【正文】 濾波器具有無(wú)限持續(xù)時(shí)間脈沖響應(yīng)，而所有的模擬濾波器一般都具有無(wú)限長(zhǎng)的脈沖響應(yīng)，因此它與模擬濾波器相匹配。本章按按此思路將IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)分為三部分：設(shè)計(jì)模擬濾波器；進(jìn)行濾波器轉(zhuǎn)換，得到數(shù)字濾波器；最后再簡(jiǎn)單分析數(shù)字濾波器的頻帶轉(zhuǎn)換問題。 模擬濾波器設(shè)計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器技術(shù)設(shè)計(jì)最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。濾波器設(shè)計(jì)最重要的是尋找一個(gè)穩(wěn)定、因果的系統(tǒng)函數(shù)去逼近濾波器的技術(shù)指標(biāo)，因此模擬濾波器的設(shè)計(jì)十分重要。 巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器擁有最平滑的頻率響應(yīng)，在截止頻率以外，頻率響應(yīng)單調(diào)下降。在截止頻率處有3dB的衰減。高階巴特沃斯濾波器的頻率響應(yīng)近似于理想低通濾波器。MATLAB信號(hào)處理工具箱為低通模擬巴特沃斯濾波器的產(chǎn)生提供了函數(shù)buttap,其調(diào)用的格式為：[z,p,k]=buttap(N)，其中，z表示零點(diǎn),p表示極點(diǎn),k表示增益，N表示階次。n=0::2。case 2 N=5。 case 4 N=20。 %函數(shù)buttap設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器[b,a]=zp2tf(z,p,k)。 %函數(shù)freqs求解模擬濾波器頻率響應(yīng)magH2=(abs(H)).^2。 %函數(shù)axis控制坐標(biāo)軸比例和外觀endxlabel(39。)。|H(jw)|^239。title(39。)。其過渡帶的陡峭程度正比于濾波器的階數(shù)，高階巴特沃斯濾波器的頻率響應(yīng)近似于理想低通濾波器。 切比雪夫低通濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器的頻率特性在通帶和阻帶內(nèi)部都是隨頻率單調(diào)變化的，如果在通帶的邊緣能夠滿足指標(biāo)，那么在通帶的內(nèi)部會(huì)超過設(shè)計(jì)的指標(biāo)要求，造成濾波器的階次N比較高。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來(lái)達(dá)到。它有兩種形式：振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的、在阻帶內(nèi)是單調(diào)的切比雪夫I型濾波器；振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的、在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫II型濾波器。切比雪夫I型(ChebyshevI)濾波器平方幅度響應(yīng)函數(shù)為： (22)其中是一個(gè)小于1的正數(shù)，它與通帶波紋有關(guān)，越大，波紋也越大；是的切比雪夫多項(xiàng)式，它的定義為： (23)而切比雪夫II型(ChebyshevII)濾波器平方幅度響應(yīng)函數(shù)為： (24)其中是一個(gè)小于1的正數(shù)，表示波紋變化情況；為截止頻率；N為濾波器的階次，也是的階次。而通過MATLAB信號(hào)處理工具箱中的函數(shù)cheb1ap及cheb2ap，可以實(shí)現(xiàn)切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)，其調(diào)用格式為：[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp) [z,p,k]=cheb2ap(N,Rs)其中，z表示零點(diǎn),p表示極點(diǎn),k表示增益，N表示階次，Rp為通帶波紋(dB), Rs為阻帶波紋(dB)。 n=0::2。 case 2 N=8。 %通帶紋波系數(shù)為1dB[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp)。 [H,w]=freqs(b,a,n)。%繪制圖形posplot=[39。 num2str(i)]。xlabel(39。)。|H(jw)|^239。title([39。 num2str(N)])。 n=0::2。 case 2 N=8。 %阻帶文波系數(shù)為10dB[z,p,k]=cheb2ap(N,Rs)。[H,w]=freqs(b,a,n)。%輸出圖形posplot=[39。 num2str(i)]。圖25 切比雪夫II型濾波器的幅頻特性(基于MATLAB實(shí)現(xiàn))用圖2圖25 與圖223分別作比較可清楚地分析得出，切比雪夫?yàn)V波器有效地將技術(shù)指標(biāo)的精確度均勻分布，切比雪夫I型濾波器的振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的、在阻帶內(nèi)是單調(diào)的；切比雪夫II型濾波器的振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的、在阻帶內(nèi)是等波紋的。因此過渡帶的特性有所提高，但是并不理想。1931年，考爾提出了采樣有限零點(diǎn)設(shè)計(jì)的濾波器，因?yàn)檫@種方法在確定零點(diǎn)位置時(shí)與橢圓函數(shù)的許多特性有關(guān)，所以稱之為橢圓低通濾波器。