【正文】 以往的濾波器大多采用模擬電路技術(shù)，但是，模擬電路技術(shù)存在很多難以解決的問(wèn)題，例如，模擬電路元件對(duì)溫度的敏感性，等等。 設(shè)計(jì)平臺(tái) MATLAB 是美國(guó) MathWorks 公司生產(chǎn)的一個(gè)為科學(xué)和工程計(jì)算專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)的交互式大型軟件，是一個(gè)可以完成各種精確計(jì)算和數(shù)據(jù)處理的、可視化的、強(qiáng)大的計(jì)算工具。它不僅是一個(gè)在各類(lèi)工程設(shè)計(jì)中便于使用的計(jì)算工具，而且也是一個(gè)在數(shù)學(xué)、數(shù)值分析和工程計(jì)算等課程教學(xué)中的優(yōu)秀的數(shù)學(xué)工具，在世界各地的高和大型計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，適用于 Windows、 UNIX 等多種系統(tǒng)平臺(tái)。 數(shù)字濾波器可以用查分方程、單位取樣響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)等表示。 一個(gè)給定的輸入輸出關(guān)系，可以用多種不同的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此，運(yùn)算結(jié)構(gòu)是很重要的，同一系統(tǒng)函數(shù) H(z)，運(yùn)算結(jié)構(gòu)的不同，將會(huì)影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經(jīng)濟(jì)性以及運(yùn)算速度等許多重要性能。不論軟件實(shí)現(xiàn)還是硬件實(shí)現(xiàn)，在濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程中，由同一系統(tǒng)函數(shù)可以構(gòu)成很多不同的運(yùn)算結(jié)構(gòu)。因此，有必要對(duì)離散 時(shí)間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有一基本認(rèn)識(shí)。不同的運(yùn)算處理 方法決定了濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的不同 。 前面已經(jīng)說(shuō)明，對(duì)于一個(gè)給定的線形時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，有著各種不同的等效差分方程或網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。然而，當(dāng)需要考慮 有限寄存器長(zhǎng)度的影響時(shí)，往往也采用并非最少乘法器和延課程設(shè)計(jì) 第 7 頁(yè) 共 44 頁(yè) 遲單元的結(jié)構(gòu)。 通常在實(shí)際中很少采用上述兩種結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)高階系統(tǒng)，而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng) (一、二階 )來(lái)實(shí)現(xiàn)。 缺點(diǎn)： 不能直接調(diào)整零點(diǎn)，因多個(gè)二階節(jié)的零點(diǎn)并不是整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)需要準(zhǔn)確的傳輸零點(diǎn)時(shí)，級(jí)聯(lián)型最合適。 優(yōu)點(diǎn)： ? 簡(jiǎn)化實(shí)現(xiàn)，用一個(gè)二階節(jié)，通過(guò)變換系數(shù)就可實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)； ? 極、零點(diǎn)可單獨(dú)控制、調(diào)整，調(diào)整 α1i、 α2i只單獨(dú)調(diào)整了第 i 對(duì)零點(diǎn)，調(diào)整 β1i、 β2i則單獨(dú)調(diào)整了第 i 對(duì)極點(diǎn)； ? 各二階節(jié)零、極點(diǎn)的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運(yùn)算誤差； ? 可流水線操作。 課程設(shè)計(jì) 第 8 頁(yè) 共 44 頁(yè) a、直接型 b、并聯(lián)型 課程設(shè)計(jì) 第 9 頁(yè) 共 44 頁(yè) c、串聯(lián)型 圖 1 濾波器的性能指標(biāo) 我們?cè)谶M(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，需要確定其性能指標(biāo)。以低通濾波器特性為例，頻率響應(yīng)有通帶、過(guò)渡帶及阻帶三個(gè)范圍。 圖 低通濾波器頻率響應(yīng) 幅度 特性的容限圖 課程設(shè)計(jì) 第 10 頁(yè) 共 44 頁(yè) 與模擬濾波器類(lèi)似，數(shù)字濾波器按頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類(lèi)型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是周期性的，周期為 2π。