【正文】 解 ：（ 1） 確定需增加的過渡帶抽樣點數(shù) m 根據(jù)所要求的 δst ，由表 ，當 m=1時，滿足δst ≥40 dB的要求。 ??? ?? ?? ?? deeHnh njjdd )(2 1)( ???????rNd nRrNnhn )()()(3．減小逼近誤差的措施 1）增加過渡帶抽樣點 加大過渡帶寬，即在不連續(xù)點的邊緣增加值為 0到 1之間（不包含 0和 1）的過渡帶抽樣點，可以緩和階躍突變，使所希望的幅度特性 Hd(ω)由通帶比較平滑的過渡到阻帶，從而使波紋幅度大大減小，同時阻帶衰減也得到改善，如圖 。下面將以該表內(nèi)容為依據(jù)，討論當 H(k)的幅度和相位滿足什么條件時，才能使所設(shè)計的 FIR濾波器具有線性相位。設(shè)計所要求的過渡帶寬為 pB ? ? ?? ? ? ?漢明窗的帶寬為 N? ???? 1 162N? ?（ 3）確定所設(shè)計濾波器 h(n)。因此，凱塞窗是一種近似最佳的窗函數(shù)。 4N????過渡帶：正肩峰與負肩峰的間隔 過渡帶寬 =窗頻譜 WR(ejω)主瓣寬度 正、負肩峰位置 2c N?????截止頻率兩側(cè) 窗譜函數(shù)旁瓣多 起伏振蕩多 窗譜函數(shù)旁瓣相對幅度大 起伏振蕩幅度大 ② H(ω)形成正 、 負肩峰 ， 肩峰兩側(cè)形成起伏振蕩 ③ 改變 N只能改變窗譜的主瓣寬度 ， 但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例 。 FIR濾波器的單位沖激響應： ( ) 0 1h n n N? ? ?10( ) ( )NnnH z h n z???? ?系統(tǒng)函數(shù)： 在 z 平面有 N –1 個零點 在 z = 0 處是 N –1 階極點 . 線性相位的定義 FIR濾波器的頻率響應函數(shù) 1()0( ) ( ) ( )Nj j n j jnH e h n e H e e? ? ? ? ???????( ) ( )( ) ( )j j jH e e H e? ? ? ? ??? ? ?幅度響應（ +， 實函數(shù)） ?幅度函數(shù)（可 +可 ， 實函數(shù)） ?相位函數(shù) 線性相位是指 θ(ω)是 ω的線性函數(shù) ()? ? ? ???()? ? ? ? ???滿足 ()dd??????第一類線性相位 第二類線性相位 群延時為常數(shù) . 線性相位的條件 第一類線性相位成立的充分必要條件 12( ) ( 1 ) 0 1Nh n h N n n N??????? ? ? ? ? ? ??第二類線性相位成立的充分必要條件 122( ) ( 1 ) 0 1Nh n h N n n N?????? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??證明（第一類線性相位條件）： 充分性 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 10( ) ( )NnnH z h n z???? ?10( 1 )Nnnh N n z???? ? ??( ) ( 1 )h n h N n? ? ?11m N nn N m? ? ?? ? ?11( 1 ) ( 1 )00( ) ( )NNN m N mmmh m z z h m z??? ? ? ? ???????( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z? ? ??證明（第一類線性相位條件）： ( 1 ) 11( 1 )01( ) ( ) ( )21()2NNn N nnH z H z z H zh n z z z? ? ??? ? ???????????????1( 1 )0( ) ( )1()2jjzeNj n j N j nnH e H zh n e e e??? ? ???? ? ??????????z=e jω 1 1()201 1()201( ) c o s21( ) c o s2N NjnN NjnNe h n nNe h n n????? ???? ????? ????? ??????????????? ??????????1( 1 )01( ) ( )2Nj j n j N j nnH e h n e e e? ? ? ??? ? ?????? ???11( ) ( )1 1 22()20()2NNj n j nN Njneee h n?????? ? ?? ??????????????證明（第一類線性相位條件）： 幅度函數(shù) 101( ) ( ) c o s2NnNH h n n?????? ??????????????相位函數(shù) 1( ) ( )2N? ? ????嚴格的線性相位 1()2N ???( 1)N ???0 )(??? ?2?證明（第一類線性相位條件）： 證明（第一類線性相位條件）： 必要性 ()? ? ? ???10( ) ( ) ( )Nj j j nnH e H e h n e? ? ? ???????? ?實部、虛部分別相等 10( ) c os( ) ( ) c os( )NnH h n n? ? ? ???? ?10( ) si n ( ) ( ) si n ( )NnH h n n? ? ? ???? ?