【正文】 ? Down 2022/1/3 ? Main 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 引言： ? 無限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（ IIR）濾波器的 優(yōu)點(diǎn) 是可以用模擬濾波器設(shè)計(jì)的結(jié)果來實(shí)現(xiàn)，且可用較少的階數(shù)達(dá)到所要求的幅度特性，實(shí)時(shí)所需的運(yùn)算次數(shù)及存儲(chǔ)單元都比較少，十分適用于對(duì)相位要求不嚴(yán)格的場(chǎng)合。 ? 但 圖像處理 以及 數(shù)據(jù)傳輸 要求信道具有 線性相位特性 ，而有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)（ FIR）濾波器很容易做成嚴(yán)格的線性相位特性，且 h(n)是有限長(zhǎng)的，可用 FFT算法來實(shí)現(xiàn)過濾信號(hào)，從而大大提高效率。 ? 主要不足之處：其較好的性能是 以較高的階數(shù)為代價(jià) 換來的。（ IIR的設(shè)計(jì)中各種變換對(duì) FIR濾波器不適用。） 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 167。 FIR數(shù)字濾波器的特性 ? 實(shí)際應(yīng)用中的 FIR總是具有 線性相位 特性的，對(duì)非線性的FIR濾波器，一般用 IIR濾波器實(shí)現(xiàn)（階數(shù)少，運(yùn)算次數(shù)少，存儲(chǔ)單元少等）。 一、 線性相位 FIR濾波器條件 FIR濾波器的頻率響應(yīng)： )(10|)(|)()( ???????? ?? ? jjNnjnj eeHenheH要使 ?(?)=arg[H(ejω)]滿足線性相位，要從 恒時(shí)延 考慮。 （ h(n)為實(shí)序列） 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ??????? )()(p群延時(shí)為 ??????? d )(d)(g 所謂 恒延時(shí)濾波 就是要求 ?p(?)或 ?g(?)是不隨 ?變化的常量。 相位條件推導(dǎo) 有兩類準(zhǔn)確的線性相位，分別滿足要求： ?(?)=－ ??，（同時(shí)滿足恒相延時(shí)與恒群延時(shí)） ?(?)=b－ ??，（只滿足 恒群延時(shí)） 恒時(shí)延濾波 定義：濾波器的相延時(shí)為 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ? ??? ??????? ????? 1010s inc os)()()( NnNnjnj njnnhenheH故有 0 ? ?(?) ? ????????????????????????1010c os)(s i n)(ar c t an)(ar g NnNnjnnhnnheH?????????????????c oss inc os)(s in)()t an ( 1010NnNnnnhnnh??????? )(⑴ 、 ?(?)=－ ?? ? 圖像是經(jīng)過原點(diǎn)的一條斜線。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ? ??????????????? 1010s inc os)(c oss in)(NnNnnnhnnh? ? 0)(s in)(10????? ???Nnnnh式 FIR濾波器具有 ?(?)=－ ?? 線性相位的 必要且充分條件 。 可以證明，要使上式成立，必須滿足 ????????????10 )1()(2/)1(NnnNhnhN 式 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return h(n)以 (N1)/2為軸呈偶對(duì)稱 n N1 0 (N1)/2 h(n) N為偶數(shù) N為奇數(shù) n N1 0 (N1)/2 h(n) h(n)=h(N1n)稱為 偶對(duì)稱序列 。 要求 h(n)序列以 n=(N1)/2為偶對(duì)稱中心，時(shí)間延時(shí) ?=(N1)/2個(gè)抽樣周期。（無論 N為奇數(shù)或偶數(shù)都應(yīng)滿足 h(n)以 n=(N1)/2軸為偶對(duì)稱中心。） 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ? ? 0)(s in)(10?b???????Nnnnh式 FIR濾波器具有 ?(?)=b－ ??（ b=177。 p/2）線性相位 的 必要且充分條件 。 可以證明，要使上式成立，必須滿足 式 ??????????p??b???10 )1()(/2 2/)1(NnnNhnhNπ/2 π/2 ⑵ 、 ?(?)=b－ ?? ? 圖像為不過原點(diǎn)的一條斜線 按方法⑴做同樣推導(dǎo)，得 0 ω θ(ω) β 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 要求 h(n)序列以 n=(N1)/2為奇對(duì)稱中心，時(shí)延 ?=(N1)/2個(gè)抽樣周期。 當(dāng) n=(N1)/2時(shí)代入式 h(n)以 (N1)/2為軸呈奇對(duì)稱 0)2 1()2 11()2 1( ?????????? NhNNhNhh(n)=－ h(N1n)稱為 奇對(duì)稱序列 。 N為偶數(shù) n N1 0 (N1)/2 h(n) N為奇數(shù) n N1 0 (N1)/2 h(n) 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????? 