【正文】 對 H(k)做 41點離散傅里葉反變換即得，即 （ 6）分析所設(shè)計濾波器的頻域性能。然后進(jìn)行抽樣，并加入過渡帶抽樣點。 BmN ??? /2)1( ?() 2/N?/N? 設(shè)計步驟及舉例 （ 1）確定過渡帶抽樣點數(shù) m。這樣，在各抽樣點處，二者的逼近誤差為零；而在各抽樣頻率點之間存在逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)的曲線形狀和 N的大小。先計算在通帶內(nèi)的抽樣點數(shù) kc +1（ ω =0~ π）。 10( ) ( ) ( )Nj j n jdnH e h n e H e? ? ???????1( ) ( )2j j nddh n H e e d? ??? ?? ?? ?( ) ( ) ( )dh n w n h n?窗函數(shù)設(shè)計法： 對于一個長度為 N的序列 h(n)，若知道其頻域的 N個抽樣值 H(k)，則 h(n)就可以由 H(k) 唯一地確定。 解 ：（ 1） 確定凱塞窗的參數(shù) β和 N。 低通濾波器的設(shè)計 例 利用窗函數(shù)法設(shè)計一個 FIR低通濾波器，要求：通帶截止頻率 ωp=，阻帶截止頻率 ωst=，阻帶最小衰減 δst≥50dB。 一般取 15~25項就可滿足精度要求。 可進(jìn)一步抑制旁瓣的效果 24( ) [ c os c os ] ( )11 Nnnw n R nNN??? ? ???121222( ) ( ) 114411()jR R RNjRRNjW e W W WNNW W eNNWe?????? ? ?????????? ???????? ????? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ??? ??幅度函數(shù) 12N?主瓣寬度最寬： 旁瓣幅度最小 22( ) ( ) 114411N R RRRW R W WNNWWNN??? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ???57 d Bn? ?? 12 / N???? 11 /BN??? 74 d Bst? ?6. 凱塞 —貝塞爾窗 (KaiserBasel Window) 前面介紹的窗函數(shù)統(tǒng)都是固定窗，即用每種窗函數(shù)設(shè)計的濾波器的阻帶最小衰減是固定不變的，而且都是以犧牲主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制的，這兩個指標(biāo)不能同時兼顧。 h(n)代替 hd(n) 引起的誤差，在頻域上表現(xiàn)為 圖 增大 N增大 N對矩形窗幅度特的影響 引出原因： 矩形窗阻帶最小衰減 20 lg( %) 21 d B??在工程上，衰減量不夠 要加大阻帶衰減，需要改善窗口函數(shù)形狀 改善窗口函數(shù)形狀的標(biāo)準(zhǔn) 窗函數(shù)不僅起到截斷作用，還能起到平滑作用。 ? N為偶數(shù)時， 對 呈奇對稱。第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點： ? 可以利用模擬濾波器的設(shè)計結(jié)果 IIR數(shù)字濾波器的缺點： ? 非線性相位 ? 若需線性相位，要采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正 FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點： 1）可以做到嚴(yán)格線性相位 2）可以具有任意的幅度特性 3）對一個信號濾波，相當(dāng)于 可以用 FFT計算 4）總可以用一個因果系統(tǒng)來實現(xiàn) 5） 無反饋運算，運算誤差小。 π偶 ?????? )2 1N()( )1()( nNhnh ???)1()( nNhnh ????2)21N()( ????????()H ?()H ?()H ?()H ?0,???0? ?0,???0? ?()hn()hn在 處，兩者完全一樣 在 處，當(dāng) N為奇數(shù)，兩者完全一樣；偶數(shù)相反 0?????對稱性與 在 處對稱性的比較 ()H ? ()hn ( 1 ) / 2N ?. 線性相位 FIR濾波器的零點分布 零點的分布原則 ( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z? ? ???若 z=zi 是 H(z)的零點，則 ???????也是 H(z)的零點 1iizz?? ?*1*iizz?h(n)為實序列時 線性相位濾波器的零點是互為倒數(shù)的共軛對即共軛成對且鏡像成對 ? ?1*1*iiiizzzz?????????? ?j1 j* j1*j*1111iiiiiiz rezezrz rezerz??????? ????????????????4種 零點 零點的位置 1） 零點 zi既不在實軸上，也不在單位圓上 jeizr???1 j1 eiz r?? ??jeizr?? ??? ?1 j1eizr??? ??4個零點成對出現(xiàn) 2） 零點 zi不在實軸上，在單位圓上 jeiz??1 jeiz?? ? jeiz ?? ?? ?1 jeiz??? ?2個零點成對出現(xiàn) 存在共軛對，但倒數(shù)是其本身 3） 零點 zi在實軸上，不在單位圓上 izr?1 1i r? ?izr? ?? ?1 1iz r???2個零點成對出現(xiàn) 存在倒數(shù)，但共軛是其本身 4） 零點 zi在既實軸上，又在單位圓上 1iz ??4個互為倒數(shù)、共軛的零點合為 1點 N為偶數(shù)時的偶對稱 1iz ?N為偶數(shù)時的奇對稱 1iz ??N為奇數(shù)時的奇對稱 小結(jié) （ 1）四種 FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于 h(n)的對稱性， 而與 h(n)的值無關(guān)； （ 2）幅度特性取決于 h(n)的取值； （ 3）設(shè)計線性相位 FIR濾波器時，在保證 h(n) 對稱的條件下 ，只要完成幅度特性的逼近即可。 