【正文】 h(n)。 解： 1）求數(shù)字頻率 42 10 ( / sec )s ra d?? ? ? ? 32 ( / sec )p ra d?? ? 32 3 10 ( / sec )st ra d?? ? ? ?/ 2 / 0. 2p p s p sf? ? ?? ? ? ? ? ?/ 2 / 0. 4s t s t s s t sf? ? ?? ? ? ? ? ?2）求 hd(n) ? ?2p s tc??????? si n [ ( ) ]()()dnhnn???????3）選擇窗函數(shù)：由 確定漢明窗 50d Bst? ?2( ) 4 6 c os ( )1 Nnw n R nN??????? ??? t p? ? ? ?? ? ? ? 33N ????1 162N? ???4）確定 N 值 N???選 擇 漢 明 窗 ：5）確定 FIR濾波器的 h(n) ? ?? ? 33si n 16( ) c os ( )16 16n nh n R nn? ???? ? ????? ? ???? ??6）求 ，驗(yàn)證 ()jHe ?若不滿足，則改變N或窗形狀重新設(shè)計(jì) 線性相位 FIR高通濾波器的設(shè)計(jì) 理想線性相位高通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)為 ,()0, 0jcjdceHe???? ? ????? ?????????單位抽樣響應(yīng)為 ( ) ( )11( ) ( )22si n [ ( ) ]si n [ ( ) ],( ) ( ),ccj j n j n j nddcch n H e e d e d e dnnnnnn? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ????????? ? ? ????????????? ? ??????????????? ??????? ? ?12N? ??高通濾波器的長(zhǎng)度 N只能取奇數(shù) 例 利用漢明窗設(shè)計(jì)一個(gè) FIR高通濾波器，所希望的頻率響應(yīng)函數(shù)為 取長(zhǎng)度 N=31。 解： , ()0, 0 jjdeHe???? ? ?? ? ? ? ??? ?????? ? ? ??? 、si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ], 15( 15 ) ( 15 )() , 15dnnnnnhnn????????????? ?? ??所設(shè)計(jì)帶通濾波器的單位抽樣響應(yīng)為 31si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] 2( ) 1 c os ( )( 15 ) ( 15 ) 1n n nh n R nn n N? ? ????????? ?? ??? ? ?? ? ? ?????? ? ????? ????0 10 20 30 0 . 2 0 . 100 . 10 . 20 . 3nh(n)單位抽樣響應(yīng)0 0 . 4 0 . 6 1 8 0 4 460? / ?dB幅度頻率響應(yīng)線性相位 FIR帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 理想帶阻的頻響： 2112( ) ( ) ( )1()2j n j n j ndh n e d e d e d? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?????? ? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?1212si n si n si nn n nnn n nn? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ???????其單位抽樣響應(yīng)： 120,()0jjdeHe??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ?? 其 它例 利用矩形窗設(shè)計(jì)一個(gè) FIR帶阻濾波器，所希望的頻率響應(yīng)函數(shù)為 取長(zhǎng)度 N=31。 10( ) ( ) ( )Nj j n jdnH e h n e H e? ? ???????1( ) ( )2j j nddh n H e e d? ??? ?? ?? ?( ) ( ) ( )dh n w n h n?窗函數(shù)設(shè)計(jì)法： 對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度為 N的序列 h(n)，若知道其頻域的 N個(gè)抽樣值 H(k)，則 h(n)就可以由 H(k) 唯一地確定。 設(shè)所希望得到的頻率響應(yīng)為 Hd(ejω) （一般為理想頻率響應(yīng)），在頻域的 ω=0~2π之間對(duì)其等間隔抽樣 N點(diǎn)（或?qū)?Hd(z) 在單位圓上進(jìn)行等間隔抽樣），得到 個(gè)抽樣值為 設(shè)計(jì)的基本思想 kNjd eHkH ???2|)()( ?? 1,1,0 ?? Nk ?則 重構(gòu)系統(tǒng)函數(shù) H(z) 12/01( ) ( ) , 0 , 1 , ..., 1N j nk Nkh n H k e n NN ???? ? ??101 1 1 12 / 2 /0 0 0 0112 / 1 100( ) ( )11[ ( ) ] ( )1 1 1 1( ) ( )11NnnN N N Nj nk N n j nk N nn k k nNNNNj nk N kkk NH z h n zH k e z H k e zNNzzH k H kN e z N W z??????? ? ? ???? ? ? ?????? ? ???????????????????? ? ? ???() 將 z=ejω代入 H(z)表達(dá)式可得 式中，內(nèi)插函數(shù) 12/011()20101 ( ) ( 1 )()11 ( ) si n( / 2)si n[ ( 2 / ) / 2]2( ) ( )jNNjj nk N jkNkNjNkNkH k eHeN e eH k NeN k NH k kN??????????????????????????????????() 12si n12()si n2NjNeN????????