【正文】 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 線性相位 FIR數字濾波器的條件和特點 利用窗函數法設計 FIR濾波器 利用頻率采樣法設計 FIR濾波器 利用等波紋最佳逼近法設計 FIR濾波器 IIR和 FIR數字濾波器的比較 線性相位 FIR數字濾波器的條件和特點 對于長度為 N的 h(n)， 傳輸函數為 10()( ) ( )( ) ( )Nj j nnjjgH e h n eH e H e??? ? ????????? () () 式中 ， Hg(ω)稱為 幅度特性 ， θ(ω)稱為 相位特性 。 注意： 這里 Hg(ω)不同于 |H(ejω)|,Hg(ω)為 ω的實函數 ， 可能取負值 ， 而 |H(ejω)|總是正值 。 1． 線性相位 FIR 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 ()dd?? ?? ??稱兩種情況為線性相位 ????? ，??)(起始相位， 00)( ?????? ??線性相位 FIR濾波器是指 θ(ω)是 ω的線性函數，即 嚴格地說，此時 θ(ω)不具有線性相位特性，但以上兩種情況都滿足群時延是一個常數， 第二類線性相位 第一類線性相位 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 1) 第一類線性相位對 h(n)的約束條件 第一類線性相位 FIR數字濾波器的相位函數 θ(ω)=ωτ， 由式（ ）和（ ）得到 : 1j j jg0( e ) ( ) e ( ) e NnnH h n H? ? ??????????（ ） 1g0( ) ( c os j sin ) ( ) ( c os j sin ) Nnh n n n H? ? ? ?? ????? ? ?? 2. 線性相位 FIR的時域約束條件 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 由式（ ）得到 : 1010( ) c o sc o ss in( ) s inNnNnh n nh n n?????????????將（ ）式中兩式相除得到： 1g01g0( ) c os ( ) c os ( ) sin ( ) sinNnNnH h n nH h n n? ?? ?? ?? ????????????????（ ） 1100( ) c os sin ( ) sin c osNNnnh n n h n n? ?? ? ?????????第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 簡得到 : 函數 h(n)sinω(n－ τ)關于求和區(qū)間的中心 (N－ 1)/2奇對稱，是滿足（ ）式的一組解。因為 sinω(n－ τ)關于 n=τ奇對稱，如果取 τ=(N－ 1)/2，則要求 h(n)關于 (N－ 1)/2偶對稱，所以要求 τ和 h(n)滿足如下條件 : 10( ) s in [ ( ) ] 0Nnh n n??????? （ ） （ ） 1( ) , 2( ) ( 1 ), 0 ≤ ≤ 1Nh n h N n n N? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ??第一類線性相位特性： h(n)應當關于 n=(N－ 1)/2點偶對稱。 當 N確定時， FIR數字濾波器的相位特性是一個確知的線性函數，即 θ(ω)=－ ω(N－ 1)/2。 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 第二類線性相位 FIR數字濾波器的相位 :θ(ω)=π/2ωτ， 類似推導可得到 : 1j j j ( / 2 )g0( e ) ( ) e ( ) eNnnH h n H? ? ????? ? ? ????? 2) 第二類線性相位對 h(n)的約束條件 函數 h(n)cos［ ω(n－ τ)］關于求和區(qū)間的中心 (N－ 1)/2奇對稱，是滿足式（ ）的一組解，因為 cos［ ω(n－ τ)］關于 n=τ偶對稱，所以要求 τ和 h(n)滿足如下條件： 10( ) c o s [ ( ) ] 0Nnh n n???????（ ） 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 第二類線性相位特性： h(n)應當關于 n=(N－ 1)/2點奇對稱。 （ ） 1( ) , 22( ) ( 1 ), 0 ≤ ≤ 1Nh n h N n n N? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? N為奇數和偶數時 h(n)的對稱情況分別如表 3和情況 4 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 2． 線性相位 FIR濾波器幅度特性 Hg(ω) 的特點 1 ,2N? ?? 12NM ?????? FIR濾波器時域約束條件： h(n)=177。 h(N－ n－ 1) 為了推導方便，引入兩個參數符號： 情況 1： h(n)=h(N－ n－ 1), N為奇數 將時域約束條件 h(n)=h(N－ n－ 1)和 θ(ω)=－ ωτ代入式（ ）和（ ），得到 : 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 n10)()( ????? ?? jNnj enheHn12/12/)1(n2/30)()2 1()()( ??????????? ?? ???? jNNnNjjNnj enheNhenheH －）（）－（m)/3m/)(n/3 m()()()( ?????????? ?????? 120212012 1 NjNNjjNnj eNheNhenheH （）－（）－（ ） ????n1m ??N＝令??????? ??? ))(c o s ()()()(/?????? －＋）－（nnhheeH3Nnjj202])[()()( )n()n(/3/)( 2121202121 ?????? ???? ??? ? NjNjNnNjj eenhNheeH ????）