【正文】 漢寧窗和哈明窗均滿足要求，我們選擇漢寧窗。 對高通濾波器 N必須取奇數(shù)，取 N=25。這就是求理想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)的另一個公式。這里的所謂“標(biāo)準(zhǔn)”，是指在設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻FIR濾波器時， Hd(ejω)分別表示相應(yīng)的線性相位理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)。 濾波器單位脈沖響應(yīng) h(n)與向量 hn h(n)=hn(n+1) n=0, 1, 2, ? , M 滿足線性相位條件 : h(n)=h(N－ 1－ n) wc為對 π 0≤wc≤1 當(dāng) wc=［ wcl, wcu］時，得到的是帶通濾波器，其－ 6 dB通帶為 wcl≤ω≤wcu 調(diào)用格式及功能： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 hn=fir1(M, wc, ′ftype′) 可設(shè)計高通和帶阻 FIR濾波器。 應(yīng)當(dāng)注意，在設(shè)計高通和帶阻 FIR濾波器時，階數(shù) M只能取偶數(shù)（ h(n)長度 N=M+1為奇數(shù)）。如果缺省 window參數(shù)，則fir1默認(rèn)為哈明窗。 (2) fir2 fir2為任意形狀幅度特性的窗函數(shù)法設(shè)計函數(shù)，用 fir2設(shè)計時，可以指定任意形狀的 Hd(ejω)，它實質(zhì)是一種頻率采樣法與窗函數(shù)法的綜合設(shè)計函數(shù)。用 help命令查閱其 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 例 的設(shè)計程序 : ％ : 例 用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位高通FIR wp=pi/2。 Bt=wpws。 ％根據(jù)表 需 h(n)長度 N0， ceil(x)取大于等于 x N=N0+mod(N0+1, 2)。 ％計算理想高通濾波器通帶截止頻率 (關(guān)于 π歸一化 ) hn=fir1(N1, wc, 39。, hanning(N))。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 例 高通 FIR數(shù)字濾波器的 h(n)波形及損耗函數(shù)曲線 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 【 例 】 對模擬信號進行低通濾波處理，要求通帶0≤f ≤ 1 dB， 阻帶 ≤f ≤∞上衰減大于40 dB。用窗函數(shù)法設(shè)計滿足要求的 FIR數(shù)字低通濾波器，求出 h(n)，并畫出損耗函數(shù)曲線。根據(jù)式（ ）計算凱塞窗的控制參數(shù)為 0 0 0 02 5 0 0π2π2sss ????Ff?0 . 4ss0 . 5 8 4 2 ( 2 1 ) 0 . 0 7 8 8 6 ( 2 1 ) 3 . 3 9 5 3? ? ?? ? ? ? ?第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 指標(biāo)要求過渡帶寬度 Bt=ωs－ ωp=，根據(jù)式（ ）計算濾波器階數(shù)為 取滿足要求的最小整數(shù) M=23。如果用漢寧窗， h(n)長度為 N=40。fs=2500。 wp=2*pi*fp/Fs。 Bt=wswp。 %根據(jù)()式計算 kaiser窗的控制參數(shù) α N=ceil((rs8)/)。 %計算理想高通濾波器通帶截止頻率 (關(guān)于π hn=fir1(N,wc,kaiser(N+1,alph))。要求通帶下截止頻率 ωlp =，阻帶下截止頻率ωls=，阻通帶上截止頻率 ωus=，通帶上截止頻率 ωup=， 通帶最大衰減 ? p=1 dB，阻帶最小衰減 ? s=60 dB 解 本例直接調(diào)用 fir1函數(shù)設(shè)計。wls=*pi。wup=*pi。 % N=ceil(12*pi/B)。 %設(shè)置 hn=fir1(N,wp,‘stop’,blackman(N+1))。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 例 帶阻 FIR數(shù)字濾波器的 h(n)波形及損耗函數(shù)曲線 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 )( ?jd eHnkNNnd WkHNnh????? 101 )()(kNeHkH jdd ??? 2?)()( ＝一、設(shè)計思想 FIR濾波器 ????10Nnnn) zhzH －()(kN??? 2 采樣? ?????????? 