【正文】 ?3） h(n)奇對(duì)稱， N為奇數(shù) 3） h(n)奇對(duì)稱， N為偶數(shù) )()( kNAkA ??? ??? kNNk )1(2)(???1,1,0 ?? Nk ? 1,1,0 ?? Nk ( ) ( )A k A N k?? ??? kNNk )1(2)( ??? 1,1,0 ?? Nk ? 1,1,0 ?? Nk 設(shè)計(jì)公式 頻率抽樣的兩種方法 1）第一種頻率抽樣 ? ? ? ? 2jdkNH k H e ? ?? ??0 , 1 , ..., 1kN??1101 ( )()1N Nkk Nz H kHzN W z? ????????系統(tǒng)函數(shù) ： ? ? ? ?1 120si n1 2si n2kN Njjj NkNH e e H k ekNN??????? ???????????????????頻率響應(yīng)： 2）第二種頻率抽樣 ? ? ? ? 2jdkNNH k H e ? ??? ???0 , 1 , ..., 1kN??? ?1210 121()1N NjkkNHkzHzNez?? ??????? ???????? ?? ?121 120c o s21si n22jkNN NjjkNH k eH e eNjkN?????????? ??? ?????????????? ???? ?????????系統(tǒng)函數(shù)： 頻率響應(yīng)： 線性相位第一種頻率抽樣 依據(jù)式（ ） 而 當(dāng) N為奇數(shù)時(shí)， N1為偶數(shù)，由于 ，則可取 ( 1 )() NkkN?????1,1,0 ?? Nk ? ???? kNNNkNNNkN )1()1()()1()( ????????????? kNNjkNNNj ee )1(])1()1([ ????? ??? kNNkN )1()( ??? 1,1,0 ?? Nk ?當(dāng) N為偶數(shù)時(shí)， 為 N1奇數(shù)，由于 ，則可取 但此時(shí) A(k)=A(Nk)，則 所以此時(shí)可以將幅度抽樣和相位抽樣改寫為 ])1([])1()1([ ???? kNNjkNNNj ee ?????? ? ??? kNNkN )1()( ???? 1,1,0 ?? Nk ? ???? kNNjkNNjkNj ekAekAekNAkNH)1(])1([)( )()()()(???? ??????)()( kNAkA ?? ?? kNNkN )1()( ???綜合上述分析過程，可得到如下設(shè)計(jì)公式： （ 1） N為奇數(shù) （ 2） N為偶數(shù) )()( kNAkA ??( 1 )( ) ( ) Nk N k kN? ? ??? ? ? ? ?1,1,0 ?? Nk ? )()( kNAkA ??( ) 02N ? ( 1 )( ) ( ) Nk N k kN? ? ??? ? ? ? ?1,1,0 ?? Nk ?() () 例如：設(shè)計(jì)所希望的濾波器是理想低通濾波器，要求截止頻率為 ωc，抽樣點(diǎn)數(shù) N為奇數(shù)，則 A(k) 、 φ(k)可以下列公式計(jì)算： kc為小于或等于 的最大整數(shù)。 解： , ()0, 0 jjdeHe???? ? ????? ?????????si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ], 15( 15 ) ( 15 )(), 15dnnnnnhnn????????????? ?? ??選擇漢明窗函數(shù)，則 31si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] 2( ) c os ( )( 15 ) ( 15 ) 1n n nh n R nn n N? ? ??????? ?? ??? ? ???????? ? ????? ??線性相位 FIR帶通濾波器的設(shè)計(jì) 理想帶通的頻響 1221( ) ( )1()2j n j ndh n e d e d??? ? ? ????? ?????????????? ?? ?? ?? ?2121si n si nnnnnnn? ? ? ??? ? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ????? ??? ??????其單位抽樣響應(yīng)： 120()0jjdeHe ??? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ?? 其 它12N? ??例 利用漢寧窗設(shè)計(jì)一個(gè) FIR帶通濾波器，所希望的頻率響應(yīng)函數(shù)為 取長(zhǎng)度 N=31。依據(jù)所選窗函數(shù)，得到單位抽樣響應(yīng)為 33( ) ( ) ( )si n [ ( 16 ) ] c os ( )( 16 ) 16dh n h n w nnnRnn??????? ???? ????? ????（ 4）由 h(n) 求出 H(ejω) ，以便驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果是否滿足要求。 圖 凱塞窗波形（ N=21） 圖 參數(shù)變化時(shí)凱塞窗的傅里葉變換 表 β對(duì)濾波器性能的影響 若阻帶最小衰減表示為 δst， β的確定可采用下述經(jīng)驗(yàn)公式 81 5 ( )stst pN???????0 .40 21 42 ( 21 ) 886 ( 21 ) 21 50 02 ( ) 50stst st stst st?? ? ? ??????? ? ? ? ? ??? ???n???BS 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法總結(jié) (1)確定所希望設(shè)計(jì)濾波器的 hd(n) 一般以理想線性相位濾波器作為逼近函數(shù)來求hd(n)， 即設(shè) Hd(ejω)為理想線性相位濾波器 ， 那么單位取樣響應(yīng)用下式求出： dd1( ) ( )2jjh n H e e d? ??????? ?