【正文】 ()( ?????20,1,0 ??k????????????????????40,34,33,32,31,11,10,09,8,1,0,)()(4140414041404140)(???kekekkekeekAkHkjkjkjkjkj?????（ 5）求解 h(n)。 ??????????????????????????????????????????????????? ???)4192sin(61)241sin()4192sin(41)241sin()412sin(41)241sin()412sin(41)241sin()2sin(41)241sin()(8120????????????????????kjjkkkkeeH圖 例 阻帶衰減： 例：利用頻率抽樣法設(shè)計(jì)一個(gè)頻率特性為矩形的理想低通濾波器，截止頻率為 ，抽樣點(diǎn)數(shù)為 N=33，要求濾波器具有線性相位。 將 H(k)表達(dá)式帶入內(nèi)插公式（ ）化簡，得 ????40041)(411)]([)(kknWkHkHIDFTnh 依據(jù)上式分析濾波器的性能，從而驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果是否滿足指標(biāo)要求。 （ 2）估算頻域抽樣點(diǎn)數(shù)，依據(jù)式 ()，得 留一點(diǎn)的裕量，取 N=41 40)(2)11(/2)1( ?????? ??? BmN（ 3）構(gòu)造所希望的頻率響應(yīng)函數(shù)。 （ 5）求解所設(shè)計(jì)濾波器單位抽樣響應(yīng) h(n)。一般選擇 Hd(ejω)為理想頻率響應(yīng)，注意應(yīng)確保相位 θ(ω)為線性相位，而要 Hd(ω)滿足線性相位要求。依據(jù)給定的 δst ，結(jié)合表 。 圖 注意：這時(shí)總抽樣點(diǎn)數(shù) N并未改變，只是將原來為零的幾個(gè)點(diǎn)改為非零點(diǎn) 增加過渡帶抽樣點(diǎn)，可加大阻帶衰減，一般取過渡帶的抽樣點(diǎn)數(shù)為 1~3點(diǎn)即可得到滿意的效果。 時(shí)域： 依據(jù)頻域抽樣知識(shí) 若 Hd(ejω)是分段的，則 hd(n)是無限長的。 由上圖看出，抽樣點(diǎn)數(shù) N越大， Hd(ω)平坦區(qū)域的誤差越小，過渡帶也越窄，通帶與阻帶的波紋變化越快。依據(jù)所要求的截止頻率，得 則 接下來，從 ω=0開始對(duì) Hd(ejω) 在 ω =0~ 2π抽樣 15點(diǎn)，得到幅度抽樣 A(k)，如圖 (a)所示。 為了討論方便，將所設(shè)計(jì)濾波器的 H(ejω) 、 H(k)分別表示成以下形式： )()()( ??? ? jj eHeH ? )()()( kjekAk ??() () 比較上述兩式，可知下述關(guān)系成立： )2(|)()( 2 kNHHkAkN???? ?? ?1,1,0 ?? Nk ? )2(|)()(2 kNk kN??????? ?? ?1,1,0 ?? Nk() () 從表 ，此時(shí)幅度函數(shù) 關(guān)于 ω=π偶對(duì)稱，即 則 即 相位抽樣 φ(k) ( ) ( 2 )HH? ? ???1） h(n)偶對(duì)稱， N為奇數(shù) )())(2()22()2()( kNAkNNHkNHkNHkA ??????? ????( ) ( ) 0 , 1 , , 1A k A N k k N? ? ? ?() ??? ??kNNNkkN)1(|2)1()(2???????1,1,0 ?? Nk ?() 此時(shí)幅度函數(shù)關(guān)于 ω=π奇對(duì)稱，即 即 相位抽樣 φ(k) 2） h(n)偶對(duì)稱， N為偶數(shù) ( ) ( 2 )HH? ? ?? ? ?)())(2()22()2()( kNAkNNHkNHkNHkA ?????????? ????( ) ( )A k A N k? ? ?1,1,0 ?? Nk ? ??? ??kNNNkkN)1(|2)1()(2???????1,1,0 ?? Nk ?3） h(n)奇對(duì)稱， N為奇數(shù) 3） h(n)奇對(duì)稱， N為偶數(shù) )()( kNAkA ??? ??? kNNk )1(2)(???1,1,0 ?? Nk ? 1,1,0 ?? Nk ( ) ( )A k A N k?? ??? kNNk )1(2)( ??? 1,1,0 ?? Nk ? 1,1,0 ?? Nk 設(shè)計(jì)公式 頻率抽樣的兩種方法 1）第一種頻率抽樣 ? ? ? ? 2jdkNH k H e ? ?? ??0 , 1 , ..., 1kN??1101 ( )()1N Nkk Nz H kHzN W z? ????????系統(tǒng)函數(shù) ： ? ? ? ?1 120si n1 2si n2kN Njjj NkNH e e H k ekNN??????? ???????????????????頻率響應(yīng)： 2）第二種頻率抽樣 ? ? ? ? 2jdkNNH k H e ? ??? ???0 , 1 , ..., 1kN??? ?1210 121()1N NjkkNHkzHzNez?? ??????? ???????? ?? ?121 120c o s21si n22jkNN NjjkNH k eH e eNjkN?????????? ??? ?????????????? ???? ?????????系統(tǒng)函數(shù)： 頻率響應(yīng)： 線性相位第一種頻率抽樣 依據(jù)式（ ） 而 當(dāng) N為奇數(shù)時(shí)， N1為偶數(shù)，由于 ，則可取 ( 1 )() NkkN?????1,1,0 ?? Nk ? ???? kNNNkNNNkN )1()1()()1()( ????????????? kNNjkNNNj ee )1(])1()1([ ????? ??? kNNkN )1()( ??? 