10111 NkkNdNZWkHNZzH )()()( ?jeH第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 1） FIR濾波器具有線性相位的條件是 h(n)為實序列，且滿足 h(n)=h(N－ n－ 1)，其頻響函數(shù)應(yīng)滿足的條件是： j j ( )d d g( e ) ( ) eHH? ? ??? （ ） （ ） ??? 2 1)( ??? N() d g d g( ) ( 2 π)HH????N = 奇數(shù) () d g d g( ) ( 2 π)HH??? ? ?N = 偶數(shù) 二、設(shè)計線性相位濾波器時對 Hd(k)的約束條件 呈偶對稱對為奇數(shù)： ,)( ???? 20?dgHN呈偶對稱對呈奇對稱，對為偶數(shù)： ,)( ????? 20?? HN dg第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 在 ω=0~2π區(qū)間上 N個等間隔的采樣頻點為 將 ω=ωk代入（ ） ~（ ）式中，并寫成 k的函數(shù)： kNk π2??k = 0， 1， 2， ? ， N – 1 （ ） )(jgd e)()( kkHkH ??（ ） kπNNkN πNk 122 1 ??????)(?（ ） )()( kNHkH gg ??N = 奇數(shù) （ ） )()( kNHkHgg ???N = 偶數(shù) Hd(k)的約 束條件 ： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 設(shè)用理想低通作為希望逼近的濾波器 Hd(ejω)，截止頻率為 ωc，采樣點數(shù)為 N， Hg(k)和 θ(k)用下列公式計算： （ ） ??????????????????????1210π1)(1210)(2101)()(cccgcggNkkNNkkNkkkkHkkkNHkH，，，????gg c c cgc( ) 1 0 , 1 , 2 , ,( ) 0 1 , 2 , , 1( ) 1 1 , 2 , ,1() π 0 , 1 , 2 , , 1cH k k kH k k k k N kH N k k kNk k k NN?????? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ??? 式中 kc是通帶內(nèi)最后一個采樣點的序號， kc值取不大于 [ωcN/(2π)]的最大整數(shù)。 N為偶數(shù)時， N為奇數(shù)時， 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 2） FIR濾波器具有線性相位的條件是 h(n)為實序列，且滿足 h(n)=h(N－ n－ 1)，其頻響函數(shù)應(yīng)滿足的條件是： )()( kNHkH gg ???N = 奇數(shù) )()( kNHkH gg ??N = 偶數(shù) Hd(k)的約 束條件 ： 2112212 ????? ????????? )()(NkNkNk第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 3． 逼近誤差及其改進措施 如果待逼近的濾波器為 Hd(ejω)，對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為hd(n)，則由頻率域采樣定理知道，在頻域 0~2π范圍等間隔采樣 N點，利用 IDFT得到的 h(n)應(yīng)是 hd(n)以 N為周期的周期延拓的主值區(qū)序列，即 如果 Hd(ejω)有間斷點，那么相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng) hd(n)應(yīng)是無限長的。所以，頻域的采樣點數(shù) N愈大，時域混疊愈小，設(shè)計出的濾波器頻響特性愈逼近 Hd(ejω) d( ) ( ) ( )Nmh n h n m N R n?? ? ????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 頻域采樣定理表明，頻率域等間隔采樣 H(k)，經(jīng)過 IDFT得到 h(n)，得到 H(ejω)=FT［ h(n)］的內(nèi)插表示形式： ????????? ?? 10j π2)()e(NkkNkHH ???21je)2/si n ()2/si n (1)(???NNN?????? 在采樣點上實際頻率響應(yīng)嚴(yán)格等于理想頻率響應(yīng) ? 采樣點之間實際頻響由各采樣點加權(quán)內(nèi)插函數(shù)延伸而成，因而有誤差，誤差大小和理想頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān) 改進：在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)的邊緣點加上一些過渡的采樣點 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖 頻域幅度采樣序列 Hg(k)及其內(nèi)插波形 Hg(ω) Hdg(ω)特性愈平滑的區(qū)域，誤差愈?。