【正文】 響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 二、窗函數(shù)對頻響的影響 )n(w)n(h)n(h d???? ??? ?? ???? ?? deWeHeH jRjdj )()()( )(2 1????????? jRg)(jjjRe)()/s i n ()/s i n (e ee)()(????????????? ??WNnWeWNNnnNnnjR221211010?)( jwd eH?21?? ? )e(H j )( ?jR eW21)2/s in ()2/s in ()(Rg??? NNW ???? ，第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 0 ( ) ( ) ??j j addH e H e???按照 ()式 ， 理想低通濾波器的幅度特性 Hd(ω)為 1,()0,???? ?????cdcH???? ? ?將 Hd(e jω)和 WR(e jω)代入 ()式 ， 得到： ()gg1( ) ( ) ( )21( ) ( )2? ? ??????????j j a j adRjadRH e H e W e de H W d?? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ??ggg( ) ( )1( ) ( ) ( )2??????j j adRH e H eH H W d?????? ? ? ? ??)(?dH0 c?? c? ??? ?1 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 ,0?? H(0) 為 在 面積的積分 )(?RgW1).當(dāng) cc ?? 到－第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 2） 時， 正好與 的一半相重疊。這種吉布斯效應(yīng)是由于將 hd(n)直接截斷引起的，也稱為 截斷效應(yīng) 。而且 sin［ ω(n－ τ)］關(guān)于過零點 ω=0和 2π兩點奇對稱，關(guān)于峰值點 ω=π偶對稱。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 第二類線性相位 FIR數(shù)字濾波器的相位 :θ(ω)=π/2ωτ， 類似推導(dǎo)可得到 : 1j j j ( / 2 )g0( e ) ( ) e ( ) eNnnH h n H? ? ????? ? ? ????? 2) 第二類線性相位對 h(n)的約束條件 函數(shù) h(n)cos［ ω(n－ τ)］關(guān)于求和區(qū)間的中心 (N－ 1)/2奇對稱，是滿足式（ ）的一組解，因為 cos［ ω(n－ τ)］關(guān)于 n=τ偶對稱，所以要求 τ和 h(n)滿足如下條件： 10( ) c o s [ ( ) ] 0Nnh n n???????（ ） 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 第二類線性相位特性： h(n)應(yīng)當(dāng)關(guān)于 n=(N－ 1)/2點奇對稱。 注意： 這里 Hg(ω)不同于 |H(ejω)|,Hg(ω)為 ω的實函數(shù) ， 可能取負(fù)值 ， 而 |H(ejω)|總是正值 。 1． 線性相位 FIR 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 ()dd?? ?? ??稱兩種情況為線性相位 ????? ，??)(起始相位， 00)( ?????? ??線性相位 FIR濾波器是指 θ(ω)是 ω的線性函數(shù)，即 嚴(yán)格地說，此時 θ(ω)不具有線性相位特性，但以上兩種情況都滿足群時延是一個常數(shù)， 第二類線性相位 第一類線性相位 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 1) 第一類線性相位對 h(n)的約束條件 第一類線性相位 FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù) θ(ω)=ωτ， 由式（ ）和（ ）得到 : 1j j jg0( e ) ( ) e ( ) e NnnH h n H? ? ??????????（ ） 1g0( ) ( c os j sin ) ( ) ( c os j sin ) Nnh n n n H? ? ? ?? ????? ? ?? 2. 線性相位 FIR的時域約束條件 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 由式（ ）得到 : 1010( ) c o sc o ss in( ) s inNnNnh n nh n n?????????????將（ ）式中兩式相除得到： 1g01g0( ) c os ( ) c os ( ) sin ( ) sinNnNnH h n nH h n n? ?? ?? ?? ????????????????（ ） 1100( ) c os sin ( ) sin c osNNnnh n n h n n? ?? ? ?????????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 簡得到 : 函數(shù) h(n)sinω(n－ τ)關(guān)于求和區(qū)間的中心 (N－ 1)/2奇對稱，是滿足（ ）式的一組解。 （ ） 1( ) , 22( ) ( 1 ), 0 ≤ ≤ 1Nh n h N n n N? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? N為奇數(shù)和偶數(shù)時 h(n)的對稱情況分別如表 3和情況 4 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 2． 線性相位 FIR濾波器幅度特性 Hg(ω) 的特點 1 ,2N? ?? 12NM ?????? FIR濾波器時域約束條件： h(n)=177。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 ★★ 呈偶對稱呈奇對稱對,)(??????? 