【正文】 誤差小。 ? ? ? ?x n h n?FIR數(shù)字濾波器的缺點(diǎn) 1）不能用模擬濾波器的設(shè)計方法，無解析設(shè)計公式，要借助計算機(jī)輔助設(shè)計； 2）由于沒有極點(diǎn)，同樣幅頻特性，要獲得較好的過渡帶特性，需較高的階數(shù)做為代價。 線性相位 FIR數(shù)字濾波器的特性 本節(jié)主要介紹 FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性以及零點(diǎn)、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。 ? N為偶數(shù)時， 對 呈偶對稱。 ? N為偶數(shù)時， 對 呈奇對稱。 窗函數(shù)設(shè)計法 頻域給出指標(biāo) 給出理想濾波器的頻率響應(yīng) jd ( e )H ?設(shè)計 FIR濾波器，求其頻率響應(yīng) ? ?1j j0( e ) eNnnH h n????? ?逼近 設(shè)計在時域進(jìn)行 ? ?1D TF Tjdd( e )H h n? ?????hd(n)無限長，非因果 設(shè)計 h(n) ，有限長，因果 ? ? ? ? ? ?dh n h n w n??逼近 設(shè)計方法（以低通濾波器設(shè)計為例） ()0jcjdceHe??? ??? ? ??? ??? ?????c?()jdHe?c?? ?理想低通濾波器的頻響 1 0 0 為群延時 ?()? ? ? ????()1()2s i n ( )12 ( )ccccj j ndcjn cch n e e dnedn?? ? ????????????? ? ? ????????????????單位抽樣響應(yīng) 相位 ()? ? ? ???n ??hd(n)偶對稱，對稱中心 hd(n)無限長的非因果序列 設(shè)計可 實現(xiàn) FIR濾波器的單位 脈沖響應(yīng) ( ) ( ) ( )dh n h n w n?窗函數(shù) 先選取最簡單的窗函數(shù) 1 , 0 1( ) ( )0,RNnNw n R n? ? ???? ?? 其 它( ) 0 1( ) ( ) ( )0ddh n n Nh n h n w nn? ? ???? ?? 其 它12N? ??按第一類線性相位條件，得 ? ?1si n201 120cccNnnNhn Nnn????? ?? ????? ?????????? ? ???? ????????????? 其 它11()201()2s i n2()s i n / 2()NNjj j nRnNjRNW e e eWe?????????????????? 加窗處理對頻譜性能的影響 理想低通濾波器的頻響 1()2dd( ) ( )NjjH e H e ?? ????d1,()0,ccH???? ? ?? ??? ?????矩形窗的頻響 主瓣寬度 4N????( ) ( ) ( )dh n h n w n? d( ) ( ) * ( )j j jRH e H e W e? ? ??()d11( ) ( ) ( )22d1()2d1()21( ) ( ) ( )21( ) ( )21( ) ( )21()2ccj j jRNNjjRNjRNjRH e H e W e dH e W e de H W de W d?? ? ? ??? ? ? ??????????? ? ? ??? ? ? ??? ? ??????? ? ???????????? ? ?? ? ?????線性相位 幅度函數(shù) 窗函數(shù)的頻率特性WR(ejω) 決定了 H(ejω)對 Hd(ejω)的逼近程度。 4N????過渡帶：正肩峰與負(fù)肩峰的間隔 過渡帶寬 =窗頻譜 WR(ejω)主瓣寬度 正、負(fù)肩峰位置 2c N?????截止頻率兩側(cè) 窗譜函數(shù)旁瓣多 起伏振蕩多 窗譜函數(shù)旁瓣相對幅度大 起伏振蕩幅度大 ② H(ω)形成正 、 負(fù)肩峰 ， 肩峰兩側(cè)形成起伏振蕩 ③ 改變 N只能改變窗譜的主瓣寬度 ， 但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例 。 sin ( / 2 ) sin ( / 2 ) sin()sin ( / 2 ) / 2RN N xWNx?????? ? ?主瓣幅度增加，旁瓣幅度也增加 吉布斯效應(yīng)： （ 截斷效應(yīng) ） 在矩形窗情況下 ， 最大相對肩峰為 %，N 增加時 ， 減小 ， 故起伏變密 ， 而最大相對肩峰卻總是 %， 這種現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng) 。 h(n)代替 hd(n) 引起的誤差，在頻域上表現(xiàn)為 圖 增大 N增大 N對矩形窗幅度特的影響 引出原因： 矩形窗阻帶最小衰減 20 lg( %) 21 d B??在工程上，衰減量不夠 要加大阻帶衰減，需要改善窗口函數(shù)形狀 改善窗口函數(shù)形狀的標(biāo)準(zhǔn) 窗函數(shù)不僅起到截斷作用，還能起到平滑作用。 （ 2）主瓣寬度 ，窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度。 （ 4）阻帶最小衰減 （ dB）。 窗函數(shù)參數(shù)： n?20 lg ( ) / ( 0 )jW e W???B?st?1. 矩形窗 (Rectangle Window) 傅里葉變換 幅度函數(shù) 1 0 1( ) ( )0NnNw n R n? ? ???? ?? 其 它主瓣寬度最窄： 4N?