【正文】 代中期，開始形成關(guān)于數(shù)字濾波器的一套完整的正規(guī)理論。70年代后，科學技術(shù)蓬勃發(fā)展，數(shù)字信號處理開始與大規(guī)模和超大規(guī)模集成電路技術(shù)、微處理技術(shù)等新工藝新技 術(shù)結(jié)合起來，并引進計算機輔助設(shè)計方法，大大豐富了數(shù)字濾波器的分析與設(shè)計，各種新的數(shù)字信號處理系統(tǒng)，也都能用專用數(shù)字硬件實時加以實現(xiàn)。 濾波器原理濾波器，顧名思義，其作用是對輸入信號起到濾波的作用。因此，濾波器的形狀不同，其濾波后的信號結(jié)果也不一樣。當用硬件實現(xiàn)一個DF時，所需元件是延遲器、乘法器和加法器；而利用MATLAB軟件時，它僅需線性卷積程序便可實現(xiàn)。因此DF比AF容易實現(xiàn)，且更容易獲得理想的濾波性能。 數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述數(shù)字濾波器從功能上分類：可以分為低通濾波器(LP，Low Pass)、高通濾波器(HP，High Pass)、帶通濾波器(BP，Band Pass)、帶阻濾波器(BS，Band Stop)。因此，數(shù)字濾波器可以按照單位取樣響應（或稱脈沖響應，沖激響應等）h(n)的性質(zhì)分為兩類：有限脈沖響應(Finite Impulse Response)數(shù)字濾波器，簡稱FIR數(shù)字濾波器，它的h(n)序列長度是有限的；無限脈沖響應(Infinite Impulse Response)數(shù)字濾波器，簡稱IIR數(shù)字濾波器，它的h(n)序列長度是無限的，即當時，h(n)仍有效。設(shè)計一個穩(wěn)定的、因果的數(shù)學模型H(z)來逼近所要求的技術(shù)指標，并用有限精度的運算實現(xiàn)所設(shè)計的系統(tǒng)。設(shè)計專用的數(shù)字硬件來實現(xiàn)這個數(shù)字模型，或者通過電子計算機運行程序軟件予以實現(xiàn)。IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計方法很不相同：IIR濾波器設(shè)計方法有兩類，經(jīng)常用到的一類設(shè)計方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法進行的。這一類方法是基于模擬濾波器的設(shè)計方法相對比較成熟，它不僅有完整的設(shè)計公式，也有完整的圖標供查閱，更可以直接調(diào)用MATLAB中的對應的函數(shù)進行設(shè)計。FIR濾波器不能采用由模擬濾波器設(shè)計進行轉(zhuǎn)換的方法，而經(jīng)常使用的是窗函數(shù)法和頻率采樣法。 MATLAB軟件簡介MATLAB是英文Matrix Laboratory（矩陣實驗室）的縮寫，它是由美國MathWorks公司推出的用于數(shù)值計算和圖形處理的數(shù)學計算環(huán)境。它優(yōu)秀的數(shù)值計算能力和卓越的數(shù)據(jù)可視化能力使其在同類軟件中脫穎而出。它的第一版（）發(fā)行于1984年，經(jīng)過多年的改進，版本不斷升級，其所包含的工具箱功能也越來越豐富，應用越廣泛。其語法規(guī)則與結(jié)構(gòu)化高級編程語言(如C語言等)大同小異，而且使用更為簡便。計算功能強大：MATLAB擁有龐大的數(shù)學、統(tǒng)計及工程函數(shù)，可使用戶立刻實現(xiàn)所需的強大數(shù)學計算功能。此外，MATLAB還有數(shù)十個工具箱，可解決應用中的大多數(shù)數(shù)學、工程問題?？梢暬ぞ甙ㄇ驿秩尽⒕€框圖、偽彩圖、光源、圖像顯示、動畫等。開放的系統(tǒng)設(shè)計使用戶能夠檢查算法的正確性，修改已存在的函數(shù)，或者加入自己的新部件。工具箱也和MATLAB一樣是完全用戶化的，可擴展性強。MATLAB數(shù)字信號處理工具箱和濾波器設(shè)計工具箱專門應用于信號處理領(lǐng)域。只要以正確的指標參數(shù)調(diào)用相應的濾波器設(shè)計程序或工具箱函數(shù)，便可以得到正確的設(shè)計結(jié)果，使用非常方便。在具體的設(shè)計過程中，將充分發(fā)揮MATLAB軟件在數(shù)值計算、圖像處理中的優(yōu)勢，并充分利用其強大的濾波器設(shè)計工具箱(Filter Design Toolbox)及圖像用戶界面工具輔助設(shè)計分析。于是，設(shè)計IIR數(shù)字濾波器可以先設(shè)計模擬低通濾波器G(s)，然后按一定規(guī)則將G(s)進行濾波器變換而得到數(shù)字域的IIR低通濾波器H(z)，最后通過頻帶變換轉(zhuǎn)換成其它頻帶濾波器。下面，將以此進行分別討論。模擬濾波器設(shè)計已經(jīng)有了一套相當成熟的方法，它不但有完整的設(shè)計公式，而且還有較為完整的圖表可供查詢，因此充分利用這些已有的資源將會給數(shù)字濾波器的設(shè)計帶來很大方便。實際中，有三種廣泛應用的濾波器，即巴特沃斯低通濾波器、切比雪夫低通濾波器，橢圓低通濾波器，下面，將分別予以介紹。在通帶中是理想的單位響應，在阻帶中響應為0。