【正文】 通帶紋波As=round(max(db(Ws/delta_w+1:1:501))) %實(shí)際阻帶紋波subplot(221)stem(n,hd) %火柴棍圖title(39。 %截取得到實(shí)際的單位脈沖響應(yīng)[db,mag,pha,w]=freqz_m4(h,[1])。 %理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)w_ham=(hamming(N))。Wc=(Ws+Wp)/2。tr_width=WsWp。Wp=*pi。由于這種方法是用一定寬度窗函數(shù)截取無限脈沖響應(yīng)序列，獲得有限長的脈沖響應(yīng)序列，從而得到FIR濾波器，故稱為FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法。求了使系統(tǒng)變?yōu)槲锢砜蓪?shí)現(xiàn)的，且使實(shí)際的FIR濾波器頻率響應(yīng)盡可能逼近理想濾波器的頻率響應(yīng)，采用窗函數(shù)將無限脈沖響應(yīng)截取一段h(n)來近似表示，可得： (317)式中ω(n)表示窗函數(shù)。假設(shè)理想濾波器的頻率響應(yīng)的表示為： (315)由于理想濾波器的頻率響應(yīng)與單位脈沖響應(yīng)序列是傅立葉變換對(duì)，所以根據(jù)傅立葉反變換得到。圖31 常用窗函數(shù)時(shí)域幅度曲線比較 (a)矩形窗 (b)三角窗 (c)漢寧窗(d)海明窗 (e)布拉克曼窗圖32 常用窗函數(shù)頻域幅度曲線比較表31各種窗函數(shù)的性能比較窗函數(shù)第一旁瓣相對(duì)于主瓣衰減/dB主瓣寬阻帶最小衰減/dB 矩形窗134π/N21三角窗258π/N25漢寧窗318π/N44海明窗418π/N53布拉克曼窗5712π/N74 基于窗函數(shù)的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的基本方法有窗函數(shù)法，頻率抽樣法，等波紋切比雪夫逼近法等，在此主要討論基于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器及其MATLAB實(shí)現(xiàn)的問題。圖31給出了以上五種窗函數(shù)的時(shí)域幅度波形，圖32給出了當(dāng)N=64時(shí)五種窗函數(shù)的頻域幅度譜。所以要根據(jù)實(shí)際需要和技術(shù)要求來選取窗函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。 各種窗函數(shù)的實(shí)現(xiàn)與比較在FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，要尋找適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)來進(jìn)行處理，調(diào)整窗口長度N可以有效地控制過渡帶寬度；調(diào)整窗函數(shù)形狀可使帶內(nèi)波動(dòng)減少以及加大阻帶衰減。它的最大旁瓣比主瓣值低57dB。在MATLAB中，實(shí)現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為hamming，其調(diào)用格式為w=hamming(N)。在MATLAB中，實(shí)現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為hann，其調(diào)用格式為w=hann(N)。在MATLAB中，實(shí)現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為triang，其調(diào)用格式為w=triang(N)。在MATLAB中，實(shí)現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為rectwin，其調(diào)用格式為w=rectwin (N)，其中N是窗函數(shù)的長度，返回值w是一個(gè)N階的向量，它由窗函數(shù)的值組成。 常用窗函數(shù)介紹矩形窗(Rectangular window)這是一種最簡單的窗函數(shù)，但從阻帶衰減的角度來看，其性能最差。 常用窗函數(shù)及MATLAB實(shí)現(xiàn)窗函數(shù)在設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器中有很重要的作用，正確的選擇窗函數(shù)可以提高所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的性能，或者在滿足設(shè)計(jì)要求的情況下，減小FIR數(shù)字濾波器的階數(shù)。 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn)第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)綜合起來表示為： (35)上式表明，如是H(z)的零點(diǎn)，其倒數(shù)也必然是其零點(diǎn)；又因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，H(z)的零點(diǎn)必定共軛成對(duì)，因此和也是其零點(diǎn)。(3) h(n)=h(Nn1)，N=奇數(shù)，其幅度特性的特點(diǎn)在ω=0，π，2π處為零，即在z=1處是零點(diǎn)，且對(duì)ω=0，π，2π呈奇對(duì)稱形式。(1) h(n)=h(Nn1)，N=奇數(shù)，其幅度特性的特點(diǎn)是對(duì)ω=0，π，2π是偶對(duì)稱的。 線性相位FIR濾波器幅度特性的特點(diǎn)由于h(n)的長度N取奇數(shù)還是偶數(shù)，對(duì)的特性有影響。第一類線性相位特性是h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N1)/2偶對(duì)稱，即h(n)=h(Nn1)。 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) 線性相位條件對(duì)于長度為N的h(n),傳輸函數(shù)為 (31) (32)式中，稱為幅度特性，稱為相位特性。FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法與IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有很大的不同。因此，H(z)永遠(yuǎn)穩(wěn)定。而FIR濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)要求的同時(shí)，很容易做到有嚴(yán)格的線性相位特性。第3章 FIR濾波器設(shè)計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn) IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法是利用模擬濾波器成熟的理論及設(shè)計(jì)圖表進(jìn)行的，因而保留了一些典型模擬濾波器優(yōu)良的幅度特性，但設(shè)計(jì)中只考慮到了幅度特性，沒考慮到相位特性，所設(shè)計(jì)的濾波器相位特性一般是非線性的。在模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)中，主要討論了三種設(shè)計(jì)方法；在模擬數(shù)字濾波器變換中，討論了兩種變換方法，即脈沖響應(yīng)不變法和雙線性Z變換法。 小結(jié)這一章主要是用MATLAB語言進(jìn)行IIR濾波器的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)。雙線性Z變換法的基本思路是：首先將整個(gè)s平面壓縮到s1平面的一條帶寬為2π/T（叢π/T到π/T）的橫帶里，然后通過標(biāo)準(zhǔn)的變化關(guān)系將橫帶變換成整個(gè)Z平面上去，這樣就得到s平面與Z平面間的一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，整個(gè)過程如圖23所示： jΩ jΩ1 jIm(Z) π/T 0 б 0 б 0 1 бπ/T s平面 s1平面 Z平面圖23 雙線性Z變換法的映射關(guān)系由式(211)得 (212)及 (213) (214)式(211)及式(212)給出了s和z之間的映射關(guān)系，而式(213) 和式(214)給出了Ω和ω之間的映射關(guān)系，但這是一種非映射關(guān)系，雙線性Z變換法正是利用了正切函數(shù)的非線性特點(diǎn)，把整個(gè)jΩ軸壓縮到了單位圓的一周上。 雙線性Z變換法利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，由于ω=ΩT的頻率關(guān)系是根據(jù)推導(dǎo)的，所以是軸每隔2π/T便映射到單位圓上一周，引起了頻域混疊。但其也具有很大的缺點(diǎn)，若抽樣頻率不高或其它原因?qū)a(chǎn)生混疊失真，不能重現(xiàn)原模擬濾波器頻率響應(yīng)?？偨Y(jié)以上，脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)是頻率坐標(biāo)變換是線性的，即ω=ΩT，如不考慮頻率混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器會(huì)很好的重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率響應(yīng)。經(jīng)過以上分析，按照脈沖響應(yīng)不變法，通過模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)，可直接求得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(Z),其設(shè)計(jì)具體步驟歸納如下：(1)利用ω=ΩT（可由關(guān)系式推出），將數(shù)字濾波器指標(biāo)，轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標(biāo)，(2)根據(jù)指標(biāo)，來設(shè)計(jì)模擬濾波器G(s)(3)利用部分分式展開法，把G(s)展成 (29)(4)最后把模擬極點(diǎn)轉(zhuǎn)換為數(shù)字極點(diǎn)，得到數(shù)字濾波器： (210)根據(jù)上述理論，將舉例在MATLAB環(huán)境下用函數(shù)實(shí)現(xiàn)脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一數(shù)字低通濾波器。且模擬和數(shù)字頻率滿足下列關(guān)系：ω=ΩT。G(s)是模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，又令H(z)是數(shù)字濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì)原理是使數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)序列h(n)，模仿模擬濾波器的脈沖響應(yīng)g(t)。這些變換均是復(fù)值映射，許多文獻(xiàn)對(duì)此都有研究，根據(jù)數(shù)字濾波器所保持的模擬濾波器的不同特性，研究出不同的變換技術(shù)。MATLAB信號(hào)處理工具箱為低通模擬橢圓濾波器的產(chǎn)生提供了函數(shù)ellipap,其調(diào)用的格式為：[z,p,k]= ellipap (N,Rp,Rs)，其中，z表示零點(diǎn),p表示極點(diǎn),k表示增益，N表示階次,Rp為通帶波紋(dB), Rs為阻帶波紋(dB)。它的平方幅度響應(yīng)函數(shù)為： (25)式中是雅可比橢圓函數(shù)，是與通帶衰減有關(guān)的函數(shù)。它的主要原因在于兩者的系統(tǒng)函數(shù)在截止頻率附近沒有有限個(gè)零點(diǎn)，其零點(diǎn)在無限遠(yuǎn)處。 橢圓低通濾波器設(shè)計(jì)切比雪夫I型濾波器在通帶內(nèi)成等波紋振蕩，在阻帶內(nèi)卻仍是單調(diào)下降的，切比雪夫II型在阻帶內(nèi)是等波紋的，在通帶內(nèi)卻是單調(diào)下降的。 N為奇數(shù) N為偶數(shù) 圖21 理想切比雪夫I型濾波器的幅頻特性 N為奇數(shù) N為偶數(shù) 圖22 理想切比雪夫II型濾波器的幅頻特性圖21和圖22分別畫出了理想時(shí)的切比雪夫I型與切比雪夫II型濾波器階次N為奇數(shù)與偶數(shù)時(shí)的幅頻特性。