從式（ ）可以看出，在個(gè)頻率抽樣點(diǎn)上，濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)時(shí)嚴(yán)格和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等，但是在抽樣點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)則是個(gè)抽樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而形成的，因而有一定的逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)的曲線形狀，理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插越接近理想值，逼近誤差越?。环粗?，如果抽樣點(diǎn)之間的理想頻率響應(yīng)變化越陡，則內(nèi)插與理想值之間誤差就越大。下面將以該表內(nèi)容為依據(jù)，討論當(dāng) H(k)的幅度和相位滿足什么條件時(shí)，才能使所設(shè)計(jì)的 FIR濾波器具有線性相位。 21,1,0,)1()()(21,2,1,0)()(,1,0,1)()(???????????????????NkkNNkNkNkkkkNAkAkkkNAkAccc????????2Nc 逼近誤差 逼近誤差的特點(diǎn) 例 用頻率抽樣法設(shè)計(jì)一個(gè)具有第一類線性相位FIR低通濾波器，要求截止頻率 ωc =，繪制出當(dāng)頻域抽樣點(diǎn)數(shù) 分別為 1 65時(shí)的設(shè)計(jì)結(jié)果波形，并分析逼近誤差的特點(diǎn)。先計(jì)算在通帶內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù) kc +1（ ω =0~ π）。 32 ??? ???? Nc3?ck圖 例 因?yàn)?N為奇數(shù)，所以依據(jù)式 ()的設(shè)計(jì)公式，此時(shí)相位抽樣為 由此得頻率抽樣 H(k)為 ??? kkNk 1514)()( ?????0 , 1 , , 7k ? ?????????????14,13,12,11,5,4,03,2,1,0,)()(15141514)(kekkeekAkHkjkjkj????（ 2）求解 h(n) （ 3）求解設(shè)計(jì)所得濾波器的頻率響應(yīng) H(ejω) 由于 A(k)=A(Nk)， φ(k)=(N1)kπ/N，所以滿足線性相位條件。其中，由黑圓點(diǎn)所描述的曲線是 N=65時(shí)繪制出的 波形，空心圓表示N=15時(shí)的 波形。本例中當(dāng) N=15時(shí)，阻帶最小衰減 δst約為 , 當(dāng) N=65時(shí)， δst約為 , 可見 N的增大對(duì)阻帶的最小衰減并無明顯改善。這樣，在各抽樣點(diǎn)處，二者的逼近誤差為零；而在各抽樣頻率點(diǎn)之間存在逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)的曲線形狀和 N的大小。這樣，hd(n)在周期延拓時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生時(shí)域混疊，從而使所設(shè)計(jì)的 h(n)與所希望的 hd(n)之間出現(xiàn)偏差。 ??? ?? ?? ?? deeHnh njjdd )(2 1)( ???????rNd nRrNnhn )()()(3．減小逼近誤差的措施 1）增加過渡帶抽樣點(diǎn) 加大過渡帶寬，即在不連續(xù)點(diǎn)的邊緣增加值為 0到 1之間（不包含 0和 1）的過渡帶抽樣點(diǎn)，可以緩和階躍突變，使所希望的幅度特性 Hd(ω)由通帶比較平滑的過渡到阻帶，從而使波紋幅度大大減小，同時(shí)阻帶衰減也得到改善，如圖 。 不加過渡抽樣點(diǎn)： 20st dB? ??加一點(diǎn)： 40 ~ 54st dB? ? ?加兩點(diǎn)： 60 75st加三點(diǎn)： 80 95?2）增大抽樣點(diǎn)數(shù) N 如果在要求減小波紋幅度、加大阻帶衰減的同時(shí)，又要求不能增加過渡帶寬，則可以增大抽樣點(diǎn)數(shù) N 。 BmN ??? /2)1( ?() 2/N?/N? 設(shè)計(jì)步驟及舉例 （ 1）確定過渡帶抽樣點(diǎn)數(shù) m。 （ 2）估算抽樣點(diǎn)數(shù) N 。 （ 3）確定所希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù) Hd(ejω) 。 （ 4）對(duì) Hd(ejω)進(jìn)行頻域抽樣，得到 H(k) 。然后進(jìn)行抽樣，并加入過渡帶抽樣點(diǎn)。對(duì) H(k)做 N點(diǎn)離散傅里葉反變換即得，即 （ 6）設(shè)計(jì)結(jié)果驗(yàn)證。 解 ：（ 1） 確定需增加的過渡帶抽樣點(diǎn)數(shù) m 根據(jù)所要求的 δst ，由表 ，當(dāng) m=1時(shí)，滿足δst ≥40 dB的要求。依據(jù)題意選擇以下理想函數(shù)： （ 4）頻域抽樣，求得 H(k) 先求 kc，依據(jù)所要求的截止頻率，得 所以在通帶內(nèi)抽樣 9點(diǎn)（ ω=0~π） ???????????????????????,0,)()( 2121NjNjdjdeeHeH? ? 82I n t I n tcc Nk ? ???? ? ?????此題是 h(n)偶對(duì)稱， N為奇數(shù)的情況。對(duì) H(k)做 41點(diǎn)離散傅里葉反變換即得，即 （ 6）分析所設(shè)計(jì)濾波器的頻域性能。設(shè)計(jì)過程及結(jié)果波形如圖 示。 解：理想低通頻率特性 按第一種頻率抽樣方式， N=33，得 11 0 I nt 824()10 I nt 1 9 1622ccNNkHkNNk?????? ??? ? ? ?? ??? ? ?? ?????? ? ? ? ???? ???? ?100cjdHe? ??????? ?? 其 它得線性相位 FIR濾波器的頻率響應(yīng)： ? ?816133si n 33 si n 33si n2 33 2 33233 si n 33 si n 33 si n2 2 33 2 33jjkkkH e ekk??? ? ? ??? ? ? ? ????? ??? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ?