【正文】 h 令 n=N1m ?????????12 10)1()1(NmmNzmNh將 m換成 n ? ????????12 10)1()1(NnnNznNh則 ?????????????? ??????12 10)1(211210)1()2 1()()(NnnNNNnn znNhzNhznhzH211210)1( )21(])[()( ????????? ???? ?NNnnNn zNhzznhzH由于 h(n)=h(N1n) 經(jīng)化簡后的 H(z)共有 N次加法， (N+1)/2次乘法。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????? 10)()( NnnznhzH???????? ??12120)()(NNnnNnn znhznh直接畫出網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，有 N次乘法與 N次加法 ????????120)1()1(NmmNzmNh將 m換成 n ????????120)1()1(NnnNznNh又由于 h(n)=h(N1n) ??????? ??120)1( ])[()(NnnNn zznhzH經(jīng)變化后 H(z)共有 N次加法， N/2次乘法（可減少一半乘法器） 偶對稱， N為偶數(shù) ， h(n)=h(N1n) ⑴ 網(wǎng)絡結(jié)構(gòu) 令 n=N1m 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 圖 線性相位 FIR濾波器網(wǎng)絡結(jié)構(gòu) h(n)為偶對稱， N為偶數(shù) x(n) y(n) z1 h(0) z1 z1 h(1) z1 z1 h(2) z1 z1 z1 z1 )12N(h ?)22N(h ?… ??????? ??120)1( ])[()(NnnNn zznhzH2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ??????? ??120)1( ])[()(NnnNn zznhzH提出因子 21??Nz⑵ 頻率響應 ??? ?????? 2121)21c os ()()(NnNjj nnbeeH并將 z=ejω 代入，并利用歐拉公式，以及進行變量代換，得 )2(2)( nNhnb ??)()()( ??? ?? jj eHeH與 比較 幅度函數(shù) 相位函數(shù) ???? ??21)21c os ()()(NnnnbH ??????21)( N2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 注意： 這種濾波器不能用于 高通與帶阻 ， 因為 H(p)=0 ，而以上二者在 ?=p處不為 0。 ⑵由于 cos(n1/2)?對 ?=p奇對稱，對 ?=0、 2p偶對稱， 所以 H(?)對 ?=p呈奇對稱，對 ?=0、 2p呈偶對稱 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 211210)1( )21(])[()( ????????? ???? ?NNnnNn zNhzznhzH此時 0)2 1( ??Nh???????? ??12 10)1( ])[()(NnnNn zznhzH 奇對稱， N為奇數(shù) h(n)=－ h(N1n) ⑴ 網(wǎng)絡結(jié)構(gòu) 化簡方法同偶對稱， N為奇數(shù) 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 圖 線性相位 FIR濾波器網(wǎng)絡結(jié)構(gòu) h(n)為奇對稱， N為奇數(shù) ???????? ??12 10)1( ])[()(NnnNn zznhzH1 1 1 1 x(n) y(n) z1 h(0) z1 z1 h(1) z1 z1 h(2) z1 z1 z1 z1 z1 )2 3N(h ?)2 5N(h ?… 1 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ???????? ??12 10)1( ])[()(NnnNn zznhzH進行化簡 提出因子 21??Nzjje j ?p?p?p)2s in()2c o s (2⑵ 頻率響應 ?? ??????p? 211)2 12( s in)()(NnNjj nnceeH)2 1(2)( nNhnc ???幅度函數(shù) 相位函數(shù) ??? ???210s in)()(NnnncH ???p???212)(N注意： 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 注意： 這種濾波器同樣不能用于 高通與帶阻 濾波器。 1處有零點。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ??????? ??120)1( ])[()(NnnNn zznhzH圖 線性相位 FIR濾波器網(wǎng)絡結(jié)構(gòu) h(n)為奇對稱， N為偶數(shù) x(n) y(n) z1 h(0) z1 z1 h(1) z1 z1 h(2) z1 z1 z1 z1 )12N(h ?)22N(h ?