求解過程中涉及 Hd(ejω)的截止頻率 2p stc?????(2)根據(jù)對(duì)過渡帶及阻帶衰減的要求 ， 選擇窗函數(shù)的形式 ， 并估計(jì)窗口長(zhǎng)度 N。 20021 ( 1 )1( ) ( )()NnINw n R nI????????????β是一個(gè)可選參數(shù)，用來選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關(guān)系，一般說來， β越大 ,過渡帶越寬，阻帶越小衰減也越大。窗函數(shù)設(shè)計(jì)得到 FIR濾波器的阻帶最小衰減。 其相對(duì)比例由窗函數(shù)形狀決定 。 FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)： ( ) 0 1h n n N? ? ?10( ) ( )NnnH z h n z???? ?系統(tǒng)函數(shù)： 在 z 平面有 N –1 個(gè)零點(diǎn) 在 z = 0 處是 N –1 階極點(diǎn) . 線性相位的定義 FIR濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù) 1()0( ) ( ) ( )Nj j n j jnH e h n e H e e? ? ? ? ???????( ) ( )( ) ( )j j jH e e H e? ? ? ? ??? ? ?幅度響應(yīng)（ +， 實(shí)函數(shù)） ?幅度函數(shù)（可 +可 ， 實(shí)函數(shù)） ?相位函數(shù) 線性相位是指 θ(ω)是 ω的線性函數(shù) ()? ? ? ???()? ? ? ? ???滿足 ()dd??????第一類線性相位 第二類線性相位 群延時(shí)為常數(shù) . 線性相位的條件 第一類線性相位成立的充分必要條件 12( ) ( 1 ) 0 1Nh n h N n n N??????? ? ? ? ? ? ??第二類線性相位成立的充分必要條件 122( ) ( 1 ) 0 1Nh n h N n n N?????? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??證明（第一類線性相位條件）： 充分性 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 10( ) ( )NnnH z h n z???? ?10( 1 )Nnnh N n z???? ? ??( ) ( 1 )h n h N n? ? ?11m N nn N m? ? ?? ? ?11( 1 ) ( 1 )00( ) ( )NNN m N mmmh m z z h m z??? ? ? ? ???????( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z? ? ??證明（第一類線性相位條件）： ( 1 ) 11( 1 )01( ) ( ) ( )21()2NNn N nnH z H z z H zh n z z z? ? ??? ? ???????????????1( 1 )0( ) ( )1()2jjzeNj n j N j nnH e H zh n e e e??? ? ???? ? ??????????z=e jω 1 1()201 1()201( ) c o s21( ) c o s2N NjnN NjnNe h n nNe h n n????? ???? ????? ????? ??????????????? ??????????1( 1 )01( ) ( )2Nj j n j N j nnH e h n e e e? ? ? ??? ? ?????? ???11( ) ( )1 1 22()20()2NNj n j nN Njneee h n?????? ? ?? ??????????????證明（第一類線性相位條件）： 幅度函數(shù) 101( ) ( ) c o s2NnNH h n n?????? ??????????????相位函數(shù) 1( ) ( )2N? ? ????嚴(yán)格的線性相位 1()2N ???( 1)N ???0 )(??? ?2?證明（第一類線性相位條件）： 證明（第一類線性相位條件）： 必要性 ()? ? ? ???10( ) ( ) ( )Nj j j nnH e H e h n e? ? ? ???????? ?實(shí)部、虛部分別相等 10( ) c os( ) ( ) c os( )NnH h n n? ? ? ???? ?10( ) si n ( ) ( ) si n ( )NnH h n n? ? ? ???? ?兩式相除 1010( ) si n ( )si n ( )c os( )( ) c os( )NnNnh n nh n n?????????????10( ) si n [ ( ) ] 0Nnh n n???????關(guān)于 奇對(duì)稱 ( 1 )2Nn ? ???h(n)關(guān)于 偶對(duì)稱 ( 1 )2Nn ? ???證明（第一類線性相位條件）： 通過類似的推導(dǎo)，可以得到滿足第二類線性相位條件的系統(tǒng)函數(shù) ( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z? ? ???頻率響應(yīng)函數(shù)函數(shù) 1 12201( ) ( ) si n2N NjjjnNH