幾種典型的窗函數(shù) 窗函數(shù)的要求： （ 1）窗譜主瓣盡可能窄以獲得較陡的過渡帶 （ 2）盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度，以減小肩峰和波紋 （ 1）最大旁瓣峰值 （ dB）。而凱塞窗是一種可調(diào)整的窗函數(shù)，可以實現(xiàn)以同一種窗函數(shù)類型來滿足不同性能需求的目的。 β參數(shù)可以控制窗的形狀 。 解 ：（ 1） 以理想線性相位低通濾波器作為逼近濾波器，即 d,()0,jcjceHe?????? ? ??? ????????單位抽樣響應(yīng)為 dsi n [ ( ) ]()()cccnhnn? ? ?? ? ????理想低通濾波器的截止頻率 ωc為 22p stc?? ????? ?? ? ? si n [ ( ) ] si n [ ( ) ] ( ) ( )nnnn? ? ? ? ?? ? ? ? ???????為了保證線性相位 12N? ??（ 2）依據(jù)阻帶最小衰減指標(biāo)選擇窗函數(shù)類型。 0. 11 02 ( 8. 7 ) 5. 65 3st??? ? ?81 19 5( )sts t pN????? ? ??取 N=38 203802( 1 ( 1 ) )37( ) ( )( )nIw n R nI???（ 2）確定理想低通濾波器的截止頻率 ωc 2c???? ???（ 3）求解 hd(n)。同時，也就可以獲得其系統(tǒng)函數(shù) H(z)或頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω) 。依據(jù)所要求的截止頻率，得 則 接下來，從 ω=0開始對 Hd(ejω) 在 ω =0~ 2π抽樣 15點，得到幅度抽樣 A(k)，如圖 (a)所示。 時域： 依據(jù)頻域抽樣知識 若 Hd(ejω)是分段的，則 hd(n)是無限長的。依據(jù)給定的 δst ，結(jié)合表 。 （ 5）求解所設(shè)計濾波器單位抽樣響應(yīng) h(n)。 將 H(k)表達(dá)式帶入內(nèi)插公式（ ）化簡，得 ????40041)(411)]([)(kknWkHkHIDFTnh 依據(jù)上式分析濾波器的性能，從而驗證設(shè)計結(jié)果是否滿足指標(biāo)要求。所以從 ω =0開始對 Hd(ω)在 ω =0~2π內(nèi)抽樣 41點，得到幅度抽樣 A(k) 在 A(k)原為零的 k= 32處加入值為 樣點，即 A(9)=A(32)=，則 ??????32,10,9,040,34,33,8,1,0,1)(???kkkA?????????31,11,10,032,9,40,34,33,8,1,0,1)(???kkkkA又依據(jù)式 ()得到相位抽樣 φ(k)為 由此得到頻率抽樣 ??? kkNk 4140)()( ?????20,1,0 ??k????????????????????40,34,33,32,31,11,10,09,8,1,0,)()(4140414041404140)(???kekekkekeekAkHkjkjkjkjkj?????（ 5）求解 h(n)。首先確定在通帶內(nèi)的抽樣點數(shù) kc +1（ ω =0~ π） 。增加 N，使抽樣點變密，減小過渡帶寬度，但增加了計算量 優(yōu)點：頻域直接設(shè)計 缺點：抽樣頻率只能是 或 的整數(shù)倍， 截止頻率 ωc不能任意取值。 2．逼近誤差產(chǎn)生的原因 (頻域和時域） 頻域：從式（ ）可以看出， H(ejω)在各頻率抽樣點上等于本抽樣點出的 H(k)，但是在抽樣點之間則由各抽樣值 H(k)乘以相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成。 解：以理想低通濾波器作為希望逼近的濾波器，則頻率響應(yīng)函數(shù)為 ???????????????????????,0,)()( 2121NjNjdjdeeHeH（ 1）對 Hd(ejω) 進(jìn)行抽樣。 解： , 0 ()0, jjdeHe???? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ????????、si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ], 15( 15 ) ( 15 ) ( 15 )(), 15dn n nnn n nhnn? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ?? ?? ??所設(shè)計帶阻濾波器的單位抽樣響應(yīng)為 31si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ]( ) ( )( 15 ) ( 15 ) ( 15 )n n nh n R nn n n? ? ?? ? ???? ? ?? ? ???? ? ??? 頻率抽樣設(shè)計法 頻率抽樣設(shè)計法則是在頻域內(nèi)，以有限個頻率響應(yīng)抽樣，去近似所希望的理想頻率響應(yīng) Hd(ejω)的設(shè)計方法。 si n [ ( 10 ) ]()( 10 )dnhnn?????解： 若選擇矩形窗函數(shù)，則有 21si n [ ( 10 ) ]( ) ( ) ( ) ( )( 10 )dnh n h n w n R nn??????若選擇漢寧窗函數(shù)，則有 21si n [ ( 10 ) ] 2( ) ( ) ( ) 1 c os ( )( 10 ) 1dnnh n h n w n R nnN?????? ??? ? ? ??????? ????矩形窗設(shè)計的FIR濾波器幅度特性 ； 漢寧窗設(shè)計的FIR濾波器幅度特