惶匦郧€間斷點處，誤差最大。通帶和阻帶內(nèi)產(chǎn)生震蕩波紋，且間斷點附近振蕩幅度最大，使阻帶衰減減小，往往不能滿足技術(shù)要求。且 N太大，會增加濾波器的階數(shù)，即增加了運算量和成本。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖 N=15和 N=75的幅度內(nèi)插波形 Hg(ω) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 在窗函數(shù)設(shè)計法中，通過加大過渡帶寬度換取阻帶衰減的增加。 提高阻帶衰減的具體方法： 在頻響間斷點附近區(qū)間內(nèi)插一個或幾個過渡采樣點，使不連續(xù)點變成緩慢過渡帶，這樣，雖然加大了過渡帶，但阻帶中相鄰內(nèi)插函數(shù)的旁瓣正負(fù)對消，明顯增大了阻帶衰減 過渡帶采樣點的個數(shù)與阻帶最小衰減 ? s的關(guān)系以及使阻帶最小衰減 ? s最大化的每個過渡帶采樣值求解都要用優(yōu)化算法解決。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 將過渡帶采樣點的個數(shù) m與濾波器阻帶最小衰減 ? s的經(jīng)驗數(shù)據(jù)列于表 ，我們可以根據(jù)給定的阻帶最小衰減 ? s選擇過渡帶采樣點的個數(shù) m 表 過渡帶采樣點的個數(shù) m與濾波器阻帶最小衰減 ? s的經(jīng)驗數(shù)據(jù) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 四． 頻率采樣法設(shè)計步驟 （ 1） 根據(jù)阻帶最小衰減 ? s選擇過渡帶采樣點的個數(shù) m。如果增加 m個過渡帶采樣點，則過渡帶寬度近似變成 (m+1)2π/N。如果給定過渡帶寬度 Bt，則要求 (m+1)2π/N≤Bt ，濾波器長度 N必須滿足如下估算公式 : （ ） t2 π( 1 )NmB??第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 （ 3） 構(gòu)造一個希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù) : 設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)型片斷常數(shù)特性的 FIR數(shù)字濾波器時，一般構(gòu)造幅度特性函數(shù) Hdg(ω)為相應(yīng)的理想頻響特性，且滿足表 （ 4） 按照（ ）式進行頻域采樣 : j j ( 1 ) / 2d d g( e ) ( ) e NHH ?? ? ???（ ( 1 )jjd2( ) ( e ) ( ) e , 0 , 1 , 2 , , 1N kNgkNH k H H k k N???????? ? ? ?…（ ） dg 2( ) , 0 , 1 , 2 , , 1gH k H k k NN ???? ? ????? …第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 并加入過渡帶采樣。如果阻帶最小衰減未達到指標(biāo)要求，則要改變過渡帶采樣值，直到滿足指標(biāo)要求為止。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 【 例 】 用頻率采樣法設(shè)計第一類線性相位低通FIR數(shù)字濾波器，要求通帶截止頻率 ωp=π/3，阻帶最小衰減大于 40 dB，過渡帶寬度 Bt≤π/16 解 查表 ， ? s=40 dB時，過渡帶采樣點數(shù) m=1。 構(gòu)造 Hd(ejω)=Hdg(ω)e－ jω(N－ 1)/2 為理想低通特性，其幅度響應(yīng)函數(shù) Hdg(ω)如圖 (a) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖 一個過渡點的設(shè)計結(jié)果 (T=) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 設(shè)計由以下程序 ％ : 用頻率采樣法設(shè)計 FIR T=input(‘T= ’) ％輸入過渡帶采樣值 T Bt=pi/16。 ％過渡帶寬度為 pi/16，通帶截止頻率為 pi/3 m=1。 ％按式（ ）估算采樣點數(shù) N Np=fix(wp/(2*pi/N))。 ％ Ns為阻帶［ wp, 2*pi－ wp］上采樣點數(shù) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 Hk=［ ones(1, Np+1), zeros(1, Ns), ones(1, Np) 。Ak(N－ Np)=T。 ％相位采