兩式相除 1010( ) si n ( )si n ( )c os( )( ) c os( )NnNnh n nh n n?????????????10( ) si n [ ( ) ] 0Nnh n n???????關(guān)于 奇對稱 ( 1 )2Nn ? ???h(n)關(guān)于 偶對稱 ( 1 )2Nn ? ???證明（第一類線性相位條件）： 通過類似的推導，可以得到滿足第二類線性相位條件的系統(tǒng)函數(shù) ( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z? ? ???頻率響應函數(shù)函數(shù) 1 12201( ) ( ) si n2N NjjjnNH e e h n n??? ?? ?????? ????????? ?????幅度函數(shù) 101( ) ( ) s i n2NnNH h n n?????? ??????????????相位函數(shù) 1( ) ( )22N?? ? ????廣義的線性相位 ?)23( ?? N( 2 )2N ???)(???? ?20 2?結(jié)論 Ⅰ 、第一類線性相位 ( ) ( 1 )h n h N n? ? ?101( ) ( ) c o s2NnNH h n n?????? ?????????????? 1( ) ( )2N? ? ????Ⅱ 、第二類線性相位 ( ) ( 1 )h n h N n? ? ? ?101( ) ( ) s i n2NnNH h n n?????? ??????????????1( ) ( )22N?? ? ???? 線性相位 FIR濾波器幅度特性 h(n)為偶對稱 ， N為奇數(shù) 101( ) ( ) c o s2NnNH h n n?????? ??????????????11c o s c o s221c o s ( 1 )2NNnnNNn???? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ?????????關(guān)于 偶對稱 ( 1 )2Nn ??關(guān)于 偶對稱 ( 1 )2Nn ??以 (N1)/2為中心，把兩兩相等的項進行合并 ? ?( 3 ) / 2011( ) 2 c os( )22NnNNH h h n n?? ??????? ? ????? ?12N nm? ?? ( 1 ) / 2111 2 c os( )22NmNNh h m m?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??( 1 ) / 20( ) ( ) c o s ( )NnH a n n????? ?1( 0 ) ( )211( ) 2 ( ) , 1 , 2, 3, ,22NahNNa n h n n?????????? ? ? ? ? ???1 0 1 2 3 2 002040? / ?Hr(?)c os( ) 0, 2 n? ? ? ??對 ， 呈 偶 對 稱( ) 0, , 2 H ? ? ? ??? 對 呈 偶 對 稱 h(n)為偶對稱 ， N為偶數(shù) 101201( ) ( ) c os212 ( ) c os2NnNnNH h n nNh n n????????? ????? ?????????? ????? ??????????2N nm??/2112 c os22NmNh m m????? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ????/211( ) ( ) c os2NnH b n n??????????????????( ) 22Nb n h n????????n=1,2, 3, …, N/2 ω=π時， ， H(ω)對 ω=π呈奇對稱 1c os 02n???????????????ω=0時， ， H(ω)對 ω=0呈偶對稱 1c os 12n? ? ? ?H(ω)對 ω=2π呈偶對稱 1 0 1 2 3 4 0 2 002040? / ?Hr(?)不適合設(shè)計高通濾波器、帶阻濾波器 h(n)為奇對稱 ， N為奇數(shù) 101( ) ( ) s i n2NnNH h n n?????? ??????????????11si n ( 1 ) si n22NN N n n??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??? ??????? ? ? ?? ? ? ?1si n2N n ??????? ? ?????????11si n22NNn ??? ?????????????對 呈 奇 對 稱( 3 ) / 2111( ) 2 ( ) s i n ( )22NnNNH h n n h?????? ????? ? ??????????12N nm? ??=0 12112 si n ( )2NmNh m m ???????? ?????( 1 ) / 21( ) ( ) s i n ( )NnH c n n????? ?11( ) 2 ( ) , 1 , 2 , ,22NNc n h n n??? ? ? ? ? ?( 1 ) / 21( ) ( ) s i n ( )NnH c n n????? ?1 0 1 2 3 4 0 2 002040? / ?Hr(?) 0, , 2 sin ( ) 0