【正文】 4 460? / ?dB幅度頻率響應線性相位 FIR帶阻濾波器的設計 理想帶阻的頻響： 2112( ) ( ) ( )1()2j n j n j ndh n e d e d e d? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?????? ? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?1212si n si n si nn n nnn n nn? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ???????其單位抽樣響應： 120,()0jjdeHe??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ?? 其 它例 利用矩形窗設計一個 FIR帶阻濾波器，所希望的頻率響應函數為 取長度 N=31。 0 5 10 15 20 25 30 0 . 2 0 . 100 . 10 . 20 . 30 . 40 . 5nh(n)單位抽樣響應0 0 . 3 0 . 4 0 . 5 1 1 0 0 5 3 4 560? / ?dB幅度頻率響應例 利用窗函數法設計一個 FIR低通濾波器，所希望的頻率響應函數為 , ()0, jjdeHe?????? ? ??? ??? ?????若長度 N=21，觀察加不同窗函數后濾波器幅度特性的變化。 一般原則是在滿足阻帶最小衰減的要求下 ， 盡量選擇主瓣窄的窗函數 。 2011( ) 1 [ ( ) ]!2kkxIxk???? ?I0( 窗函數參數： n?20 lg ( ) / ( 0 )jW e W???B?st?1. 矩形窗 (Rectangle Window) 傅里葉變換 幅度函數 1 0 1( ) ( )0NnNw n R n? ? ???? ?? 其 它主瓣寬度最窄： 4N?旁瓣幅度大 ? ?1120( ) ( )NN jj j nRnW e w n e W e ??? ??? ??????si n2()si n2NW????13 d Bn? ?? 4/ N???? 1. 8 /BN?21 d Bst? ?矩形窗及加窗處理后波器波形 0 5 10 15 2000 . 51nw(n)0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 5 0 1 30? / ?dB0 5 10 15 20 0 . 200 . 20 . 4nh(n)0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 6 0 2 10? / ?dB 頻率響應 2. 三角形窗 (Bartlett Window) 210 ( 1 )12()212 ( 1 ) 112nnNNwnnN n NN?? ? ??? ?? ?? ? ? ? ? ????2121si n ( )2 4()1 si n ( / 2 )NjjNW e eN???????????? ??? ????8N?主瓣寬度寬： 旁瓣幅度較小 25 d Bn? ?? 8/ N???? 4. 2 /BN??? d Bst? ?利用歐拉公式 3. 漢寧 (Hanning)窗 ——升余弦窗 2( ) [ 1 c os( ) ] ( )1 Nnw n R nN????2211 [ 1 ] ( )2nnjjNNNeeRn????????利用 DTFT的頻移特性 12121212212( ) ( ) 121NNjjj NRRNjNRW e W e W eNWeN????????????? ? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ???? ? ?????????? ?????121222( ) ( ) 11()NjjR R RNjW e W W W eNNWe?????? ? ???????? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ??????幅度函數 22( ) ( ) 11R R RW W W WNN??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ???三部分矩形窗頻譜相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大減小，主瓣寬度增加 1倍。 sin ( / 2 ) sin ( / 2 ) sin()sin ( / 2 ) / 2RN N xWNx?????? ? ?主瓣幅度增加，旁瓣幅度也增加 吉布斯效應： （ 截斷效應 ） 在矩形窗情況下 ， 最大相對肩峰為 %，N 增加時 ， 減小 ， 故起伏變密 ， 而最大相對肩峰卻總是 %， 這種現象稱為吉布斯效應 。 ? N為偶數時， 對 呈偶對稱。 FIR濾波器的設計方法 設計方法： 窗函數法 頻率采樣法 切比雪夫等波紋逼近法 設計任務： 選擇有限長度的脈沖響應 h(n)，得到系統(tǒng)函數 H(z)，使幅頻特性滿足技術指標，同時使相頻特性達到線性相位。 幅度函數 1( ) ( )2ccRH W d??? ? ? ??????d ( ) * ( )RHW???