濾波器階次N等于通帶和阻帶內(nèi)最大點(diǎn)和最小點(diǎn)的和。下面舉例設(shè)計(jì)橢圓低通模擬原型濾波器：%橢圓低通濾波器clear all。for i=1:4 switch i case 1 N=2。 case 3 N=4。 endRp=1。 %Rs阻帶紋波系數(shù)為10dB[z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs)。[H,w]=freqs(b,a,n)。%輸出圖形posplot=[39。num2str(i)]。xlabel(39。)。|H(jw)|^239。title([39。num2str(N)])。 模擬數(shù)字濾波器變換及其MATLAB實(shí)現(xiàn)在設(shè)計(jì)了模擬低通濾波器后，就可以把它們變成數(shù)字濾波器了。其中，最重要的有兩種：脈沖響應(yīng)不變法（保持脈沖響應(yīng)不變，又叫沖激響應(yīng)不變法）和雙線性Z變換法（保持系統(tǒng)函數(shù)不變）。設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)的模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)為g(t),并將脈沖響應(yīng)g(t)進(jìn)行等間隔采樣，使得數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)剛好等于g(t)的采樣值，即： (26)其中的為采樣周期。采樣信號(hào)的拉式變換與相應(yīng)的采樣序列Z變換的映射關(guān)系為： (27)所以系統(tǒng)函數(shù)G(s)和H(z)的關(guān)系為： (28)式(28)的物理意義為首先將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)G(s)作周期的延拓，在經(jīng)過式(27)的映射變換，映射到Z平面上，從而得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。經(jīng)過式(27)的映射，s平面的左半平面映射為Z平面的單位圓內(nèi)，因此，一個(gè)因果的和穩(wěn)定的模擬濾波器映射成因果的和穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。其函數(shù)為[b,a]=impinvar(c,d,T)，其中，b表示數(shù)字濾波器自變量為的分子多項(xiàng)式，a表示數(shù)字濾波器自變量為的分母多項(xiàng)式，c表示模擬濾波器自變量為s的分子多項(xiàng)式,d表示模擬濾波器自變量為s的分母多項(xiàng)式，T表示采樣變換參數(shù)。ws=*pi。As=15。 %采樣周期%性能指標(biāo)Rip=10^(Rp/20)。OmgP=wp*T。[N,OmgC]=buttord(OmgP,OmgS,Rp,As,39。)。s39。 %設(shè)計(jì)出所需的模擬低通濾波器[b,a]=impinvar(cs,ds,T)。 %求得相對(duì)，絕對(duì)頻響及相位、群延遲響應(yīng)%繪制各條曲線subplot(2,2,1)。title(39。)。w(/pi)39。ylabel(39。)。set(gca,39。,39。,39。,[0 1])。YTickMode39。manual39。YTick39。gridsubplot(2,2,2)。title(39。)。w(/pi)39。ylabel(39。)。set(gca,39。,39。,39。,[0 1])。YTickMode39。manual39。YTick39。gridsubplot(2,2,3)。title(39。)。w(/pi)39。ylabel(39。)。set(gca,39。,39。,39。,[0 1])。plot(w/pi,grd)。群延遲39。xlabel(39。)。Sample39。axis([0,1,0,12])。XTickMode39。manual39。XTick39。grid%本設(shè)計(jì)用到的M文件函數(shù)function[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a)%濾波器幅值響應(yīng)（絕對(duì)、相對(duì)）、相位響應(yīng)及群延遲%Usage:[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a) %500點(diǎn)對(duì)應(yīng)[0,pi]%db 相對(duì)幅值響應(yīng)； mag 絕對(duì)幅值響應(yīng)； pha 相位響應(yīng)； grd 群延遲響應(yīng)；%w 采樣頻率； b 系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子項(xiàng)%a 系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分母項(xiàng)[H,w]=freqz(b,a,500)。db=20*log10(mag/max(mag))。grd=grpdelay(b,a,w)。另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，時(shí)域逼近好。所以，脈沖響應(yīng)不變法適合低通、帶通濾波器設(shè)計(jì)，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。為克服這一現(xiàn)象，人們找到了另一種映射關(guān)系： (211)此關(guān)系稱為雙線性Z變換法。