【正文】 其頻率響應(yīng)H(z)滿足所希望得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。數(shù)字濾波器的頻響特性函數(shù)一般為復(fù)函數(shù)，所以通常表示為：（式14）其中，||稱為幅頻特性函數(shù)，Φ(w)稱為相頻特性函數(shù)。一般IIR數(shù)字濾波器，通常只用幅頻響應(yīng)函數(shù)||來描述設(shè)計(jì)指標(biāo)，相頻特性一般不作要求。圖中，ωp和ωs分別為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率；δ1和δ2分別為通帶波紋和阻帶波紋；允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)所允許的最大衰減（dB）和阻帶內(nèi)允許的最小衰減（dB）分別為αp和αs表示：（式15） （式16）一般要求：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)際上是求解濾波器的系數(shù)和，它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則）去逼近系統(tǒng)的特性。第一節(jié) IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般有兩種方法：一個(gè)是借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行。這種方法比較容易一些，因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)非常成熟，不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表供查閱；另外一種直接在頻率或者時(shí)域內(nèi)進(jìn)行，由于需要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)做輔助設(shè)計(jì)。這是因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；另外，還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。(2) 數(shù)字濾波器的頻率相應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響特性，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系。(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。(4)用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。第二節(jié) 用脈沖相應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 一、設(shè)計(jì)原理利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用采樣序列的Z變換與模擬信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系得 (式22)則可看出，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面，這個(gè)從s到z的變換z=esT是從S平面變換到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即 (式24)才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即 (式25)但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。圖23脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象對(duì)某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時(shí)間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。如果要對(duì)高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法，就必須先對(duì)高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。第三節(jié) 雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器一、設(shè)計(jì)原理脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到π/T～π/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖23所示。當(dāng)Ω1由π/T經(jīng)過0變化到π/T時(shí)，Ω由∞經(jīng)過0變化到+∞，也即映射了整個(gè)jΩ軸。首先,把z=ejω，可得（式212）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。二、雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn)雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。S平面整個(gè)jΩ軸單值地對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。由圖24看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)Ω進(jìn)一步增加時(shí)，ω增長得越來越慢，最后當(dāng)Ω→∞時(shí)，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。圖26雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸變來加以校正。第三章 IIR濾波器的MATLAB設(shè)計(jì)MATLAB是矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix Laboratory）之意。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué),工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB來解算問題要比用C,FORTRAN,c++ ,用戶也可以將自己編寫的實(shí)用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的MATLAB愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶可以直接進(jìn)行下載就可以用，非常的方便。用MATLAB進(jìn)行數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)的步驟如下:（1） 將設(shè)計(jì)指標(biāo)歸一化處理。（2） 根據(jù)歸一化頻率，確定最小階數(shù)N和頻率參數(shù)Wn。（3） 運(yùn)用最小階數(shù)N設(shè)計(jì)模擬低通濾波器原型。如果想根據(jù)最小階數(shù)直接設(shè)計(jì)模擬低通濾波器原型，可用butter,chebyl,cheby2,ellip,bessel等函數(shù)，只是注意要將函數(shù)中的Wn設(shè)為1。（5） 運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變法把模濾波器轉(zhuǎn)數(shù)字濾波器，調(diào)用的函數(shù)是impinvar和bilinear。（6） 根據(jù)輸出的分子分母系數(shù)，調(diào)用函數(shù)buttord計(jì)算N和wc，有系數(shù)向量可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)Z,再用freqz函數(shù)驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果。低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟如下：（1） 確定階數(shù)N。下面用M程序設(shè)計(jì)來實(shí)現(xiàn)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的M程序如下：fp=2100。 Fs=20000。Rs=30。 %設(shè)計(jì)指標(biāo)W1p=fp/Fs*2。%求歸一化頻率[N,Wn]=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,39。)。 %設(shè)計(jì)模擬低通原型的零極點(diǎn)增益參數(shù)[bp,ap]=zp2tf(z,p,k)。%將低通原型轉(zhuǎn)換為模擬低通[bz,az]=impinvar(bs,as,Fs)。 %給出傳輸函數(shù)H(Z)[H,W]=freqz(bz,az,512,Fs)。plot(W,20*log10(abs(H)))。 %加坐標(biāo)網(wǎng)格xlabel(39。)。振幅/dB39。subplot(2,1,2)。 grid on。頻率/Hz39。 ylabel(39。)。雙線性變換法設(shè)計(jì)步驟如下：（1）首先寫出該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（2）利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 用雙線性變換法設(shè)計(jì)橢圓數(shù)字低通濾波器的M程序如下： fs=20000。 ws=2*pi*8000/fs。 Rs=30。 Wp=2/Ts*tan(wp/2)。 %按頻率轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換 [N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,39。)。%設(shè)計(jì)模擬原型濾波器 [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k)。 %低通轉(zhuǎn)換為低通濾波器的頻率轉(zhuǎn)化 [bz,az]=bilinear(b,a,fs)。 subplot(2,1,1)。 title(39。)。 xlabel(39。)。振幅/dB39。 subplot(2,1,2)。 grid on。頻率/Hz39。 ylabel(39。)。主要有以下幾種方法：這種方法也稱為零極點(diǎn)累試法。設(shè)計(jì)Butterworth濾波器用函數(shù)butter()，可以設(shè)計(jì)低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬濾波器，其特性是通帶內(nèi)的幅度響應(yīng)最大限度的平滑，但損失了截止頻率處的下降斜度?？梢栽O(shè)計(jì)低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬Chebyshev I型濾波器，其通帶內(nèi)為等波紋，阻帶內(nèi)為單調(diào)。設(shè)計(jì)Chebyshev II型