器的計算機輔助設計 脈沖響應不變法和雙線性變換法 ? 設計時先設計模擬濾波器，再經過變換得到需要的數(shù)字濾波器 ? 只適合于設計幅度特性分段恒定的濾波器，例如低通、高通、帶通和帶阻等濾波器，不能設計任意幅度特性或多帶的濾波器 ? 設計所得的濾波器在性能上也不一定是最優(yōu)的 計算機輔助設計 ? 按照指定的濾波器特性，根據某種最優(yōu)化準則，利用計算機進行反復迭代運算，從而求出所要求的濾波器 ? 既可在時域特性進行，也可在頻域特性進行， ? 指定濾波器的單位脈沖響應或指定濾波后的輸出波形 ? 指定濾波器的頻率特性 本節(jié)內容 ? 介紹一種從頻域