10)()( NnnznhzH????????????? ????1121211210)()21()( NNnnNNnn znhzNhznh直接畫網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，有 N次乘法與 N1次加法 總體來說，當(dāng) FIR濾波器的沖激響應(yīng) h(n)為 偶對(duì)稱或奇對(duì)稱 時(shí)，此濾波器的 相位 特性是 線性 的，且群時(shí)延恒定 τ=(N1)/2。 二、 線性相位 FIR數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及其頻率響應(yīng) ? (由于 h(n)有奇對(duì)稱、偶對(duì)稱以及 N為奇數(shù)、偶數(shù)區(qū)別，故分為 4種情況討論。 ) 偶對(duì)稱， N為奇數(shù) h(n)=h(N1n) ⑴ 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 將其分解 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ??????112 1)(NNnnznh 令 n=N1m ?????????12 10)1()1(NmmNzmNh將 m換成 n ? ????????12 10)1()1(NnnNznNh則 ?????????????? ??????12 10)1(211210)1()2 1()()(NnnNNNnn znNhzNhznhzH211210)1( )21(])[()( ????????? ???? ?NNnnNn zNhzznhzH由于 h(n)=h(N1n) 經(jīng)化簡(jiǎn)后的 H(z)共有 N次加法， (N+1)/2次乘法。 （可減少約一半乘法器） 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 圖 線性相位 FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（直接型） h(n)為偶對(duì)稱， N為奇數(shù) y(n) x(n) z1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 )2 1N(h ?h(0) h(1) h(2) )2 3N(h ?)2 5N(h ?… 211210)1( )21(])[()( ????????? ???? ?NNnnNn zNhzznhzH畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 211210)1( )21(])[()( ????????? ???? ?NNnnNn zNhzznhzH)]2 1())(([12 10)2 1(2 12 1 ???? ??????????? NhzznhzNnnNnNN將 z=ejω 代入，并利用歐拉公式 )]2 1()2 1c os (2)([)(12 1021 ?????? ???????? NhnNnheeHNnNjj令 m=(N1)/2n，則 )]2 1(c o s2)2 1([)(21121 ?????? ??????? NhmmNheeHNmNjj提出因子 21Nz ??⑵ 頻率響應(yīng) 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return )]2 1(c o s2)2 1([)(21121 ?????? ??????? NhnnNheeHNnNjj其中 ???????????0 )21(20 )21()(nnNhnNhna)()()( ??? ?? jj eHeH與 比較 幅度函數(shù) 相位函數(shù) ??? ???210c o s)()(NnnnaH ??????21)( N將 m換成 n ?? ??????? 21021c o s)()(NnNjj nnaeeH2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 2π π 0 H(?) ω )(??2π π 0 ω (N1)π 可看出當(dāng) h(n)為 偶對(duì)稱、 N為奇數(shù) 時(shí)： 由于 cos(n?)對(duì)于 ?=0、 p、 2p皆為偶對(duì)稱， 所以 H(?)對(duì) ?=0、 p、 2p，也呈偶對(duì)稱。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????? 10)()( NnnznhzH???????? ??12120)()(NNnnNnn znhznh直接畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，有 N次乘法與 N次加法 ????????120)1()1(NmmNzmNh將 m換成 n ????????120)1()1(NnnNznNh又由于 h(n)=h(N1n) ??????? ??120)1( ])[()(NnnNn zznhzH經(jīng)變化后 H(z)共有 N次加法， N/2次乘法（可減少一半乘法器） 偶對(duì)稱， N為偶數(shù) ， h(n)=h(N1n) ⑴ 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 令 n=N1m 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 圖 線性相位 FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) h(n)為偶對(duì)稱， N為偶數(shù) x(n) y(n) z1 h(0) z1 z1 h(1) z1 z