【正文】 濾除信號中的無用成分。每一種又有模擬濾 波器（ AF）和數(shù)字濾波器（ DF） 之分 。如果單位取樣響應是時寬無限的 h(n)， ???nn0 則稱之為 IIR 系統(tǒng)；而如果單位取樣響應是時寬有限的h(n)， 21 nnn ?? ，則稱之為 FIR 系統(tǒng)。 中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 7 頁 共 43 頁 2） 帶通帶阻的容限 濾波器中帶通帶阻的容限 sp ??與 的具體技術指標，往往允許的最大衰減 pA 及阻帶應達到的最小衰減 sA 給出。例如當 )(sjeH ?在 p? 處降為 時， pA = 3 dB，在 s? 處隆到 時， sA = 4 dB。根據(jù)不同的要求可以用 IIR 系統(tǒng)函數(shù)，也可以用 FIR 系統(tǒng)函數(shù)去逼近。這里包括結構結構的選擇、字長選擇等。模擬濾波器設計已經(jīng)有了一套相當成熟的方法，它不但有完整的設計公式，而且還有較為完整的圖表供查詢，因此充分利用這些已有的資源將會給數(shù)字濾波器的設計帶來很大方便。 FIR 濾波器 FIR 數(shù)字濾波器 具有以下 優(yōu)點 ： （ 1） 可以在設計任意幅度頻率特性濾波器的同時，保證精確、嚴格的線性相位特性； （ 2） FIR 數(shù)字濾波器的單位沖激響應 h(n)是有限長的，可以用一個因果系統(tǒng)來實現(xiàn)，因而 FIR 數(shù)字濾波器可以做成既是因果的又是穩(wěn)定的系統(tǒng)； 中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 8 頁 共 43 頁 （ 3） 允許設計多通帶（或多阻帶）濾波器。 FIR 數(shù)字濾波器的特性 FIR 數(shù)字濾波器的沖激響應 h(n)的 Z 變換為： )1(110 )1()1()0()()(?????? ????????? ? NNnn zNhzhhznhzH (33) 濾波器最重要 的兩個特性為相位特性和幅度特性。因為 FIR 數(shù)字濾波器的單位沖激響應是有限長的，所以它永遠都穩(wěn)定的。 令 ?jez? ,就可以由 H(z)得到 FIR 數(shù)字濾波器的頻率響應： )(10 )()()()(???? ?? jNnnjezj eHenhzHeH j ??? ????? (34) 式中 )(?H 是 )( ?jeH 的幅頻特性， )(?? 是 )( ?jeH 的相頻特性，即： ????????? ))(R e ( ))(I m (a r c ta n)( ???? jjeH eH (35) 當要求濾波器具有嚴格 的線性相位，或者說具有相伴不失真時，應有： ???? ??)( (36) 即： ????????? 1010)c o s ()()s in ()(a r c ta n NnNnnnhnnh???? (37) 也即： 中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 9 頁 共 43 頁 ???????1010)c o s ()()s in ()()ta n ( NnNnnnhnnh???? (38) 將式（ 38）展開可得： ? ? 0)c os ()s in ()s in ()c os ()(10 ?????Nn nnnh ?????? (39) 式（ 39）的左邊具有傅里葉級數(shù)的形式。此時有： ?? ?? ?????????????? ????????? ????? ??? 1021212110 2)()()( NnNnNnNNnn zznhzznhzH (312) 因此： ????????? ?? ?????? ??? 102 1 )2 1(c o s)()( NnNjj nNnheeH ??? (313) 根據(jù)式（ 34），有： ??? ?????? ?????? ??? 10 2 1c o s)()( Nn nNnhH ?? (314a) ????? ???????? ??? 2 1)( N (314b) 若 h(n)呈奇對稱，即： )1()( nNhnh ???? (310b) 時，其對稱中心也在 2 1??N? 處。 式（ 310）和（ 39）是 FIR 數(shù)字濾波器具有線性相位的充要條件。具有線性相位的FIR 數(shù)字濾波器既有恒定的群延遲，又有恒定的相延遲。但是 H(? ) = 0,故高通濾波器不能用這種方式中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 11 頁 共 43 頁 實現(xiàn)。但是當 ??? 2,0? 時， H(? ) = 0 ，所以低通、高通濾波器不能采用這種形式。對 ??? 呈偶對稱，但是對 ?? 2,0? 時， H(? ) = 0 ，所以低通濾波器不能采用這種形式。 N 是窗函數(shù)的長度，返回值 w 是一個中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 12 頁 共 43 頁 N階的向量，它的元素由窗函數(shù)的值組成。 MATLAB 中的調(diào)用方法： w = triang(N)。 MATLAB 中的調(diào)用方法： w = hann(N)。 MATLAB 中的調(diào)用方法： w = hamming(N)。它的時域形式可以表示為： ?????? ????????? ???? 1 )1(4c )1(2c )( N kN kkw ?? (335) 其中 k = 1 , 2 , . . . , N。它的最大旁瓣值比主瓣值低 57dB。 基于窗函數(shù)的 FIR 數(shù)字濾波器設計 FIR 數(shù)字濾波器設計最簡單的方法是窗函數(shù)法，通常也稱之為傅里葉級數(shù)法。 