【正文】 性 例 利用凱塞窗設(shè)計一個 FIR低通濾波器，要求：通帶截止頻率 ωp=，阻帶截止頻率ωst=，阻帶最小衰減 δst≥60dB。 (3) 計算濾波器的單位取樣響應(yīng) h(n)， h(n) =hd(n)w(n) (4)驗算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求 。)是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。 8N?主瓣寬度寬： 旁瓣幅度小 31 d Bn? ?? 8/ N???? 6. 2 /BN??? 44 d Bst? ?4. 漢明 (Hamming)窗 ——改進(jìn)的升余弦窗 2( ) [ c os( ) ] ( )1 Nnw n R nN????幅度函數(shù) 主瓣寬度寬： 8N?旁瓣幅度更小 121222( ) ( ) 11()NjjR R RNjW e W W W eNNWe?????? ? ???????? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ??????22( ) ( ) 11R R RW W W WNN??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ???41 d Bn? ?? 8/ N???? 6. 6 /BN??? 53 d Bst? ?5. 布萊克曼 (Blackman)窗 在升余弦窗的定義式中再加上一個二次諧波的余弦分量得到的 ， 故又稱二階升余弦窗 。 2N?肩峰值的大小，直接影響通帶特性和阻帶衰減。 π奇 奇對稱： ? N為奇數(shù)時， 對 呈奇對稱。 ? ? ? ?x n h n?FIR數(shù)字濾波器的缺點(diǎn) 1）不能用模擬濾波器的設(shè)計方法，無解析設(shè)計公式，要借助計算機(jī)輔助設(shè)計； 2）由于沒有極點(diǎn)，同樣幅頻特性，要獲得較好的過渡帶特性，需較高的階數(shù)做為代價。 窗函數(shù)設(shè)計法 頻域給出指標(biāo) 給出理想濾波器的頻率響應(yīng) jd ( e )H ?設(shè)計 FIR濾波器，求其頻率響應(yīng) ? ?1j j0( e ) eNnnH h n????? ?逼近 設(shè)計在時域進(jìn)行 ? ?1D TF Tjdd( e )H h n? ?????hd(n)無限長，非因果 設(shè)計 h(n) ，有限長，因果 ? ? ? ? ? ?dh n h n w n??逼近 設(shè)計方法（以低通濾波器設(shè)計為例） ()0jcjdceHe??? ??? ? ??? ??? ?????c?()jdHe?c?? ?理想低通濾波器的頻響 1 0 0 為群延時 ?()? ? ? ????()1()2s i n ( )12 ( )ccccj j ndcjn cch n e e dnedn?? ? ????????????? ? ? ????????????????單位抽樣響應(yīng) 相位 ()? ? ? ???n ??hd(n)偶對稱，對稱中心 hd(n)無限長的非因果序列 設(shè)計可 實現(xiàn) FIR濾波器的單位 脈沖響應(yīng) ( ) ( ) ( )dh n h n w n?窗函數(shù) 先選取最簡單的窗函數(shù) 1 , 0 1( ) ( )0,RNnNw n R n? ? ???? ?? 其 它( ) 0 1( ) ( ) ( )0ddh n n Nh n h n w nn? ? ???? ?? 其 它12N? ??按第一類線性相位條件，得 ? ?1si n201 120cccNnnNhn Nnn????? ?? ????? ?????????? ? ???? ????????????? 其 它11()201()2s i n2()s i n / 2()NNjj j nRnNjRNW e e eWe?????????????????? 加窗處理對頻譜性能的影響 理想低通濾波器的頻響 1()2dd( ) ( )NjjH e H e ?? ????d1,()0,ccH???? ? ?? ??? ?????矩形窗的頻響 主瓣寬度 4N????( ) ( ) ( )dh n h n w n? d( ) ( ) * ( )j j jRH e H e W e? ? ??()d11( ) ( ) ( )22d1()2d1()21( ) ( ) ( )21( ) ( )21( ) ( )21()2ccj j jRNNjjRNjRNjRH e H e W e dH e W e de H W de W d?? ? ? ??? ? ? ??????????? ? ? ??? ? ? ??? ? ??????? ? ???????????? ? ?? ? ?????線性相位 幅度函數(shù) 窗函數(shù)的頻率特性WR(ejω) 決定了 H(ejω)對 Hd(ejω)的逼近程度。 （ 2）主瓣寬度 ，窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度。在相同的性能指標(biāo)下，通過調(diào)整控制參數(shù)可以達(dá)到不同的阻帶最小衰減，同時可以保證最小的主瓣寬度，即有最陡峭的過渡帶，實現(xiàn)在主瓣寬度和旁瓣峰值之間的平衡。 一般 β加大 ， 主瓣加寬 ，旁瓣幅度減小 ， 典型數(shù)據(jù)為 4 β 9。因為要求 δst≥50dB ，查表 窗、布萊克曼窗等都滿足要求。 si n [ ( 18. 5 ) ]()( 18. 5 )dnhnn?????（ 4）確定所設(shè)計濾波器 h(n)。 設(shè)所希望得到的頻率響應(yīng)為 Hd(ejω) （一般為理想頻率響應(yīng)），在頻域的 ω=0~2π之間對其等間隔抽樣 N點(diǎn)（或?qū)?Hd(z) 在單位圓上進(jìn)行等間隔抽樣），得到 個抽樣值為 設(shè)計的基本思想 kNjd eHkH ???2|)()( ?? 