采用何種形式的切比雪夫?yàn)V波器取決于實(shí)際用途。切比雪夫?yàn)V波器的振幅特性就具有這種等波紋特性。因此，有效地設(shè)計(jì)方法是將指標(biāo)的精確度均勻的分布在整個(gè)通帶內(nèi)，或者均勻分布在整個(gè)阻帶內(nèi)，或者同時(shí)分布在兩者之內(nèi)，這樣就可用階數(shù)較低的系統(tǒng)來滿足要求。MATLAB信號(hào)處理工具箱為低通模擬巴特沃斯濾波器的產(chǎn)生提供了函數(shù)buttap,其調(diào)用的格式為：[z,p,k]=buttap(N)，其中，z表示零點(diǎn),p表示極點(diǎn),k表示增益，N表示階次。高階巴特沃斯濾波器的頻率響應(yīng)近似于理想低通濾波器。在截止頻率處有3dB的衰減。 巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器擁有最平滑的頻率響應(yīng)，在截止頻率以外，頻率響應(yīng)單調(diào)下降。濾波器設(shè)計(jì)最重要的是尋找一個(gè)穩(wěn)定、因果的系統(tǒng)函數(shù)去逼近濾波器的技術(shù)指標(biāo)，因此模擬濾波器的設(shè)計(jì)十分重要。 模擬濾波器設(shè)計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器技術(shù)設(shè)計(jì)最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。本章按按此思路將IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)分為三部分：設(shè)計(jì)模擬濾波器；進(jìn)行濾波器轉(zhuǎn)換，得到數(shù)字濾波器；最后再簡單分析數(shù)字濾波器的頻帶轉(zhuǎn)換問題。第2章 IIR濾波器設(shè)計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器具有無限持續(xù)時(shí)間脈沖響應(yīng)，而所有的模擬濾波器一般都具有無限長的脈沖響應(yīng)，因此它與模擬濾波器相匹配。接下來的兩章我們將分別對(duì)IIR數(shù)字濾波器和FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)進(jìn)行分析討論。工具箱提供了豐富而簡便的設(shè)計(jì)，使原來繁瑣的程序設(shè)計(jì)簡化成函數(shù)的調(diào)用。將某個(gè)或幾個(gè)工具箱與MATLAB聯(lián)合使用，可以得到一個(gè)功能強(qiáng)大的計(jì)算組合包，滿足用戶的特殊要求。特殊應(yīng)用工具箱：MATLAB的工具箱加強(qiáng)了對(duì)工程及科學(xué)中特殊應(yīng)用的支持。開放性、可擴(kuò)展性強(qiáng)：M文件是可見的MATLAB程序，所以用戶可以查看源代碼。先進(jìn)的可視化工具：MATLAB提供功能強(qiáng)大的、交互式的二維和三維繪圖功能，可使用戶創(chuàng)建富有表現(xiàn)力的彩色圖形。由各領(lǐng)域的專家學(xué)者們開發(fā)的數(shù)值計(jì)算程序，使用了安全、成熟、可靠的算法，從而保證了最快的運(yùn)算速度和可靠的結(jié)果。用MATLAB編程寫程序猶如在演算紙上排列出公式與求解問題，所以被稱為演算紙式科學(xué)算法語言。MATLAB語言之所以能如此迅速的普及，顯示出如此旺盛的生命力，是由于它有著不同于其他語言的特點(diǎn)，歸納如下：簡單易學(xué)：MATLAB不僅是一個(gè)開發(fā)軟件，也是一門編程語言。MATLAB系統(tǒng)最初由Cleve Moler用FORTRAN語言設(shè)計(jì)，現(xiàn)在的MATLAB程序是由MathWorks公司用C語言開發(fā)的。在MATLAB環(huán)境下，用戶可以集成的進(jìn)行程序設(shè)計(jì)、數(shù)值計(jì)算、圖形繪制、輸入輸出、文件管理等各項(xiàng)操作。也可以借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件采用切比雪夫等波紋逼近法進(jìn)行設(shè)計(jì)。另一種是直接在頻域或者時(shí)域中進(jìn)行設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)時(shí)必須使用計(jì)算機(jī)輔助，直接調(diào)用MATLAB中的程序或函數(shù)即可設(shè)計(jì)。其設(shè)計(jì)思路是：先設(shè)計(jì)模擬濾波器得到傳輸函數(shù)G(s)，然后將G(s)按某種方法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。本文將側(cè)重于軟件實(shí)現(xiàn)。本文將重點(diǎn)介紹此步驟。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)，通常按下述步驟進(jìn)行：根據(jù)不同用途提出數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)、性能要求。從濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類：如同模擬濾波器的性能可由g(t)和G(s)來表征一樣，數(shù)字濾波器的性能完全取決于h(n)和H(z)。數(shù)字濾波器還具有以下優(yōu)點(diǎn)：精度和穩(wěn)定性高；系統(tǒng)函數(shù)容易改變；靈活性高；不存在阻抗匹配問題；便于大規(guī)模集成；可實(shí)現(xiàn)多維濾波。而模擬濾波器（AF，Analog Filter）只能用硬件實(shí)現(xiàn)。若濾波器的輸入、輸出都是離散時(shí)間信號(hào)，那么該濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)也必然是離散的，這種濾波器稱為數(shù)字濾波器（DF，Digital Filter）。對(duì)于圖11所示的LSI系統(tǒng)，其時(shí)域輸入輸出關(guān)系為： (11)h (n) x(n) y(n)