【正文】 第二節(jié) 數(shù)字濾波器的分類 按照不同的分類方法，數(shù)字濾波器有許多種類，但總起來可以分成兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。但是，如果信號(hào)和干擾的頻譜相互重疊，則經(jīng)典濾波器不能有效地 濾除干擾，最大限度地恢復(fù)信號(hào)，這時(shí)就需要現(xiàn)代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器。 經(jīng)典數(shù)字 濾波器從 濾波特性 上分類 ，可以 分為 ： 低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器。 IIR 數(shù)字濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)，需要用遞歸模型來實(shí)現(xiàn)， 其差分方程為： ? ?? ? ???? Ni Ni ii inybinxany 0 1 )()()( （式 12） 系統(tǒng)函數(shù)為： kNkiMrrrZaZbzH????????101)( （式 13） 設(shè)計(jì) IIR濾波器的任務(wù)就是尋求一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù) H(z)，使其頻率響應(yīng) H(z)滿足所希望得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。數(shù)字濾波器的頻響特性函數(shù) )( jweH 一般為復(fù)函數(shù)，所以通常表示為： )()(|)()( wjjwezjw eeHzHeH jw ?? ?? （式 14） 其中， | )( jweH |稱為幅頻特性函數(shù)，Φ (w)稱為相頻特性函數(shù)。一般 IIR 數(shù)字濾波器，通常只用幅頻響應(yīng)函數(shù)| )( jweH |來描 述設(shè)計(jì)指標(biāo)，相頻特性一般不作要求。圖中，ω p 和ω s 分別為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率；δ 1和δ 2分別為通帶波紋和阻帶波紋；允許的衰減一般用 dB數(shù)表示，通帶內(nèi)所允許的最大衰減（ dB）和阻帶內(nèi)允許的最小衰減（ dB）分別為αp和α s 表示： 1111 11lg2021lg20 ???? ???????pa （式 15） 2lg20 ???sa （式 16） 一般要求： 當(dāng) p?? ??0 時(shí)，pjw aeH ?? )(lg20； 當(dāng) ??? ?? 時(shí)， )(lg20 jweHa s ?? 。 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)際上是求解濾波器的系數(shù) ka 和 kb ， 它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則）去逼近系統(tǒng)的特性。 第一節(jié) IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 一般有兩種方法：一個(gè)是借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行。這種方法比較容易一些，因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)非常成熟，不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表供查閱； 另外一種直接在頻率或者時(shí)域內(nèi)進(jìn)行，由于需要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)做輔助設(shè)計(jì)。這是因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；另外，還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。 (2)數(shù)字濾波器的頻率相應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響特性， s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 (4)用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器 )(sHa 轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù) )(zH 。 第二節(jié) 用脈沖相應(yīng)不變法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器 一、 設(shè)計(jì)原理 利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。 如果令 Ha(s)是 ha(t)的拉普拉斯變換， H(z)為 h(n)的 Z 變換，利用采樣序列的 Z變換 與模擬信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系得 )(ZfS? 數(shù)字濾波器 技術(shù)指標(biāo) 模擬濾波器 技術(shù)指標(biāo) 數(shù)字濾波器 )(ZH 模擬濾波器 )(SHa 模擬濾波器 設(shè)計(jì)方法 變換 )(?g?? 變換 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） ７ ?? ????????? ?????? ????? k ak sagz kTjsXTjksXTzX xT ?21)(1|)( (式 22) 則可看出，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的 S平面變換成數(shù)字濾波器的 Z平面，這個(gè)從 s 到 z 的變換 z=esT是從 S 平面變換到 Z 平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即 0)( ??jHa 2sT ???? ? (式 24) 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即 ??????? TjHTeH ae j ?? 1)( ??? (式 25) 但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的， 變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生 頻率響應(yīng)的混疊失真 。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。 j?3 ?? / T?? / T－ 3?? / T－ ?? / To o? － 1 1jI m [ z ]R e [ z ]Z 平面S 平面重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） ８ 圖 23脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象 對(duì)某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為 fs，若使 fs增加，即令采樣時(shí)間間隔（ T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器 (例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器 )，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。如果要對(duì)高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法，就必須先對(duì)高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。 － 3? － 2?… …)j(aΩH?oo－ ? 2 ? 3 ?? ? ＝ ? ? T)(ej?HTπ2TπTπTπ2－重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） ９ 第三節(jié) 雙線性變換法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器 一、 設(shè)計(jì) 原理 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到 π /T～π /T之間，再用 z=esT轉(zhuǎn)換到 Z 平面上。