1,1,0 ?? Nk ?則 重構(gòu)系統(tǒng)函數(shù) H(z) 12/01( ) ( ) , 0 , 1 , ..., 1N j nk Nkh n H k e n NN ???? ? ??101 1 1 12 / 2 /0 0 0 0112 / 1 100( ) ( )11[ ( ) ] ( )1 1 1 1( ) ( )11NnnN N N Nj nk N n j nk N nn k k nNNNNj nk N kkk NH z h n zH k e z H k e zNNzzH k H kN e z N W z??????? ? ? ???? ? ? ?????? ? ???????????????????? ? ? ???() 將 z=ejω代入 H(z)表達(dá)式可得 式中，內(nèi)插函數(shù) 12/011()20101 ( ) ( 1 )()11 ( ) si n( / 2)si n[ ( 2 / ) / 2]2( ) ( )jNNjj nk N jkNkNjNkNkH k eHeN e eH k NeN k NH k kN??????????????????????????????????() 12si n12()si n2NjNeN????????從式（ ）可以看出，在個頻率抽樣點(diǎn)上，濾波器的實際頻率響應(yīng)時嚴(yán)格和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等，但是在抽樣點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)則是個抽樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而形成的，因而有一定的逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)的曲線形狀，理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插越接近理想值，逼近誤差越小；反之，如果抽樣點(diǎn)之間的理想頻率響應(yīng)變化越陡，則內(nèi)插與理想值之間誤差就越大。 32 ??? ???? Nc3?ck圖 例 因為 N為奇數(shù)，所以依據(jù)式 ()的設(shè)計公式，此時相位抽樣為 由此得頻率抽樣 H(k)為 ??? kkNk 1514)()( ?????0 , 1 , , 7k ? ?????????????14,13,12,11,5,4,03,2,1,0,)()(15141514)(kekkeekAkHkjkjkj????（ 2）求解 h(n) （ 3）求解設(shè)計所得濾波器的頻率響應(yīng) H(ejω) 由于 A(k)=A(Nk)， φ(k)=(N1)kπ/N，所以滿足線性相位條件。這樣，hd(n)在周期延拓時，就會產(chǎn)生時域混疊，從而使所設(shè)計的 h(n)與所希望的 hd(n)之間出現(xiàn)偏差。 （ 2）估算抽樣點(diǎn)數(shù) N 。對 H(k)做 N點(diǎn)離散傅里葉反變換即得，即 （ 6）設(shè)計結(jié)果驗證。設(shè)計過程及結(jié)果波形如圖 示。依據(jù)題意選擇以下理想函數(shù)： （ 4）頻域抽樣，求得 H(k) 先求 kc，依據(jù)所要求的截止頻率，得 所以在通帶內(nèi)抽樣 9點(diǎn)（ ω=0~π） ???????????????????????,0,)()( 2121NjNjdjdeeHeH? ? 82I n t I n tcc Nk ? ???? ? ?????此題是 h(n)偶對稱， N為奇數(shù)的情況。 （ 4）對 Hd(ejω)進(jìn)行頻域抽樣，得到 H(k) 。 不加過渡抽樣點(diǎn)： 20st dB? ??加一點(diǎn)： 40 ~ 54st dB? ? ?加兩點(diǎn)： 60 75st加三點(diǎn)： 80 95?2）增大抽樣點(diǎn)數(shù) N 如果在要求減小波紋幅度、加大阻帶衰減的同時，又要求不能增加過渡帶寬，則可以增大抽樣點(diǎn)數(shù) N 。本例中當(dāng) N=15時，阻帶最小衰減 δst約為 , 當(dāng) N=65時， δst約為 , 可見 N的增大對阻帶的最小衰減并無明顯改善。 21,1,0,)1()()(21,2,1,0)()(,1,0,1)()(???????????????????NkkNNkNkNkkkkNAkAkkkNAkAccc????????2Nc 逼近誤差 逼近誤差的特點(diǎn) 例 用頻率抽樣法設(shè)計一個具有第一類線性相位FIR低通濾波器，要求截止頻率 ωc =，繪制出當(dāng)頻域抽樣點(diǎn)數(shù) 分別為 1 65時的設(shè)計結(jié)果波形，并分析逼近誤差的特點(diǎn)。 解： , ()0, 0 jjdeHe???? ? ?? ? ? ? ??? ?????? ? ? ??? 、si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ], 15( 15 ) ( 15 )() , 15dnnnnnhnn????????????? ?? ??所設(shè)計帶通濾波器的單位抽樣響應(yīng)為 31si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] 2( ) 1 c os ( )( 15 ) ( 15 ) 1n n nh n R nn n N? ? ????????? ?? ??? ? ?? ? ? ?????? ? ????? ????0 10 20 30 0 . 2 0 . 100 . 10 . 20 . 3nh(n)單位抽樣響應(yīng)0 0 . 4 0 . 6 1 8 0