在MATLAB中，雙線性Z變換可通過bilinear函數(shù)實(shí)現(xiàn),其調(diào)用格式為：[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)，其中B,A為模擬濾波器的傳遞函數(shù)G(s)的分子分母多項(xiàng)式系數(shù)分量，而Bz,Az為數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(Z)的分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)分量。fs=300。rp=3。 wp=2*pi*fp/Fs。Fs=Fs/Fs %使Fs為一wap=tan(wp/2)。[n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,39。)[z,p,k]=buttap(n)。圖29 雙線性Z變換設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器的特性(基于MATLAB實(shí)現(xiàn)) 頻帶變換及其MATLAB實(shí)現(xiàn)除了低通數(shù)字濾波器之外，實(shí)際中還常常需要高通、帶通、及帶阻數(shù)字濾波器。下面將具體介紹基于濾波器轉(zhuǎn)換法的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)—直接由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器。clear all。Ws=*pi。As=15。high39。 %頻率變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯高通濾波器[b0,B,A]=dir2cas(b,a) %數(shù)字高通濾波器級(jí)聯(lián)型[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a) %數(shù)字濾波器響應(yīng)subplot(211)。title(39。)subplot(212)。title(39。)其MATLAB運(yùn)行結(jié)果為：b0 =B = A = 所以由巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計(jì)的數(shù)字高通濾波器的傳遞函數(shù)表達(dá)式為：圖210 基于巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計(jì)的數(shù)字高通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線 模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器若已知模擬低通濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)，則模擬低通濾波器s平面到數(shù)字帶通濾波器的Z平面的變換公式為： (218)頻率變換公式為： (219)其中： (220)式中為下截止頻率，為上截止頻率。clear all。Ws=[*pi,*pi]。As=18。 %計(jì)算巴特沃斯濾波器階次和截至頻率[b,a]=butter(N,wn,39。)。 %數(shù)字濾波器響應(yīng)subplot(211)。title(39。)subplot(212)。title(39。)其MATLAB運(yùn)行結(jié)果為：b0 =B = A = 所以由巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計(jì)的數(shù)字帶通濾波器的傳遞函數(shù)表達(dá)式為：圖211 基于巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計(jì)的數(shù)字帶通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線 模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶阻濾波器若已知模擬低通濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)，則模擬低通濾波器s平面到數(shù)字帶阻濾波器的Z平面的變換公式為： (222)頻率變換公式為： (223)其中： (224)式中為下截止頻率，為上截止頻率。clear all。Ws=[*pi,*pi]。 As=30。 %計(jì)算巴特沃斯濾波器階次和截至頻率[b,a]=butter(N,wn,39。)。 %數(shù)字濾波器響應(yīng)subplot(211)。title(39。)subplot(212)。title(39。)其MATLAB運(yùn)行結(jié)果為：b0 =B = A = 圖212 基于巴特沃斯模擬濾波器設(shè)計(jì)的數(shù)字帶阻濾波器的幅頻響應(yīng)曲線 小結(jié)這一章主要是用MATLAB語(yǔ)言進(jìn)行IIR濾波器的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)。在模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)中，主要討論了三種設(shè)計(jì)方法；在模擬數(shù)字濾波器變換中，討論了兩種變換方法，即脈沖響應(yīng)不變法和雙線性Z變換法；在頻帶變換的實(shí)現(xiàn)中，主要以巴特沃斯濾波器為例并結(jié)合MATLAB信號(hào)處理工具箱中提供的幾個(gè)相關(guān)函數(shù)來(lái)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)。第3章 FIR濾波器設(shè)計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn) IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法是利用模擬濾波器成熟的理論及設(shè)計(jì)圖表進(jìn)行的，因而保留了一些典型模擬濾波