【正文】 Main Return ??????? ??120)1( ])[()(NnnNn zznhzH圖 線性相位 FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) h(n)為奇對稱， N為偶數(shù) x(n) y(n) z1 h(0) z1 z1 h(1) z1 z1 h(2) z1 z1 z1 z1 )12N(h ?)22N(h ?… 1 1 1 1 1 奇對稱， N為偶數(shù) h(n)=－ h(N1n) ⑴ 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 化簡方法同偶對稱， N為偶數(shù) 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ??? ?????p? 21)2 12( )21s in ()()(NnNjj nndeeH)2(2)( nNhnd ??幅度函數(shù) 相位函數(shù) ???? ??21)21s in ()()(NnnndH ???p???212)(N可看出當(dāng) h(n)為奇對稱、 N為偶數(shù)時， H(ω)的特點如下： ⑴ sin(n1/2)?在 ?=0， 2p處為 0，故 H(?)在 ?=0， 2p處也為0，即 H(z)在 z=1處有零點。 ? 一個線性相位 FIR濾波器有 h(n)=177。 因而他們的基本因子為： )1)(1()( 11 ??? ??? zzzzzH iii 21c o s21 ?? ???? zzi用線性相位 FIR濾波器 直接型結(jié)構(gòu) 實現(xiàn) (N=3) ⑵ 零點 zi在單位圓上，但不在實軸上 如圖 ri＝ 1， ?i≠0 xi(n) z1 z1 2cos?i yi(n) 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ii rz ?? ii rz ???i1i r1)z( ????i1i r1z ???這時 零點為實數(shù)，共軛值就是本身 。 ? 后續(xù)討論線性相位 FIR濾波器的 設(shè)計方法 。（因為 h(n)與 hd(n)的差異） 二、 理論分析 頻率響應(yīng) H(ejω)是 沖激響應(yīng) h(n)的傅氏變換 )()()( nwnhnh Rd ??上式相當(dāng)于將 hd(n)與一矩形 窗函數(shù) wR(n)相乘，即 )]()([2 1)( ??? ?p?? jRjdj eWeHeH2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ??????????????? ??2121 )()(NNnjnnjnRjR eenweW????? ??e ls e 021N|n| 1)( nw R級數(shù)求和后利用歐拉公式，得到 2s in2s in)(????NeW jRω 0 2p/N 2p/N WR(ejω) 2p p WR(ejω)在 177。 ?? ? ?? ???? ?? ?p??p? c cc c deWdeWeH jRjRj )(2 1)(2 1)( 0幾個特殊的頻率點 ⑴ 當(dāng) ?=0時 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ?繼續(xù)增大，主瓣開始移出積分區(qū)間，因此 H(ejω) 迅速下降， 進(jìn)入過渡帶。我們當(dāng)然希望肩峰和波動盡可能小，過渡帶盡可能窄，這樣才能更接近理想特件。旁瓣越多，波動就越快，旁瓣相對值越大，波動越厲害，肩峰也越強。 ? 但對窗函數(shù)的這兩個要求總不能兼得，它們是相互制約的。 ? w(n)的頻譜可以表示為： 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????? ??e ls e 021N|n| 1)( nw R2s in2s in)(????NeW jR以上為對稱中心在 n＝ 0處的 非因果矩形窗 其頻譜為 ω 0 2p/N 2p/N WR(ejω) π 1 wR(n) n 0 (N1)/2 (N1)/2 ⑴ 矩形窗 前面討論的矩形窗函數(shù)為 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 1 wR(n) n 0 N1 (N1)/2 ??? ????e ls e 01n0 1)( NnwR)()( ??? nwnw NRwR(n)對稱中心移到了 (N1)/2，這 相當(dāng)于 wN(n)有了 ?=(N1)/2的延時 因此頻譜變?yōu)?: )()( ????? ? jNjjR eWeeW2s i n2s i n21???????NeNjω 0 2p/N 2p/N WR(ω) π 2s i n2s i n)(????NW R?????? 2 1)( N將矩形窗右移 主瓣寬度為 4π/N 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????????????1n21)(N21)(Nn0 1)(Nn22 1)(Nn2)(Nnw 1 w(n) n 0 N1 (N1)/2 ???? ??????????????????? ??????????? 2122s i n41s i n12)(Njj eNNeW頻譜為： 當(dāng) N1時 ???? ??????????????????? ????????? 