【正文】 窗函數(shù)的基本參數(shù) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 例如：設(shè)計一個截止頻率為 的數(shù)字低通濾波器 4/??cw第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 ★ 矩形窗過渡帶最窄，布拉克曼窗過渡帶最寬，但是對于阻帶最小衰減性矩形窗最差，只有－ 21dB，布萊克曼窗最好，達到－ 75dB。 凱塞窗的幅度函數(shù)為： （ ） ss0 . 4s s ss0 . 1 1 2 ( 8 . 7) , 5 0 d B0 . 5 8 4 2 ( 2 1 ) 0 . 0 7 8 8 6 ( 2 1 ) , 2 1 5 0 d B0 , 2 1??? ? ? ??????? ? ? ? ? ??? ??（ ） st8 B? ??第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 ( 1 ) / 2k g k k1( ) ( 0 ) 2 ( ) c o sNnW w w n n?????? ?對 ?的 8種典型值，將凱塞窗函數(shù)的性能列于表 ，供設(shè)計者參考。應(yīng)當(dāng)注意，因為式（ ）為階數(shù)估算，所以必須對設(shè)計結(jié)果進行檢驗。 ?=，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。一般 ?加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小 ，典型數(shù)據(jù)為 4 ? 9。 21121 ?????? ????Nn??10)( )()(00k ???? NnIIn ，??? （ ） 其中： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 I0(β)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級數(shù)計算： 一般 I0(β)取 15~25項，便可以滿足精度要求。 ? s=－ 74 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 6． 凱塞 — 貝塞爾窗（ KaiserBasel Window） 以上五種窗函數(shù)都稱為參數(shù)固定窗函數(shù)，每種窗函數(shù)的旁瓣幅度都是固定的。 布萊克曼窗的四種波形如圖 . ?????????????????????????????????????????????????1π41π4 1π21π2)()(RgRgRgRgRgB l gNWNWNWNWWW??????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖 布萊克曼窗的四種波形 參數(shù)為 : ?n=－ 57 dB。 ? s=－ 53 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 5． 布萊克曼（ Blackman）窗 其頻譜函數(shù)為 （ ） )(1π4c o o )(Bl nRN nN nn N?????????????????????????????????????????????????????????????????????）（）（）（1π4jR1π4jR1π2jR1π2jRjRjBl e)e()e()e(NNNNWWWWWW??????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 其幅度函數(shù)為 這樣其幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同的 WRg(ω)函數(shù)，使旁瓣再進一步抵消。 哈明窗的四種波形如圖 . 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖 哈明窗的四種波形 參數(shù)為 : ? n=－ 41 dB。 ? s=－ 44 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 4． 哈明（ Hamming）窗 —— 改進的升余弦窗 )e()e()e()e( 1π2R1π2jRERjHm?????? ???????? ????? NENWWWW????)(1π2c o )(NHm nRNnn?????? ??????????（ ） 其頻譜函數(shù)為： 其幅度函數(shù) WHmg(ω)為： 當(dāng) N１時，其可近似表示為 ?????? ????????? ???? )()( RgRgRgHm g NWNWWW ?????????? ???????? ??? NWNWWW )()( RgRgRgHm g ????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 這種改進的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量約占 %，瓣峰值幅度為 40 dB，但其主瓣寬度和漢寧窗的相同，仍為 8π/N。 漢寧窗的四種波形如圖 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖 漢寧窗的四種波形 參數(shù)為 : ?n=－ 31 dB。 Bg=8π/N。 Rgs i n ( / 2 )()s i n ( / 2 )NW ????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 矩形窗的四種波形如圖 . 圖 矩形窗的四種波形 旁瓣峰值： ? n=－ 13 dB； 過渡帶寬度：Bg=4π/N。但這樣總是以加寬過渡帶為代價的。構(gòu)造新的窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，相應(yīng)旁瓣幅度更小。 圖 矩形窗函數(shù)長度的影響 例如：設(shè)計一個截止頻率為 的數(shù)字低通濾波器 4/??cw第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 ★★ 對于同一個的窗函數(shù)當(dāng)隨著 N的增加，阻帶衰減越快，但是第一旁瓣值不變， N越大，過渡帶越窄，旁瓣越多，通帶越寬。 三種不同長度的矩形窗函數(shù)的幅度特性 WRg(ω)及其設(shè)計的FIR濾波器的幅度特性 Hg(ω)曲線如圖 Rgs in ( / 2 ) s in()/2NxWNx?????