巴特沃斯濾波器除了具有平滑單調(diào)遞減的頻率響應的優(yōu)點之外，其過渡帶的陡峭程度正比于濾波器的階數(shù)。巴特沃斯(Butterworth)低通濾波器是將巴特沃斯函數(shù)作為濾波器的傳遞函數(shù)，它的平方幅度函數(shù)為： (21)式中,為濾波器頻率，為3dB截止頻率，N表示濾波器的階次。 切比雪夫低通濾波器設(shè)計巴特沃斯濾波器的頻率特性在通帶和阻帶內(nèi)部都是隨頻率單調(diào)變化的，如果在通帶的邊緣能夠滿足指標，那么在通帶的內(nèi)部會超過設(shè)計的指標要求，造成濾波器的階次N比較高。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達到。它有兩種形式：振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的、在阻帶內(nèi)是單調(diào)的切比雪夫I型濾波器；振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的、在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫II型濾波器。切比雪夫I型(ChebyshevI)濾波器平方幅度響應函數(shù)為： (22)其中是一個小于1的正數(shù)，它與通帶波紋有關(guān)，越大，波紋也越大；是的切比雪夫多項式，它的定義為： (23)而切比雪夫II型(ChebyshevII)濾波器平方幅度響應函數(shù)為： (24)其中是一個小于1的正數(shù)，表示波紋變化情況；為截止頻率；N為濾波器的階次，也是的階次。而通過MATLAB信號處理工具箱中的函數(shù)cheb1ap及cheb2ap，可以實現(xiàn)切比雪夫濾波器設(shè)計，其調(diào)用格式為：[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp) [z,p,k]=cheb2ap(N,Rs)其中，z表示零點,p表示極點,k表示增益，N表示階次，Rp為通帶波紋(dB), Rs為阻帶波紋(dB)。因此過渡帶的特性有所提高，但是并不理想。1931年，考爾提出了采樣有限零點設(shè)計的濾波器，因為這種方法在確定零點位置時與橢圓函數(shù)的許多特性有關(guān)，所以稱之為橢圓低通濾波器。濾波器階次N等于通帶和阻帶內(nèi)最大點和最小點的和。 模擬數(shù)字濾波器變換及其MATLAB實現(xiàn)在設(shè)計了模擬低通濾波器后，就可以把它們變成數(shù)字濾波器了。其中，最重要的有兩種：脈沖響應不變法（保持脈沖響應不變，又叫沖激響應不變法）和雙線性Z變換法（保持系統(tǒng)函數(shù)不變）。設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)的模擬濾波器的單位脈沖響應為g(t),并將脈沖響應g(t)進行等間隔采樣，使得數(shù)字濾波器的單位抽樣響應h(n)剛好等于g(t)的采樣值，即： (26)其中的為采樣周期。采樣信號的拉式變換與相應的采樣序列Z變換的映射關(guān)系為： (27)所以系統(tǒng)函數(shù)G(s)和H(z)的關(guān)系為： (28)式(28)的物理意義為首先將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)G(s)作周期的延拓，在經(jīng)過式(27)的映射變換，映射到Z平面上，從而得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。經(jīng)過式(27)的映射，s平面的左半平面映射為Z平面的單位圓內(nèi)，因此，一個因果的和穩(wěn)定的模擬濾波器映射成因果的和穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。其函數(shù)為[b,a]=impinvar(c,d,T)，其中，b表示數(shù)字濾波器自變量為的分子多項式，a表示數(shù)字濾波器自變量為的分母多項式，c表示模擬濾波器自變量為s的分子多項式,d表示模擬濾波器自變量為s的分母多項式，T表示采樣變換參數(shù)。另外一個優(yōu)點是數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，時域逼近好。所以，脈沖響應不變法適合低通、帶通濾波器設(shè)計，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計。為克服這一現(xiàn)象，人們找到了另一種映射關(guān)系： (211)此關(guān)系稱為雙線性Z變換法。在MATLAB中，雙線性Z變換可通過bilinear函數(shù)實現(xiàn),其調(diào)用格式為：[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)，其中B,A為模擬濾波器的傳遞函數(shù)G(s)的分子分母多項式系數(shù)分量，而Bz,Az為數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(Z)的分子分母多項式的系數(shù)分量。IIR濾波器的設(shè)計步驟分為三步，即模擬低通濾波器設(shè)計，模擬數(shù)字濾波器變換，濾波器的頻帶變換。