－（1 ,2N? ??第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 ★★ 呈偶對稱對 ,2,0)(g ???? ?H)nc o s ()n()()(ng ??? －＋ ????102MhhH第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 )(?gH 仿照情況 1的推導方法得到 : 1j j j jg00( e ) ( ) e = ( ) e e 2 ( ) c os( ( ) )NMnnnH H h n h n n? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ???（ ） g0( ) 2 ( ) c o s [ ( ) ]MnH h n n? ? ?????式中： ( 1 ) / 2 / 2 1 / 2NN? ? ? ? ?? ??c os[ ( ) ] c os sin 022NNn n n?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 情況 2： h(n)=h(N－ n－ 1), N為偶數 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 ★★ 呈奇對稱呈偶對稱對,)(g??????? 20H★ 不適合高通，帶阻濾波器 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 )(?gHn10)()( ????? ?? jNnj enheH])()([)( 1 )n(n ???????? ? NjjMnj enNhenheH ??? 10])()([)( 1 )n(n ?????? ? NjjMnj enhenheH ???0? ])[()( )n()n(/)( 2 12 11021??????? ?? ?NjNjMnNjj eenheeH ????1 ,2N? ?? 情況 3： h(n)=－ h(N－ n－ 1)， N為奇數 )]n(i n [)n(j)(n????? －sheeH Mjj ? ????? 102)]n([in)n()(n2 ?????? －）＋（ sheeH Mjj ? ???? 102第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 ★★ 呈奇對稱對 ,)(g ???? 20?H★ 不適合低通、高通，帶阻濾波器 )]n([in)n()(ng ??? －shHM? ???102第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 用情況 3的推導過程可以得到 : g0( ) 2 ( ) s in [ ( ) ]MnH h n n? ? ????? 情況 4： h(n)=－ h(N－ n－ 1)， N為偶數 式中， N是偶數， τ=(N－ 1)/2=N/2－ 1/2。所以，當 ω=0, 2π時， sin［ ω(n－ τ)］ =0；當 ω=π時， sin［ ω(n－ τ)］ =(－ 1)n－N/2, 為峰值點。而且 sin［ ω(n－ τ)］關于過零點 ω=0和 2π兩點奇對稱，關于峰值點 ω=π偶對稱。 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 ★★ 呈偶對稱呈奇對稱對,)(??????? 20gH★ 不適合低通，帶阻濾波器 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 )(?gH表 線性相位 FIR數字濾波器的時域和頻域特性一覽 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 四種線性相位 FIR濾波器 相位 特性 幅度特性 適用 特點 1?)(??0)n1N(h)n(h ????????? 2 1N)(N奇 呈偶對稱，對 ???? 202N偶 偶對稱呈奇對稱對????20 ,??)n1N(h)n(h ????22 1N)( ?????????)(??03N奇 呈奇對稱，對 ???? 204N偶 偶呈對稱對呈奇對稱，對?????? 20低通 高通 帶通 帶阻 低通 帶通 帶通 高通 帶通 )nc o s ()n()()(ng??? －＋ ???? 102M hhHg 0( ) 2 ( ) c o s [ ( ) ]MnH h n n? ? ?????)]n([in)n()(ng??? －shH M???? 102g0( ) 2 ( ) s in [ ( ) ]MnH h n n? ? ?????3. 線性相位 FIR數字濾波器的零點分布特點 （ ） 10( ) ( )NnnH z h n z???? ?11001( 1 ) ( 1 ) 10( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )NNnnnnNN m NmH z h n z h N n zh m z z H z???????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? 將 h(n)=177。 h(N－ 1－ n)代入上式 , 得到 : 的零點是若 )Z(HZZ i? ）的零點（一定是 ZHZZ 1i ??的零點是）實序列： )Z(HZZ i??h ( n ）的零點（一定是）（ ZHZZ 1i ???線性相位 FIR濾波器零點：互為倒數的共軛對，確定其中一個，另外三個零點也就確定了 . 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 例如： FIR線性相位濾波器的 h(n)是實數且 n0和 n6時， h(n)＝ 0，如果 h(0)＝ 1且系統(tǒng)函數在 z=3和各 有一個零點，求 H(Z) ??必有一個則在有一個復零點，在－ 335050??jjezezH