相位函數 1()2N? ? ??????????一般情況 2c N?? ?c??? ( ) / ( 0 ) 0 . 5cHH? ?正肩峰 2/c N? ? ???2/c N? ? ???負肩峰 2/c N??? 2/c N???0? ?1( 0 ) ( )2 RH W d??????? ?加窗函數的影響： ① 形成過渡帶 Hd(ejω)在截止頻率處有陡峭的邊沿 H(ω)在截止頻率處連續(xù)曲線 邊沿加寬 ，形成過渡帶 窗頻譜的主瓣越寬 ， 過渡帶也越寬 。 （ 3）過度帶寬 ，窗函數設計得到 FIR濾波器的過度帶寬，即通帶截止頻率與阻帶截止頻率之差。反之，給定指標，凱塞窗可以使濾波器的階數最小。 當 β = ，窗函數接近哈明窗 。但由于漢明窗的主瓣最窄，因而我們選擇漢明窗，其表達式為 2( ) c os ( )1 Nnw n R nN??? ???????? ?????由過渡帶寬確定窗的長度 N。 203802( 3 1 ( 1 ) )si n [ ( ) ] 37( ) ( )( ) ( 3 )nInh n R nnI????????0 10 20 30 0 . 200 . 20 . 40 . 6nh(n)單位抽樣響應0 0 . 4 0 . 5 0 . 6 1 8 0 6 060? / ?dB幅度頻率響應例 2 設計一個線性相位 FIR低通濾波器， 給定抽樣頻率為 通帶截止頻率為 阻帶起始頻率為 阻帶衰減不小于 50dB。 抽樣點上，頻率響應嚴格相等 抽樣點之間，加權內插函數的延伸疊加 變化越平緩，內插越接近理想值，逼近誤差較小 H(k)滿足的條件 關于線性相位 FIR濾波器的時域、頻域特性，我們已經將其歸納于表 。 ????140)(151)]([)(kknNWkHkHIDFTnh 14,1,0 ??n14702( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( )15jjkH e F T h n H e H k k?? ?? ? ???? ? ? ??????? 7)2/si n()2/15si n(151)( je ??當 N=65時，幅度響應如圖 ，為了便于比較，與 N=15的曲線繪制在一起。同時，頻域抽樣點數 N越大， h(n)越接近于 hd(n)。依據給定的過渡帶寬 ΔB，利用式（ ）來確定。 ? ????10)(1)]([)(NkknNWkHNkHIDF Tnh 1,1,0 ?? Nn ?例 運用頻率抽樣法設計一個 FIR低通數字濾波器，要求截止頻率 ωc =，阻帶最小衰減 δst ≥40 dB，過渡帶寬 ΔB ≤ ，所設計的濾波器應具有第一類線性相位。 ??????????????????????????????????????????????????? ???)4192sin(61)241sin()4192sin(41)241sin()412sin(41)241sin()412sin(41)241sin()2sin(41)241sin()(8120????????????????????kjjkkkkeeH圖 例 阻帶衰減： 例：利用頻率抽樣法設計一個頻率特性為矩形的理想低通濾波器，截止頻率為 ，抽樣點數為 N=33，要求濾波器具有線性相位。 （ 2）估算頻域抽樣點數，依據式 ()，得 留一點的裕量，取 N=41 40)(2)11(/2)1( ?????? ??? BmN（ 3）構造所希望的頻率響應函數。一般選擇 Hd(ejω)為理想頻率響應，注意應確保相位 θ(ω)為線性相位，而要 Hd(ω)滿足線性相位要求。 圖 注意：這時總抽樣點數 N并未改變，只是將原來為零的幾個點改為非零點 增加過渡帶抽樣點，可加大阻帶衰減，一般取過渡帶的抽樣點數為 1~3點即可得到滿意的效果。 由上圖看出，抽樣點數 N越大， Hd(ω)平坦區(qū)域的誤差越小，過渡帶也越窄，通帶與阻帶的波紋變化越快。 為了討論方便，將所設計濾波器的 H(ejω) 、 H(k)分別表示成以下形式： )()()( ??? ? jj eHeH ? )()()( kjekAk ??() () 比較上述兩式，可知下述關系成立： )2(|)()( 2 kNHHkAkN???? ?? ?1,1,0 ?? Nk ? )2(|)()(2 kNk kN??????? ?? ?1,1,0 ?? Nk() () 從表 ，此時幅度函數 關于 ω=π偶對稱，即 則 即 相位抽樣 φ(k) ( ) ( 2 )HH? ? ???1） h(n)偶對稱， N為奇數 )())(2()22()2()( kNAkNNHkNHkNHkA ??????? ????( ) ( ) 0 , 1 , , 1A k A N k k N? ? ? ?() ??? ??kNNNkkN)1(|2)1()(2???????1,1,0 ?? Nk ?() 此時幅度函數關于 ω=π奇對稱，即 即 相位抽樣 φ(k) 2） h(n)偶對稱， N為偶數 ( ) ( 2 )HH? ? ?? ? ?)())(2()22()2()( kNAkNNHkNHkNHkA ?????????? ????( ) ( )A k A N k? ? ?1,1,0 ?? Nk ? ??? ??kNNNkkN)1(|2)1()(2???????1,1,0 ?? Nk