20gH★ 不適合低通，帶阻濾波器 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 )(?gH表 線性相位 FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 四種線性相位 FIR濾波器 相位 特性 幅度特性 適用 特點 1?)(??0)n1N(h)n(h ????????? 2 1N)(N奇 呈偶對稱，對 ???? 202N偶 偶對稱呈奇對稱對????20 ,??)n1N(h)n(h ????22 1N)( ?????????)(??03N奇 呈奇對稱，對 ???? 204N偶 偶呈對稱對呈奇對稱，對?????? 20低通 高通 帶通 帶阻 低通 帶通 帶通 高通 帶通 )nc o s ()n()()(ng??? －＋ ???? 102M hhHg 0( ) 2 ( ) c o s [ ( ) ]MnH h n n? ? ?????)]n([in)n()(ng??? －shH M???? 102g0( ) 2 ( ) s in [ ( ) ]MnH h n n? ? ?????3. 線性相位 FIR數(shù)字濾波器的零點分布特點 （ ） 10( ) ( )NnnH z h n z???? ?11001( 1 ) ( 1 ) 10( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )NNnnnnNN m NmH z h n z h N n zh m z z H z???????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? 將 h(n)=177。 Hd(ejω)是一個以 2π為周期的函數(shù)，可以展為傅里葉級數(shù)，即 傅里葉級數(shù)的系數(shù)為 hd(n)。這時 有 c?? ? )( ?? ?RgW)(H d ?)0(H/)(H c ??第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 3） 時， 的主瓣全部在 的通帶內(nèi)，這時應(yīng)出現(xiàn)正的肩峰。 )(g ?? ?RW )(Hd ?)(H ? )0(H第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 1 0 ?)(?gHω c ω c 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖 矩形窗對理想低通 幅度特性的影響 （ 1） 在理想特性不連續(xù)點 ω=ωc附近形成過渡帶。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 以上兩點就是對 hd(n)用矩形窗截斷后，在頻域的反映，稱為吉布斯效應(yīng)。 加窗影響： 直觀上，好像增加矩形窗的長度 N，就可以減少吉布斯效應(yīng)，但 實際上加大 N, 并不是減小吉布斯效應(yīng)的有效方法 。 圖 矩形窗函數(shù)長度的影響 例如：設(shè)計一個截止頻率為 的數(shù)字低通濾波器 4/??cw第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 ★★ 對于同一個的窗函數(shù)當(dāng)隨著 N的增加，阻帶衰減越快，但是第一旁瓣值不變， N越大，過渡帶越窄，旁瓣越多，通帶越寬。但這樣總是以加寬過渡帶為代價的。 Bg=8π/N。 ? s=－ 44 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 4． 哈明（ Hamming）窗 —— 改進(jìn)的升余弦窗 )e()e()e()e( 1π2R1π2jRERjHm?????? ???????? ????? NENWWWW????)(1π2c o )(NHm nRNnn?????? ??????????（ ） 其頻譜函數(shù)為： 其幅度函數(shù) WHmg(ω)為： 當(dāng) N１時，其可近似表示為 ?????? ????????? ???? )()( RgRgRgHm g NWNWWW ?????????? ???????? ??? NWNWWW )()( RgRgRgHm g ????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 這種改進(jìn)的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量約占 %，瓣峰值幅度為 40 dB，但其主瓣寬度和漢寧窗的相同，仍為 8π/N。 ? s=－ 53 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 5． 布萊克曼（ Blackman）窗 其頻譜函數(shù)為 （ ） )(1π4c o o )(Bl nRN nN nn N?????????????????????????????????????????????????????????????????????）（）（）（1π4jR1π4jR1π2jR1π2jRjRjBl e)e()e()e(NNNNWWWWWW??????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 其幅度函數(shù)為 這樣其幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同的 WRg(ω)函數(shù)，使旁瓣再進(jìn)一步抵消。 ? s=－ 74 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 6． 凱塞 — 貝塞爾窗（ KaiserBasel Window） 以上五種窗函數(shù)都稱為參數(shù)固定窗函數(shù)，每種窗函數(shù)的旁瓣幅度都是固定的。一般 ?加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小 ，典型數(shù)據(jù)為 4 ? 9。應(yīng)當(dāng)注意，因為式（ ）為階數(shù)估算，所以必須對設(shè)計結(jié)果進(jìn)行檢驗。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 表 凱塞窗參