1,1,0 ?? Nk ?當(dāng) N為偶數(shù)時(shí)， 為 N1奇數(shù)，由于 ，則可取 但此時(shí) A(k)=A(Nk)，則 所以此時(shí)可以將幅度抽樣和相位抽樣改寫為 ])1([])1()1([ ???? kNNjkNNNj ee ?????? ? ??? kNNkN )1()( ???? 1,1,0 ?? Nk ? ???? kNNjkNNjkNj ekAekAekNAkNH)1(])1([)( )()()()(???? ??????)()( kNAkA ?? ?? kNNkN )1()( ???綜合上述分析過程，可得到如下設(shè)計(jì)公式： （ 1） N為奇數(shù) （ 2） N為偶數(shù) )()( kNAkA ??( 1 )( ) ( ) Nk N k kN? ? ??? ? ? ? ?1,1,0 ?? Nk ? )()( kNAkA ??( ) 02N ? ( 1 )( ) ( ) Nk N k kN? ? ??? ? ? ? ?1,1,0 ?? Nk ?() () 例如：設(shè)計(jì)所希望的濾波器是理想低通濾波器，要求截止頻率為 ωc，抽樣點(diǎn)數(shù) N為奇數(shù)，則 A(k) 、 φ(k)可以下列公式計(jì)算： kc為小于或等于 的最大整數(shù)。同時(shí)，也就可以獲得其系統(tǒng)函數(shù) H(z)或頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω) 。 解： , ()0, 0 jjdeHe???? ? ????? ?????????si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ], 15( 15 ) ( 15 )(), 15dnnnnnhnn????????????? ?? ??選擇漢明窗函數(shù)，則 31si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] 2( ) c os ( )( 15 ) ( 15 ) 1n n nh n R nn n N? ? ??????? ?? ??? ? ???????? ? ????? ??線性相位 FIR帶通濾波器的設(shè)計(jì) 理想帶通的頻響 1221( ) ( )1()2j n j ndh n e d e d??? ? ? ????? ?????????????? ?? ?? ?? ?2121si n si nnnnnnn? ? ? ??? ? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ????? ??? ??????其單位抽樣響應(yīng)： 120()0jjdeHe ??? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ?? 其 它12N? ??例 利用漢寧窗設(shè)計(jì)一個(gè) FIR帶通濾波器，所希望的頻率響應(yīng)函數(shù)為 取長度 N=31。 0. 11 02 ( 8. 7 ) 5. 65 3st??? ? ?81 19 5( )sts t pN????? ? ??取 N=38 203802( 1 ( 1 ) )37( ) ( )( )nIw n R nI???（ 2）確定理想低通濾波器的截止頻率 ωc 2c???? ???（ 3）求解 hd(n)。依據(jù)所選窗函數(shù)，得到單位抽樣響應(yīng)為 33( ) ( ) ( )si n [ ( 16 ) ] c os ( )( 16 ) 16dh n h n w nnnRnn??????? ???? ????? ????（ 4）由 h(n) 求出 H(ejω) ，以便驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果是否滿足要求。 解 ：（ 1） 以理想線性相位低通濾波器作為逼近濾波器，即 d,()0,jcjceHe?????? ? ??? ????????單位抽樣響應(yīng)為 dsi n [ ( ) ]()()cccnhnn? ? ?? ? ????理想低通濾波器的截止頻率 ωc為 22p stc?? ????? ?? ? ? si n [ ( ) ] si n [ ( ) ] ( ) ( )nnnn? ? ? ? ?? ? ? ? ???????為了保證線性相位 12N? ??（ 2）依據(jù)阻帶最小衰減指標(biāo)選擇窗函數(shù)類型。 圖 凱塞窗波形（ N=21） 圖 參數(shù)變化時(shí)凱塞窗的傅里葉變換 表 β對(duì)濾波器性能的影響 若阻帶最小衰減表示為 δst， β的確定可采用下述經(jīng)驗(yàn)公式 81 5 ( )stst pN???????0 .40 21 42 ( 21 ) 886 ( 21 ) 21 50 02 ( ) 50stst st stst st?? ? ? ??????? ? ? ? ? ??? ???n???BS 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法總結(jié) (1)確定所希望設(shè)計(jì)濾波器的 hd(n) 一般以理想線性相位濾波器作為逼近函數(shù)來求hd(n)， 即設(shè) Hd(ejω)為理想線性相位濾波器 ， 那么單位取樣響應(yīng)用下式求出： dd1( ) ( )2jjh n H e e d? ??????? ?求解過程中涉及 Hd(ejω)的截止頻率 2p stc?????(2)根據(jù)對(duì)過渡帶及阻帶衰減的要求 ， 選擇窗函數(shù)的形式 ， 并估計(jì)窗口長度 N。 β參數(shù)可以控制窗的形狀 。 20