… 1 1 1 1 1 奇對稱， N為偶數(shù) h(n)=－ h(N1n) ⑴ 網(wǎng)絡結(jié)構(gòu) 化簡方法同偶對稱， N為偶數(shù) 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ??? ?????p? 21)2 12( )21s in ()()(NnNjj nndeeH)2(2)( nNhnd ??幅度函數(shù) 相位函數(shù) ???? ??21)21s in ()()(NnnndH ???p???212)(N可看出當 h(n)為奇對稱、 N為偶數(shù)時， H(ω)的特點如下： ⑴ sin(n1/2)?在 ?=0， 2p處為 0，故 H(?)在 ?=0， 2p處也為0，即 H(z)在 z=1處有零點。 )(??2π π 0 ω p?? )23N(π/2 2p p 0 H(?) ω 21)()( ????????? Ndd⑵ sin(n1/2)?在 ?=0、 2p處呈奇對稱，在 ?=p呈偶對稱 故 H(?)在 ?=0、 2p 處呈奇對稱，在 ?=p呈偶對稱。 ? 一個線性相位 FIR濾波器有 h(n)=177。 因而得到 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ijii erz ??⑴ 零點 zi 既不在實軸上，也不在單位圓上 ，如圖 ri≠1， ?i≠0 jIm(z) z平面 Re(z) 1 0 zi zi* zi1 (zi*)1 ])(1)[1)(1)(1()( 111111 ???????? ????? zzzzzzzzzH iiiii這四個 零點是兩組互為倒數(shù)的共軛對 。 因而他們的基本因子為： )1)(1()( 11 ??? ??? zzzzzH iii 21c o s21 ?? ???? zzi用線性相位 FIR濾波器 直接型結(jié)構(gòu) 實現(xiàn) (N=3) ⑵ 零點 zi在單位圓上，但不在實軸上 如圖 ri＝ 1， ?i≠0 xi(n) z1 z1 2cos?i yi(n) 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ii rz ?? ii rz ???i1i r1)z( ????i1i r1z ???這時 零點為實數(shù)，共軛值就是本身 。 ? 至此，了解了線性相位 FIR濾波器的各種特性。 ? 后續(xù)討論線性相位 FIR濾波器的 設計方法 。 窗口法（傅氏級數(shù)法） 一、 設計思路 ? 一個理想的低通數(shù)字濾波器的頻率響應如圖所示，它以2p為周期，用傅氏反變換可求得此濾波器的沖激響應。（因為 h(n)與 hd(n)的差異） 二、 理論分析 頻率響應 H(ejω)是 沖激響應 h(n)的傅氏變換 )()()( nwnhnh Rd ??上式相當于將 hd(n)與一矩形 窗函數(shù) wR(n)相乘，即 )]()([2 1)( ??? ?p?? jRjdj eWeHeH2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ??????????????? ??2121 )()(NNnjnnjnRjR eenweW????? ??e ls e 021N|n| 1)( nw R級數(shù)求和后利用歐拉公式，得到 2s in2s in)(????NeW jRω 0 2p/N 2p/N WR(ejω) 2p p WR(ejω)在 177。（周期函數(shù)） 矩形窗函數(shù) wR(n)的傅氏變換為 WR(ejω) 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return )]()([2 1)( ??? ?p? jRjdj eWeHeH圖中 陰影所示面積，即為積分的值 ，當 ?變化時， 此曲線左右移動，此面積也就發(fā)生變化。 ?? ? ?? ???? ?? ?p??p? c cc c deWdeWeH jRjRj )(2 1)(2 1)( 0幾個特殊的頻率點 ⑴ 當 ?=0時 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ?繼續(xù)增大，主瓣開始移出積分區(qū)間，因此 H(ejω) 迅速下降， 進入過渡帶。 ⑵ 當 ?=?c－ 2p/N 時 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 即主瓣的中心移到了 ?c處，此時區(qū)間內(nèi)曲線下的面積近似等于 ?=0時面積的一半，因此 H(ej?c)≈ H(ej0)/2 ⑶ 當 ?=?c時 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ⑸ ?繼續(xù)增大到 p， H(ej?)隨著區(qū)間內(nèi)旁瓣的移動而在阻帶內(nèi) 波動 整個主瓣完全移出了積分區(qū)間，而面積最大的一個負值旁瓣還全部在此積分區(qū)間內(nèi)，因此使得 H(ej?)取最小值，約為 H(ej0) ，此處稱為 下臂峰 或 負肩峰 。我們當然希望肩峰和波動盡可能小，過渡帶盡可能窄，這樣才能更接近理想特件。因此，過渡帶寬度與所選窗函數(shù)有關(guān)，而對于一定的窗函數(shù)，增大 N可使過渡帶變陡。旁瓣越多，波動就越快，旁瓣相對值越大，波動越厲害，肩峰也越強。 ③ 長度 N的影響