2122s i n4s i n2)(Njj eNNeW主瓣寬度為 8π/N ⑵ 三角形窗 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????????????????p?el s e 01n0 12co s121)(NNnnw1 w(n) n 0 N1 (N1)/2 ???? ??p????p????? 2 1)]12()12()([)( NjRRRj eNWNWWeW頻譜為： 當(dāng) N 1時，幅度頻譜近似為： )2()2()()( NWNWWW RRR p???p??????⑶ 升余弦窗 ——漢寧 (Hanning)窗 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 頻譜特性如圖，由于這三部分頻譜的相加，使總頻譜的旁瓣大大抵銷，從而使能量有效地集中在主瓣內(nèi)，但其代價是使 主瓣 與矩形窗主瓣相比加寬了一倍，為 8p/N W(?) 0 ω － 4p/N 4p/N ω 0 2p/N 2p/N 4p/N 4p/N (ω) )2()2()()( NWNWWW RRR p???p??????(ω2p/N) (ω+2p/N) W(ω) 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????? ????p??e ls e 01n0 12c o )(NNnnw)12()12()()( ?p????p?????? NWNWWW RRR其幅度頻譜為： 當(dāng) N1時 )2()2()()( NWNWWW RRR p???p??????可將 99． 963%的能量集中在主瓣內(nèi)，而主 瓣寬度 仍與漢寧窗 相同 (8p/N)，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的 1% ⑷ 改進(jìn)的升余弦窗 ——哈明 (Hamming)窗 ? 對升余弦窗加以改進(jìn)，可以得到旁瓣更小的效果，窗函數(shù)為： 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????? ????p?????e ls e 01n0 12c o s)1()(NNnnw漢寧窗 ?＝ ；對于哈明窗 ?＝ 。 ⑶ 由 過渡帶 及 阻帶最小衰減 的要求，利用表 ， 選定 窗函數(shù) w(n)的形狀及 N的大小，一般 N要通過幾次試探而確定。只是所涉及的序列都是以 n=0為對稱中心的，即都是非因果的，但實際中，所要求的濾波器都應(yīng)當(dāng)是因果的，即要求 h(n)為因果序列 (0~N1)。 H(ejω)=H(?)ej?(ω) ， H(?)與對稱中心在 n=0的 hd(n)的頻譜一樣，但 ??????21)( N將 hd(n)對稱中心移至 ?=(N1)/2，相當(dāng)于 延時 ? （ N為奇數(shù)） 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 例 721：設(shè)計一個線性相位 FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為Ws=2p 104(rad/s)，通帶截止頻率為 Wp=2p 103(rad/s)，阻帶截止頻率 Wst=2p 3 103(rad/s)，阻帶衰減 d2不小于 50dB。 注意：確定 N時只能取奇數(shù)。 H(p)=0 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 167。 我們對理想頻率響應(yīng) Hd(ejω)進(jìn)行取樣，即 在各頻率抽樣點上，濾波器的實際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格的和理想頻率響應(yīng)數(shù)值對應(yīng)，但是在抽樣點之間的頻率響應(yīng)則是由各抽樣點的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)疊加形成，因而有一定的逼近誤差。 。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ω 0 Hd(ejω) Hk Hc1 ?c 增加兩個過渡點時，阻帶最小衰減可提高到 － 60dB～－ 75dB 過渡帶寬 6p/N ω 0 Hd(ejω) Hk Hc1 Hc2 ?c 增加一個過渡點時，阻帶最小衰減可提高到 － 40dB～－ 54dB 過渡帶寬 4p/N 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ω 0 Hd(ejω) Hk Hc1 Hc2 ?c Hc3 一般來說，增加三個過渡點即可滿足設(shè)計結(jié)果，它是以增加過渡帶寬度為代價的。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 167。因而，如果 IIR濾波器要得到線性相位，又要滿足幅度濾波的技術(shù)要求，必須加全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，這同樣會大大增加濾波器的階數(shù)。 對于 FIR濾波器 ，由于沖激響應(yīng)是有限長的，因而 可以用快速傅里葉變換算法 ，這樣運算速度可以快得多。 一般 FIR濾波器設(shè)計 僅有計算機程序可資利用，因而要借助于計算機