減少吉布斯效應(yīng)的影響： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 表明： 當(dāng) N加大時， Hg(ω)的波動幅度沒有多大改善，只能使 Hg(ω)過渡帶變窄（過渡帶近似為主瓣寬度 4π/N）。 加窗影響： 直觀上，好像增加矩形窗的長度 N，就可以減少吉布斯效應(yīng)，但 實際上加大 N, 并不是減小吉布斯效應(yīng)的有效方法 。通帶內(nèi)的波紋影響濾波器通帶的平穩(wěn)性，阻帶內(nèi)的波紋影響阻帶內(nèi)的衰減，可能使最小衰減不滿足技術(shù)指標(biāo)要求。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 以上兩點就是對 hd(n)用矩形窗截斷后，在頻域的反映，稱為吉布斯效應(yīng)。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負峰在 ωc+2π/N處。 )(g ?? ?RW )(Hd ?)(H ? )0(H第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 1 0 ?)(?gHω c ω c 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖 矩形窗對理想低通 幅度特性的影響 （ 1） 在理想特性不連續(xù)點 ω=ωc附近形成過渡帶。 Nc /2 ?????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 （ 5）當(dāng) 時，隨 增加，左邊旁瓣的起伏部分掃過通帶，卷積也隨著 在通帶內(nèi)的旁瓣的面積變化而變化，故 將圍繞著零值而波動。這時 有 c?? ? )( ?? ?RgW)(H d ?)0(H/)(H c ??第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 3） 時， 的主瓣全部在 的通帶內(nèi)，這時應(yīng)出現(xiàn)正的肩峰。 ???????nnnhH ?? jdjd e)()e(傅氏級數(shù)法： 顯然，選取傅氏級數(shù)的項數(shù)愈多，引起的誤差就愈小，但項數(shù)增多即 h(n)長度增加，也使成本和濾波計算量加大，應(yīng)在滿足技術(shù)要求的條件下，盡量減小 h(n)的長度。 Hd(ejω)是一個以 2π為周期的函數(shù)，可以展為傅里葉級數(shù)，即 傅里葉級數(shù)的系數(shù)為 hd(n)。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 實際的濾波器單位取樣響應(yīng)為 h(n),長度為 N， 其系統(tǒng)函數(shù)為 H(z)， 圖 理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗 10( ) ( )NnnH z h n z???? ?第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 吉布斯（ Gibbs）效應(yīng)： 用一個有限長的序列 h(n)去代替 hd(n)，肯定會引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是引起過渡帶加寬以及通帶和阻帶內(nèi)的波動，尤其使阻帶的衰減小，從而滿足不了技術(shù)上的要求。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 ★★ 呈偶對稱呈奇對稱對,)(??????? 20gH★ 不適合低通，帶阻濾波器 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 )(?gH表 線性相位 FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 四種線性相位 FIR濾波器 相位 特性 幅度特性 適用 特點 1?)(??0)n1N(h)n(h ????????? 2 1N)(N奇 呈偶對稱，對 ???? 202N偶 偶對稱呈奇對稱對????20 ,??)n1N(h)n(h ????22 1N)( ?????????)(??03N奇 呈奇對稱，對 ???? 204N偶 偶呈對稱對呈奇對稱，對?????? 20低通 高通 帶通 帶阻 低通 帶通 帶通 高通 帶通 )nc o s ()n()()(ng??? －＋ ???? 102M hhHg 0( ) 2 ( ) c o s [ ( ) ]MnH h n n? ? ?????)]n([in)n()(ng??? －shH M???? 102g0( ) 2 ( ) s in [ ( ) ]MnH h n n? ? ?????3. 線性相位 FIR數(shù)字濾波器的零點分布特點 （ ） 10( ) ( )NnnH z h n z???? ?11001( 1 ) ( 1 ) 10( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )NNnnnnNN m NmH z h n z h N n zh m z z H z???????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? 將 h(n)=177。所以，當(dāng) ω=0, 2π時， sin［ ω(n－ τ)］ =0；當(dāng) ω=π時， sin［ ω(n－ τ)］ =(－ 1)n－N/2, 為峰值點。 （ ） 1( ) , 22( ) ( 1 ), 0 ≤ ≤ 1Nh n h N n n N? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? N為奇數(shù)和偶數(shù)時 h(n)的對稱情況分別如表 3和情況 4 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 2． 線性相位 FIR濾波器幅度特性 Hg(ω) 的特點 1 ,2N? ?? 12NM ?????? FIR濾波器時域約束條件： h(n)=177。 當(dāng) N確定時， FIR數(shù)字濾波器的相位特性是一個確知的線性函數(shù)，即 θ(ω)=－ ω(N－ 1)/2。 1． 線性相位 FIR 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 ()dd?? ?? ??稱兩種情況為線性相位 ????? ，??)(起始相位， 00)( ?????? ??線性相位 FIR濾波器是指 θ(ω)是 ω的線性函數(shù)，即 嚴(yán)格地說，此時 θ(ω)不具有線性相位特性，但以上兩種情況都滿足群時延是一個常數(shù)， 第二類線性相位 第一類線性相位 第 7章 有限