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有了一套相當(dāng)成熟的方法，它不但有完整的設(shè)計(jì)公式，而且還有較為完整的圖表供查詢(xún)，因此，充分利用這些已有的資源將會(huì)給數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)帶來(lái)很大方便， IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟是： 課程設(shè)計(jì) 第 11 頁(yè) 共 44 頁(yè) (1)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)； (2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 H(s)； (3)在按一定規(guī)則將 H(s)轉(zhuǎn)換為 H(z)。 s z 映射的方法有 ： 沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法等。 脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序 h(n)模仿模擬濾波去的沖擊響應(yīng) ha(t)，使 h(n)正好等于 ha(t)的采樣值，即 h(n)=ha(nT) （ 23） T 為采樣周期。 應(yīng)當(dāng)指出， Z=est 的映射關(guān)系表明， S 平面上每一條寬為 2pi/T 的橫帶部分，都將重疊課程設(shè)計(jì) 第 12 頁(yè) 共 44 頁(yè) 地映射到 Z 平面的整個(gè)全部平面上。 Z=est 的映射關(guān)系反映的是 Ha(s)的周期嚴(yán)拓與 H(z)的關(guān)系，而不是 Ha(s)b 本身與 H(z)的關(guān)系，因此，使用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)，從 Ha(s)到 H(z)并沒(méi)有一個(gè)由 S 平面到 Z 平面的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系，即沒(méi)有一個(gè) s=f(z)的代數(shù)關(guān)系式。巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最平滑。在振幅的對(duì)數(shù)對(duì)角頻率的波得圖上，從某一邊界角頻率開(kāi)始，振幅隨著角頻率的增加而逐步減少，趨向負(fù)無(wú)窮大。課程設(shè)計(jì) 第 13 頁(yè) 共 44 頁(yè) 如下圖 所示： 圖 巴特沃茲振幅平方函數(shù) 通帶 ： 使信號(hào)通過(guò)的頻帶 ；阻帶：抑制噪聲通過(guò)的頻帶； 過(guò)渡帶：通帶→阻帶間過(guò)渡的頻率范圍 ； Ω c：截止頻率。通帶內(nèi)，分母 Ω /Ω c1,相應(yīng) (Ω /Ω c)2N 隨 N 的增加而趨于 0， A(Ω 2)→1 ， 在過(guò)渡帶和阻帶， Ω /Ω c1， 隨 N 的增加， Ω e/Ω c1，所以 A(Ω2)快速下降。 振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)可寫(xiě)成如式 22： Ha(s).Ha(s)= （ 29） 課程設(shè)計(jì) 第 14 頁(yè) 共 44 頁(yè) 可分解為 2N 個(gè)一次因式令分母為零，→ 可見(jiàn)， Butterworth 濾波器的振幅平方函數(shù)有 2N 個(gè)極點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ(chēng)地分布在 |s|=Ω c 的圓周上。 數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為： Wp= rad Ap=1dB T=2s Ws= rad As=15dB 程序?yàn)椋? T=2。 %采樣頻率為 采樣周期倒數(shù) Wp=.*pi。 %設(shè)計(jì)歸一化通帶阻帶截止頻率 Ap=1。 %設(shè)置通帶最大最小衰減 [N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,39。)。s39。 %調(diào)用 butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器 W=linspace(0,pi,400*pi)。 %調(diào)用脈沖不變法 168。 % plot(W/pi,abs(Hz)/abs(Hz(1)))。 title(39。)。Frequency/Hz39。 ylabel(39。)。 數(shù)字 高 通的技術(shù)指標(biāo)為： Wp= rad Ap=2dB T=2s Ws= rad As=15dB 程序?yàn)椋? T=2。 %采樣頻率 課程設(shè)計(jì) 第 17 頁(yè) 共 44 頁(yè) Wp= .*pi。 %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止平率 Ap= 2。 %設(shè)置通帶最大最小衰減 [N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,39。)。high39。s39。 %調(diào)用 butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器 W=linspace(0,pi,400*pi)。 %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 Hz=freqz(D,C,W)。 plot(W/pi,abs(Hz)/abs(Hz(1)))。 title(39。)。Frequency/Hz39。 ylabel(39。)。 帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)為： Wp=[ ]rad Ap=1dB T=2s Ws=[ ]rad As=10dB 程序?yàn)?。 %采樣周期 fs=1/T。 Ws=[.*pi .*pi]。 As= 10。s39。 %調(diào)用 butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù) [B,A]=butter(N,Wc,39。,39。)。 %指定一段頻率值 [D,C]=impinvar(B,A,fs)。 Hz=freqz(D,C,W)。返回頻率值 166。 %繪出巴特沃斯數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線 grid on。巴特沃斯帶通濾波器 39。 xlabel(39。)。Magnitude39。 得出幅頻特性如下圖： 課程設(shè)計(jì) 第 20 頁(yè) 共 44 頁(yè) 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 100 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 4巴特沃斯帶通數(shù)字濾波器F r e q u e n c y / H zMagnitude 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì) IIR 帶阻數(shù)字濾波器實(shí)例。 fs=1/T。 Ws=[.*pi .*pi]。 As= 11。s39。 %調(diào)用 butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù) [B,A]=butter(N,Wc,39。,39。)。 W=linspace(0,pi,400*pi)。 %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 Hz=freqz(D,C,W)。返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz))。 title(39。)。Frequency/Hz39。 得出幅頻特性如下圖： 課程設(shè)計(jì) 第 22 頁(yè) 共 44 頁(yè) 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 10 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 41 . 6巴特沃斯帯阻數(shù)字濾波器F r e q u e n c y / H z 小結(jié)： 經(jīng)觀察濾波器幅頻特性圖得， 巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是 通帶 內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒(méi)有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。 低通濾波器容許低頻信號(hào)通過(guò) , 但減弱 (或減少 )頻率高於截止頻率的信號(hào)的通過(guò)。 帶通濾波器容許一定頻率范圍信號(hào)通過(guò) , 但減弱 (或減少 )頻率低于於下限截止頻率和高于上限截止頻率的信號(hào)的通過(guò)。 對(duì)于巴特沃斯濾波器低通和帶通效果較好，而高通和帯阻效果較差。 m=str2double(get(,39。))。String39。 y1=sin(m.*t)。 y=y1+y2。 grid。 grid。 其中 m， n 為信號(hào)參數(shù)。 課程設(shè)計(jì) 第 25 頁(yè) 共 44 頁(yè) 軟件功能及使用方法。并且對(duì)固定的信號(hào)進(jìn)行濾波模擬。 2，在信號(hào)輸入通道中輸入濾波器的參數(shù)。 4，在信號(hào)輸入通道中，輸入兩參數(shù)按‘原信號(hào)波形‘按鈕得以固定原始信號(hào)。 注： Wph 和 Wsh 兩輸入只有在帶通和帯阻時(shí)，輸入?yún)?shù)有效。帶通帯阻為高低通的組合。在這個(gè) 課程設(shè)計(jì)中我們須利用 MATLAB 設(shè)計(jì)各種濾波器。在發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，問(wèn)了很多同學(xué)也問(wèn)了老師，當(dāng)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤原因時(shí)，很多次都是因?yàn)樽约旱牟患?xì)心造成。在做實(shí)驗(yàn)是一定要小心謹(jǐn)慎，也許一個(gè)小小的語(yǔ)法錯(cuò)誤和常量變量的定義的錯(cuò)誤就造成整個(gè)程序出現(xiàn)問(wèn)題，得不到所需的波形，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果不正確。其中的信號(hào)處理工具箱、圖像處理工具箱、小波工具箱等更是為數(shù)字濾波研究的蓬勃發(fā)展提供了可能。 課程設(shè)計(jì) 第 27 頁(yè) 共 44 頁(yè) 參考資料： 1謝平，林洪彬 信號(hào)處理原理及應(yīng)用 北京：機(jī)械工程出版社