這樣就使 S平面與 Z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖 23 所示。 當(dāng) Ω 1 由 π /T 經(jīng)過 0 變化 到 π /T 時(shí)， Ω 由 ∞經(jīng)過 0 變化到 +∞，也即映射了整個(gè) jΩ 軸。 首先 ,把 z=ejω ，可得 ???????????? ?? jTjeeTs jj 2t a n2112 ??? （ 式 212） 即 S 平面的虛軸映射到 Z平面的單位圓。也就是說， S 平面的左半平面映射到 Z平面的單位圓內(nèi)， S 平面的右半平面映射到 Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到 Z 平面的單位圓上。 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） １１ 二、 雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn) 雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。 S平面整個(gè) jΩ 軸單值地對(duì)應(yīng)于 Z 平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。 由圖 24 看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng) Ω 進(jìn)一步增加時(shí)， ω 增長得越來越慢，最后當(dāng) Ω →∞時(shí)，ω 終止在折疊頻率 ω =π處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。 ?－ ? ?o? ?2ta n2 ?T? ＝重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） １２ 圖 26 雙線性變換法幅度和相 位特性的非線性映射 對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸 變 來加以校正。?o ?oo??)j(a ΩH)(e j ?H? ???ooo)](ea r g [ j ?H)]j(a r g [ a ΩH重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） １３ 第 三 章 IIR 濾波器的 MATLAB 設(shè)計(jì) MATLAB 是矩陣實(shí)驗(yàn)室（ Matrix Laboratory）之意。 MATLAB 的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá) 式與數(shù)學(xué) ,工程中常用的形式十分相似 ,故用 MATLAB來解算問題要比用 C,FORTRAN等語言完相同的事情簡捷得多 .在新的版本中也加入了對(duì) C,FORTRAN,c++ ,JAVA的支持 .可以直接調(diào)用 ,用戶也可以將自己編寫的實(shí)用程序?qū)氲?MATLAB 函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的 MATLAB 愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶可以直接進(jìn)行下載就可以用，非常的方便。 用 MATLAB 進(jìn)行數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 的 步驟如下 : （ 1） 將設(shè)計(jì)指標(biāo)歸一化處理。 （ 2） 根據(jù)歸一化頻率，確定最小階數(shù) N 和頻率參數(shù) Wn。 （ 3） 運(yùn)用最小階數(shù) N 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器原型。如果想根據(jù) 最 小 階 數(shù) 直 接 設(shè) 計(jì) 模 擬 低 通 濾 波 器 原 型 ， 可 用butter,chebyl,cheby2,ellip,bessel 等函數(shù)，只是注意要將函數(shù)中的 Wn設(shè)為 1。 （ 5） 運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變法把模濾波器轉(zhuǎn)數(shù)字濾波器，調(diào)用的函數(shù)是 impinvar 和 bilinear。 （ 6） 根據(jù)輸出的分子分母系數(shù)， 調(diào) 用 函數(shù) buttord 計(jì)算 N 和 wc， 有系數(shù)向量可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) Z,再用 freqz 函數(shù)驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果。 低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟 如下： （ 1） 確定階數(shù) N。 下面用 M 程序設(shè)計(jì)來實(shí)現(xiàn) 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的巴特沃 斯 數(shù)字低通濾波器的 M 程序如下： fp=2100。 Fs=20210。 Rs=30。 %設(shè)計(jì)指標(biāo) W1p=fp/Fs*2。%求歸一化頻率 [N,Wn]=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,39。)。 %設(shè)計(jì)模擬低通原型的零極點(diǎn)增益參數(shù) [bp,ap]=zp2tf(z,p,k)。%將低通原型轉(zhuǎn)換為模擬低通 [bz,az]=impinvar(bs,as,Fs)。 %給出傳輸函數(shù) H(Z) [H,W]=freqz(bz,az,512,Fs)。 plot(W,20*log10(abs(H)))。 %加坐標(biāo)網(wǎng)格 xlabel(39。)。振幅 /dB39。 subplot(2,1,2)。 grid on。頻率 /Hz39。 ylabel(39。)。 雙線性變換法 設(shè)計(jì)步驟如下： （ 1）首先寫出該濾波器的系統(tǒng)函數(shù) RCaas asH 1,)( ??? （ 2）利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(1 zH 為 12111121 1 )1(|)()(11 ????? ?????? zazasHzHzzTsa 22,2 21 ????? aTaTaaTaTa 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） １７ 用雙 線性變換法 設(shè)計(jì) 橢圓數(shù)字低通濾波器的 M程序如下： fs=20210。 ws=2*pi*8000/fs。 Rs=30。 Wp=2/Ts*tan(wp/2)。 %按頻率轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換 [N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,39。)。%設(shè)計(jì)模擬原型 濾波器 [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k)。 %低通轉(zhuǎn)換為低通濾波器的頻率轉(zhuǎn)化 [bz,az]=bilinear(b,a,fs)。 subplot(2,1,1)。 title(39。)。 xlabel(39。)。振幅 /dB39。 subplot(2,1,2)。 grid on。頻率 /Hz39。 ylabel(39。)。主要 有以下幾種方法 ： 這種方法也 稱為零極點(diǎn)累試法。 IIR 數(shù)字濾波器 計(jì) IIR 數(shù)字濾波器 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） １９ 設(shè)計(jì) Butterworth 濾 波器用函數(shù) butter()，可以設(shè)計(jì)低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬濾波器，其特性是通帶內(nèi)的幅度響應(yīng)最大限度的平滑，但損失了截止頻率處的下降斜度?？梢栽O(shè)計(jì)低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬 Cheby