旁瓣幅度大 ? ?1120( ) ( )NN jj j nRnW e w n e W e ??? ??? ??????si n2()si n2NW????13 d Bn? ?? 4/ N???? 1. 8 /BN?21 d Bst? ?矩形窗及加窗處理后波器波形 0 5 10 15 2000 . 51nw(n)0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 5 0 1 30? / ?dB0 5 10 15 20 0 . 200 . 20 . 4nh(n)0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 6 0 2 10? / ?dB 頻率響應(yīng) 2. 三角形窗 (Bartlett Window) 210 ( 1 )12()212 ( 1 ) 112nnNNwnnN n NN?? ? ??? ?? ?? ? ? ? ? ????2121si n ( )2 4()1 si n ( / 2 )NjjNW e eN???????????? ??? ????8N?主瓣寬度寬： 旁瓣幅度較小 25 d Bn? ?? 8/ N???? 4. 2 /BN??? d Bst? ?利用歐拉公式 3. 漢寧 (Hanning)窗 ——升余弦窗 2( ) [ 1 c os( ) ] ( )1 Nnw n R nN????2211 [ 1 ] ( )2nnjjNNNeeRn????????利用 DTFT的頻移特性 12121212212( ) ( ) 121NNjjj NRRNjNRW e W e W eNWeN????????????? ? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ???? ? ?????????? ?????121222( ) ( ) 11()NjjR R RNjW e W W W eNNWe?????? ? ???????? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ??????幅度函數(shù) 22( ) ( ) 11R R RW W W WNN??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ???三部分矩形窗頻譜相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大減小，主瓣寬度增加 1倍。 可進(jìn)一步抑制旁瓣的效果 24( ) [ c os c os ] ( )11 Nnnw n R nNN??? ? ???121222( ) ( ) 114411()jR R RNjRRNjW e W W WNNW W eNNWe?????? ? ?????????? ???????? ????? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ??? ??幅度函數(shù) 12N?主瓣寬度最寬： 旁瓣幅度最小 22( ) ( ) 114411N R RRRW R W WNNWWNN??? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ???57 d Bn? ?? 12 / N???? 11 /BN??? 74 d Bst? ?6. 凱塞 —貝塞爾窗 (KaiserBasel Window) 前面介紹的窗函數(shù)統(tǒng)都是固定窗，即用每種窗函數(shù)設(shè)計的濾波器的阻帶最小衰減是固定不變的，而且都是以犧牲主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制的，這兩個指標(biāo)不能同時兼顧。在相同的性能指標(biāo)下，通過調(diào)整控制參數(shù)可以達(dá)到不同的阻帶最小衰減，同時可以保證最小的主瓣寬度，即有最陡峭的過渡帶，實現(xiàn)在主瓣寬度和旁瓣峰值之間的平衡。因此，凱塞窗是一種近似最佳的窗函數(shù)。 2011( ) 1 [ ( ) ]!2kkxIxk???? ?I0( 一般取 15~25項就可滿足精度要求。 一般 β加大 ， 主瓣加寬 ，旁瓣幅度減小 ， 典型數(shù)據(jù)為 4 β 9。 β = ， 窗函數(shù)接近布萊克曼窗 。 一般原則是在滿足阻帶最小衰減的要求下 ， 盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù) 。 低通濾波器的設(shè)計 例 利用窗函數(shù)法設(shè)計一個 FIR低通濾波器，要求：通帶截止頻率 ωp=，阻帶截止頻率 ωst=，阻帶最小衰減 δst≥50dB。因為要求 δst≥50dB ，查表 窗、布萊克曼窗等都滿足要求。設(shè)計所要求的過渡帶寬為 pB ? ? ?? ? ? ?漢明窗的帶寬為 N? ???? 1 162N? ?（ 3）確定所設(shè)計濾波器 h(n)。 0 5 10 15 20 25 30 0 . 2 0 . 100 . 10 . 20 . 30 . 40 . 5nh(n)單位抽樣響應(yīng)0 0 . 3 0 . 4 0 . 5 1 1 0 0 5 3 4 560? / ?dB幅度頻率響應(yīng)例 利用窗函數(shù)法設(shè)計一個 FIR低通濾波器，所希望的頻率響應(yīng)函數(shù)為 , ()0, jjdeHe?????? ? ??? ??? ?????若長度 N=21，觀察加不同窗函數(shù)后濾波器幅度特性的變化。 解 ：（ 1） 確定凱塞窗的參數(shù) β和 N。 si n [ ( 18. 5 ) ]()( 18. 5 )dnhnn?????（ 4）確定所設(shè)計濾波器