【正文】 ?2π π 0 ω (N1)π 2π π 0 H(?) ω 可看出當 h(n)為 偶對稱、 N為偶數(shù) 時， H(?)的特點如下： ⑴ 當 ?=p時， cos(n1/2)p=0，故 H(p)=0 即 H(z)在 z=1處有一零點。 ⑵ sin(n?)在 ?=0、 p、 2p處都呈奇對稱，故 H(?)對 ?=0、 p 、2p也呈奇對稱。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 則 ?? ?????? ????? 1010)1()()( NnnNnn znNhznhzH令 m=N1n，則 ???????? 10)1()()( NmmNzmhzH??????? 10)1( )()( NmmN zmhzzH三、 線性相位 FIR濾波器的零極點分布 ? 在第五章介紹過， FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(z)在 z=0處有 N1階極點 ，在有限 z平面上有 N1個零點 ，那么如果濾波器是線性相位的，則此 N1個零點的分布是有規(guī)律的。 因而他們的基本因子為： ijii erz ?? ijii erz ??? ?ijii erz??? ? 1)( 1ijii erz??? ? 11分以下幾種情況 ? 設零點 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 43211)( ???? ????? zazbzazzH iiiirra ???? c o s)1(2 2iii rrb ???? c o s412其中 上式可用線性相位 FIR濾波器 直接型結構 實現(xiàn) (N=5) ])(1)[1)(1)(1()( 111111 ???????? ????? zzzzzzzzzH iiiii或化成兩個實系數(shù)二階多項式（把共軛對因子相乘） 用線性相位 FIR濾波器 級聯(lián)型結構 實現(xiàn) 化簡后為 xi(n) z1 z1 a b yi(n) z1 z1 a 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return jIm(z) z平面 Re(z) 1 0 zi zi* iji ez ?? iji ez ??? ?ij1i e)z( ??? ?ij1i ez ??? ?這時 零點的共軛值就是它的倒數(shù) 。在應用時，可根據(jù)實際需要選用合適類型的 FIR濾波器，同時設計時要遵循有關的 約束條件 。 2p ω |Hd(ejω)| 2p p p 0 ?c ?c p???p??p? ??????pp???nndedeeHnh cjnjnjddcc)s in (21)(21)(2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 此沖激響應是無限長，但要求的是 有限長沖激響應濾波器 ，要由 hd(n)得到 FIR濾波器的沖激響應 h(n)，最直接的方法就是將 hd(n)截短，即令（假設 N為奇數(shù)） ?????p?? nn nnh cd )s in()(????? ??e ls e 021N|n| ( n))( dhnhn 0 hd(n) 21N21N?h(n) 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return )()()( nwnhnh Rd ?? ????? ??e ls e 021N|n| 1)( nw R這樣便得到了 FIR數(shù)字濾波器的沖激響應 h(n)，但此濾波 器的頻率響應 H(ejω)肯定與理想濾波器的頻率響應 Hd(ejω) 有 差異 。 因而得到頻率響應 H(ejω) ?? ? ?? ???p p? ???? ?p??p? c c deWdeWeH jRjRjd ][2 1][)(2 1 )()(2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 當 ?逐漸增大，隨著圖中不同正負，不同大小的旁瓣 移出和移入積分區(qū)間，使得 H(ej?)的大小產生波動。 ⑷ 當 ?=?c+2p/N時 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 由圖可知，加了矩形窗后所到的 FIR數(shù)字濾波器的頻率響應H(ejω)與理想的頻響 Hd(ejω)之間產生了差異，表現(xiàn)在 H(ejω)出現(xiàn)了肩峰、過渡帶以及通帶和阻帶內的波動，這就是所謂的吉布斯現(xiàn)象 。 ② 肩峰及波動 ：這是由窗函數(shù)頻譜的旁瓣引起的。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 因此， 窗口法 設計 FIR濾波器 ? h(n)長度 N可以影響過渡帶的寬度，而所選 窗函數(shù) 不僅可以影響過渡帶寬度，還能影響肩峰和波動的大小，因此選擇窗函數(shù)應使其頻譜滿足： ① 主瓣寬度盡可能小，以使過渡帶盡可能陡； ② 旁瓣相對于主瓣越小越好，這樣可使肩峰和波動減小。 由于 偶對稱 ，所以相位函數(shù)都一樣 三、 幾種常用窗函數(shù) ? 這里介紹幾種常見窗函數(shù)，它們的長度均設為 N， N可以是奇數(shù)或偶數(shù)，但 w(n)都是 偶對稱 的。 ⑵ 其次 求 其反變換，得到無限長序列 hd(n) 。 （如不滿足需重新設計） 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ?????p??nnnnh cd )s in()(n 0 hd(n) 根據(jù) h(n)=hd(n)w(n)， w(n)與h(n)都為 0~N1，且對稱中心為 (N1)/2，所以要求對 hd(n)進行移位，才能得到正確的 h(n) 注 意 前面介紹窗函數(shù)的理論時的分析，雖然是針對矩形窗，但其基本原則 和 所得結論 對于采用其他窗時也完全適合。 jjdeeHn 0 )2 1Nn(h d ??(N1)/2 N1 這樣將 hd’(n)加窗后， w(n)是偶對稱因果序列，所以 h(n)也是偶對稱因果序列，對稱中心在 ?=(N1)/2。 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????? p????? ????ls e 0|| )( ceeeH jjdp??p??)(])s in [ (nn 是全通濾波器，因此一個高通濾波器相當于一個全通濾波器減去一個低通濾波器。 理想線性相位 帶通 濾波器 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ????? p????????? ????ls e 0|| ,|| 0 )( 21eeeH jjd???????p????p??p??????????p???)(n )(n )(])s in [ (])s in [ (])s in [ ()(2121nnnnnh d理想線性相位 帶阻 濾波器 一個帶阻濾波器相當于一個低通濾波器（截止頻率為 ?1 ）加上一個高通濾波器（截止頻率為 ?2 ） 注意：確定 N時只能取奇數(shù)。 ? FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)可由 H(k)通過一個內插式精確的恢復 ??? ?????? 10 11)(1)( Nk kNNzWkHNzzH)(|)(|)()(22kNjkNjWz eHeHzHkH kNpp???? ??? ?其中 H(k)即為頻率取樣 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 1N,0 , 1 ,k )(|)()(22 ????pp??? kNjdkNjdd eHeHkH令 H(k)＝ Hd(k)，即以 Hd(k)作為實際 FIR濾波器的頻率響應樣值 H(k)，然后通過內插式所求得的 H(z)和 H(ejω) ，就可以逼近理想系統(tǒng)函數(shù) Hd(z) 和 Hd(ejω) 。反之理想頻率響應特性變化越陡，則內插值與逼近誤差越大，因而在理想特性不連續(xù)點附近就會產生肩峰與波紋 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return ? 如果我們所設計的 FIR濾波器是線性相位的，還必須使取樣頻響的幅度和相位遵守 167。在單位圓上可以有兩種抽樣方式， 第一種是第一個抽樣點在 ?=0處 （或在 z＝ ej0=1處）， ? 第二種是第一個抽樣點在 ?=p/N處 （或在 z=ejπ/N處），每種方式可分為 N是偶數(shù)與 N是奇數(shù)兩種，如圖所示： 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return Im[z] Re[z] 0 1 N=12 1 2π/N π/N Im[z] Re[z] 0 1 N=11 1 2π/N π/N ??? ?????? 10 11)( 1)( Nk kNNzWkHNzzH第一種抽樣內插公式 第二種抽樣內插公式 ??? ??????? 10 1)21(1)( 1)( Nk kNNzWkHNzzH（這里的頻率取樣法設計與第五章的頻率取樣結構并不是一回事） 第 二 種 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 在低通設計中，當不加過渡點時，阻帶最小衰減為－ 20dB 過渡帶寬 2p/N ω 0 Hd(ejω) Hk ωc 三、 過渡帶抽樣的優(yōu)化 ? 逼近誤差的大小取決于理想頻響的曲線形狀（是否平滑）為了改善濾波器的特性，可以在頻響間斷點附近區(qū)間內插入一個或幾個過渡取樣點，從而增加過渡帶，減小頻帶邊緣的突變，也就減少了起伏振蕩，增大了阻帶最小衰減。 增加三個過渡點時，阻帶最小衰減可提高到 － 80dB～－ 95dB 過渡帶寬 8p/N 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 例 731：利用頻率取樣法，設計一個線性相位低通 FIR數(shù)字濾波器，其理想頻率特性是矩形的 ??? ?????l s e 0|| 1|)(| ceeH jdω 0 |Hd(ejω)| Hk ?c 0 1 8 9 16 k 根據(jù)指標，可畫出取樣后的 H(k)序列 如圖： 根據(jù) H(k)計算出 H(ejω)，其阻帶最小衰減約為 － 20dB 過渡帶為 2p/33 已知 ?c =，取樣點數(shù) N=33 2022/1/3 ? Down ? Up ? Main Return 繼續(xù)增加過渡點，可提高系統(tǒng)性能，但不希望再加寬過渡帶，這時可增加取樣點數(shù) N ω 0 |Hd(ejω)| Hk ωc 0 1