假設理想濾波器的頻率響應 )( ?jd eH 的表示為： 中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 14 頁 共 43 頁 ????? ?? n njdjd enheH ?? )()( (337) 由于濾波器的頻率響應與單位沖激響應序列是傅里葉變換對，據(jù)此： ??? ?? ?? ?? deeHnh jnjdd )(21)( (338) 求得理想濾波器的單位沖激 響應 )(nhd 后，可得到該離散濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù) )(zHd ： ????? ?? n ndd znhzH )()( (339) 注意，該 )(nhd 為無限長序列，因此 )(zHd 是物理不可實現(xiàn)。 由線性相位 FIR 濾波器的充要條件可知，為了獲得線性相位 FIR 數(shù)字濾波器的沖激響應 h(n)，那么序列 h(n)應有 21??N? 的延遲。 數(shù)字低通濾波器的窗函數(shù)設計 假設理想低通數(shù)字濾波器的頻率響應 )( ?jd eH 如圖示，其幅頻特性為1)( ??jd eH ，那么該濾波器的： 中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 15 頁 共 43 頁 ?????????? ?????????ccjjd eeH ,0 ,1)( (342) 其中 c? 表示截止頻率 (rad)， ? 表示 采樣延遲。 為了從 )(nhd 得到一個因果線性相位的 FIR 濾波器，必須利用有限長度 N 的窗函數(shù))(nwN 對 )(nhd 進行截取，截取后的沖激響應函數(shù) )(nh 可表示為： ??? ??? 其他,0 1,...,1,0),()()( Nnnwnhnh Nd (344) 此時 h(n)為關于21??N?偶對稱的有限因果序列。 而 h(n)表示的濾波器的頻率特性為： ?? ?? ?? ???? ?? deWeHeH jjdj )()(2 1)( )( (345) )( ?jeH 是否能夠很好地逼近 )( ?jd eH 取決于窗函數(shù)的頻譜特性 )( ?jeW 若將理想濾波器的頻率響應寫成： ?? ? )2 1()()( ??? Njdjd eHeH (346) ? ?2 0 ?? c?? ?2? 1 )(?jeH ? 中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 16 頁 共 43 頁 其中幅度頻率特性： ???????????????ccdH ,0,1)( (347) 此時， h(n) 濾波器的頻率特性可表述為； ??????????????????????????????????dWHedeWeeHeHRdNjNjNjjdj)()(2 1)()(2 1)()2 1()2 1)(()2 1( (348) 由此可以得到所 設計的濾波器的幅度頻率特性為： ?? ??? ??? ?????? dWHeHH Rdj )()(2 1)()( (349) 可見，對實際 FIR 濾波器 )(?H 有影響的只是窗函數(shù)的幅度頻率特性 )(?RW 。復卷積給 )(?H 帶來過沖和波動，所以加窗函數(shù)后，對濾波器的理想特性的影響有以下幾點： （ 1） )(nHd 在截止頻率的間斷點變那了連續(xù)的曲線，使得 )(?H 出現(xiàn)了一個過渡帶，它的寬度等于窗函數(shù)的主瓣寬度。 （ 2） 由于窗函數(shù)旁瓣的影響，使得濾波器的幅度頻率特性出現(xiàn)了波動，波動的幅度取決于旁瓣打對幅度。而波動的多少，取決于旁瓣的多少。即增加截取函數(shù)的長度 N 只能相應的減小過渡帶，而不能改變?yōu)V波器的波動程度。 通常上述的幾點難以同時滿足。在保證主瓣的寬度達到一定要求的條件下，適當犧牲主瓣的寬度來換取旁瓣的波動減小。 數(shù)字高 通濾波器的窗函數(shù)設計 數(shù)字高通濾波器的設計分為兩種情況討論，即無相移和相移為 2?? 兩種情況 （ 1） 無相移時的數(shù)字高通 FIR 濾波器的設計 幅頻特性為 1)( ??jd eH，且無相移的理想高通濾波器的頻率響應 )( ?jd eH 表達式為： ?????????? ?ccjjd eeH ?? ?????? ,0 ,1)( (350) 式中 c? 表示截止頻率 (rad)， ? 表示采樣延遲。若利用長度為 N 的窗函數(shù) )(nwN 對)(nhd 進行截取，則截取后的序列 h(n)的表達式為： 中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 18 頁 共 43 頁 ??? ??? 其他,0 1,...,1,0),()()( Nnnwnhnh Nd ，它關于 21??N? 偶對稱。 （ 2） 存在2??相移時的數(shù)字高通濾波器的設計 幅頻特性為 1)( ??jd eH，且相移為2??的理想高通濾波器的頻率響應 )( ?jd eH 表達式為： ???????????????????????ccjcjjd eeeH???????????????,0,1,1)()2()2( (352) 式中 c? 表示截止頻率 (rad)， ? 表示采樣延遲。若利用長度為 N 的窗函數(shù) )(nwN 對)(nhd 進行截取，則截取后的序列 h(n)的表達式為 ??? ??? 其他,0 1,...,1,0),()()( Nnnwnhnh Nd ，它關于 21??N? 奇對稱。 數(shù)字帶通濾波器的窗函數(shù)設計 數(shù)字帶通濾波器的設計也分為兩種情況討論，即無相移和相移為 2?? 兩種情況 （ 1） 無相移時的數(shù)字帶通 FIR 濾波器的設計 幅頻特性為 1)( ??jd eH ，且無相移的理想帶通濾波器的頻率響應 )( ?jd eH 表達式為： 中北大學 信息商務學院 2020 屆 本科 畢業(yè)論文 第 19 頁 共 43 頁 ????? ?? ???? ?chclchcljjd eeH ??