整個設(shè)計過程都是在理論分析的基礎(chǔ)上，用MATLAB語言來進行編程設(shè)計，并最終通過具體濾波器指標來加以實現(xiàn)的。為得到線性相位特性，必須增加相位校正網(wǎng)絡(luò)，使濾波器設(shè)計變得復雜。設(shè)FIR濾波器單位脈沖響應h(n)長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為H(z)是的(N1)次多項式，它在z平面上有(N1)個零點，原點z=0是(N1)階重極點。穩(wěn)定和線性相位特性是FIR濾波器突出的特點。FIR濾波器的設(shè)計任務是選擇有限長度的h(n)，使傳遞函數(shù)滿足技術(shù)要求。的線性相位是指是的線性函數(shù)，即，為常數(shù) (33)如果滿足下式：，是起始相位 (34)以上兩種情況都滿足群延遲是一個常數(shù)，即一般稱滿足(33)為第一類線性相位；滿足(34)為第二類線性相位。第二類線性相位特性是h(n)是實序列且對(N1)/2奇對稱，即h(n)=h(Nn1)。因此，對于兩類線性相位，下面將分四種情況討論其幅度特性特點。(2) h(n)=h(Nn1)，N=偶數(shù)，其幅度特性的特點是對ω=π奇對稱的，且在ω=π處有一零點，使，這樣，對于高通和帶阻不適合采用這種情況。(4) h(n)=h(Nn1)，N=偶數(shù)，其幅度特性在ω=0，2π處為零，即在z=1處有一個零點，且對ω=0，2π奇對稱，對ω=π呈偶對稱。這樣，線性相位FIR濾波器零點分布特點是零點必須是互為倒數(shù)的共軛對，確定其中一個，另外三個零點也就確定了。因此必須對各種窗函數(shù)有相應的了解。它的定義為: (36)其頻率響應為： (37)主瓣寬度為4π/N，第一副瓣比主瓣低13dB。三角形窗(Triangular window) (38)其頻率響應為： (39)其主瓣寬度為8π/N，第一副瓣比主瓣低26dB。漢寧窗(Hanning window)漢寧窗函數(shù)又稱升余弦函數(shù)，其時域表達式為： (310)其頻率響應為： (311)其主瓣寬度為8π/N，能量更集中在主瓣之中。海明窗(Hamming window)海明窗函數(shù)是一種改進的升余弦函數(shù)，其時域表達式為： (312)其幅度頻率特性為： (313)其主瓣寬度為8π/N，能量更集中在主瓣之中，%，第一旁瓣的峰值比主瓣小40dB。布拉克曼(Blackman window) (314)布拉克曼的主瓣寬度是矩形窗主瓣寬度的三倍，為12π/N。在MATLAB中，實現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為blackman，其調(diào)用格式為w=blackman(N)。如果找到的窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，則相應的旁瓣幅度就能減小，而旁瓣的減小可使通帶阻帶波動減小，加大阻帶衰減，但這樣總是以加寬過渡帶為代價的。在MATLAB中，各個窗函數(shù)的調(diào)用函數(shù)均已給出()且用法比較簡單，所以為了更好的比較、區(qū)別、分析及選擇各個窗函數(shù)，特對各函數(shù)的幅度特性進行比較?？梢钥闯觯S著旁瓣的減小，主瓣寬度相應增加了。窗函數(shù)法又稱為傅立葉級數(shù)法，它是在時域進行的，因而必須由理想濾波器的頻率響應推導出其單位脈沖響應，再設(shè)計一個FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應去逼近。求得理想濾波器的單位脈沖響應后，可得到該離散濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)： (316)但該為無限長序列，因此是物理不可實現(xiàn)的。從而有： (318)式中N表示窗口長度，這樣H(z)就是物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)了。 海明窗設(shè)計數(shù)字低通濾波器設(shè)計一個FIR低通濾波器，要求Wp=,Ws=,Ap=,As=50dBclear all。Ws=*pi。 %過渡帶寬度N=ceil(*pi/tr_width)+1 %濾波器長度n=0:1:N1。 %理想低通濾波器的截至頻率 hd=ideal_lp(Wc,N)。 %海明窗h=hd.*w_ham。 %計算實際濾波器的幅度響應delta_w=2*pi/1000。理想單位脈沖響應hd(n)39。海明窗w(n)39。實際單位脈沖響應h(n)39。幅度響應(dB)39。n=0:1:N1。hd=sin (Wc*m)./(pi*m)。whole39。H=(H(1:1:501))。mag=abs(H)。pha=angle(H)。 Ws=*pi。 %過渡帶寬度N=ceil (*pi/tr_width) +1 %濾波器長度n=0:1:N1。 %理想高通濾波器的截至頻率 hd=ideal_hp(Wc,N)。 %漢寧窗h=hd.*w_han。 %計算實際濾波器的幅度響應delta_w=2*pi/1000。理想單位脈沖響應hd(n)39。漢寧窗w(n)39。實際單位脈沖響應h(n)39。FIR數(shù)字高通濾波器幅度響應(dB)39。n=0:1:N1。hd=(sin (pi*m)sin(Wc*m)