【正文】 0nj e)n(h)e(H ????? ?? 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 相應的單位取樣響應 hd(n)為 ,()0,jacjdceHe?? ??? ? ??? ??? ?????() 1 s i n ( ( ))()2 ( )ccj a j n cdnah n e e dna? ???????????????() h(n)=hd(n)RN(n) () 例如：設計一個 FIR低通 filter,其理想頻響為 ： 為了構造一個長度為 N的線性相位濾波器 ， 只有將hd(n)截取一段 ， 并保證截取的一段對 (N1)/2對稱 。這種吉布斯效應是由于將 hd(n)直接截斷引起的，也稱為 截斷效應 。 設計 FIR濾波器就是 根據(jù)要求找到 N個傅里葉級數(shù)系數(shù) h(n)， n=1, 2, ? , N－ 1，以 N項傅氏級數(shù)去近似代替無限項傅氏級數(shù)，這樣在一些頻率不連續(xù)點附近會引起較大誤差，這種誤差就是截斷效應 。 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 二、窗函數(shù)對頻響的影響 )n(w)n(h)n(h d???? ??? ?? ???? ?? deWeHeH jRjdj )()()( )(2 1????????? jRg)(jjjRe)()/s i n ()/s i n (e ee)()(????????????? ??WNnWeWNNnnNnnjR221211010?)( jwd eH?21?? ? )e(H j )( ?jR eW21)2/s in ()2/s in ()(Rg??? NNW ???? ，第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 0 ( ) ( ) ??j j addH e H e???按照 ()式 ， 理想低通濾波器的幅度特性 Hd(ω)為 1,()0,???? ?????cdcH???? ? ?將 Hd(e jω)和 WR(e jω)代入 ()式 ， 得到： ()gg1( ) ( ) ( )21( ) ( )2? ? ??????????j j a j adRjadRH e H e W e de H W d?? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ??ggg( ) ( )1( ) ( ) ( )2??????j j adRH e H eH H W d?????? ? ? ? ??)(?dH0 c?? c? ??? ?1 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 ,0?? H(0) 為 在 面積的積分 )(?RgW1).當 cc ?? 到－第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 2） 時， 正好與 的一半相重疊。 N2c????? )( ?? ?RgW )(H d ?第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 4） 時，主瓣全部在通帶外，出現(xiàn)負的肩峰。 N2c????? ?)(g ?H)(g ?? ?RWN2c?????(6)當 時， 的右邊旁瓣將進入 的通帶，右邊旁瓣的起伏造成 值圍繞 值而 波動。過渡帶的寬度近似等于 WRg(ω)主瓣寬度 4π/N （ 2） 通帶內(nèi)產(chǎn)生了波紋，最大的峰值在 ωc－ 2π/N處。通帶與阻帶中波紋的情況與窗函數(shù)的幅度譜有關， WRg(ω)旁瓣幅度的大小直接影響 Hg(ω)波紋幅度的大小。這種效應直接影響濾波器的性能。當然，一般濾波器都要求過渡帶愈窄愈好。 我們分析一下 N加大時 WRg(ω)的變化，在主瓣附近， WRg(ω)可近似為 ?該函數(shù)的性質(zhì)是隨 x加大（ N加大），主瓣幅度加高，同時旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相對值不變； ?另一方面， N加大時， WRg(ω)的主瓣和旁瓣寬度變窄，波動的頻率加快。因此加大 N, 并不是減小吉布斯效應的有效方法。 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 以上分析說明： 調(diào)整窗口長度 N只能有效地控制過渡帶的寬度，而要減少帶內(nèi)波動以及增大阻帶衰減，只能從窗函數(shù)的形狀上找解決問題的方法。旁瓣的減小可使通帶、阻帶波動減小，從而加大阻帶衰減。 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 典型窗函數(shù)介紹 1． 矩形窗（ Rectangle Window） wR(n)=RN(n) 其幅度函數(shù)為 下面均以低通為例， Hd(ejω)取理想低通， ωc=π/2，窗函數(shù)長度 N=31。 阻帶最小衰減： ?s=－ 21 dB 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 2． 三角形窗（ Bartlett Window） 其頻譜函數(shù)為 （ ） ??????????????????1)1(21122)1(21012)(BNnNNnNnNnn，?? ? ???? 21j2jB e)2/s i n (4/s i n2)e(?????????NNNW其幅度函數(shù)為： 2Bg2 s i n ( / 4 )()s i n ( / 2 )NWN??????????三角窗的四種波形如圖 . 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 圖 三角窗的四種波形 參數(shù)為 : ? n=－ 25 dB。 ?s=－ 25 dB 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 3． 漢寧（ Hanning）窗 —— 升余弦窗 （ ） H n N2( ) 0 . 5 1 c o s ( )1nw n R nN??? ???????? ?????jH n H n1j2R g R g R g1j2H n g1jj 2R N R g( e ) [ ( ) ]2 π 2 π ( ) 5 e11 ( ) e( e ) [ ( ) ] ( ) e????????? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ????????NNNW F T W nW W WNNWW F T R n W????? ? ???其頻譜函數(shù)為 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 當 N1時， N－ 1≈N H n g R g R g R g2 π 2 π( ) 0 . 5 ( ) 0 . 2 5W W W WNN? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???漢寧窗的幅度函數(shù) WHng(ω)由三部分相加，旁瓣互相對消，使能量更集中在主瓣中。 Bg=8π/N?？梢姽鞔笆且环N高效窗函數(shù)，所以 MATLAB窗函數(shù)設計函數(shù)的默認窗函數(shù)就是哈明窗。 Bg=8π/N。旁瓣峰值幅度進一步增加，其幅度譜主瓣寬度是矩形窗的 3倍。 ΔB=12π/N。凱塞 — 貝塞爾窗是一種參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)，是一種最優(yōu)窗函數(shù)。 ?參數(shù)可以控制窗的形狀。當 ? =，窗函數(shù)接近哈明窗。在設計指標給定時，可以調(diào)整 ?值，使濾波器階數(shù)最低，所以其性能最優(yōu) . 凱塞（ Kaiser）給出的估算 β和濾波器階數(shù) N的公式如下 : 2011( ) 1!2kkIk?? ???????? ?????????第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 式中， Bt=|ωs－ ωp|, 是數(shù)字濾波器過渡帶寬度。另外，凱塞窗函數(shù)沒有獨立控制通帶波紋幅度，實際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波紋幅度。由表可見 , 當 ? = 時 , 各項指標都好于哈明窗。漢明窗與漢明窗的過渡帶稍寬，阻帶衰減性也較好，是較為常用的窗函數(shù)。 ?設計數(shù)字濾波器時，一般希望濾波器既要有很好過渡性又要有很好的阻帶衰減性。 結論： 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 表中過渡帶寬和阻帶最小衰減是用對應的窗函數(shù)設計的FIR數(shù)字濾波器的頻率響應指標。 MATLAB信號處理工具箱提供了 14種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)，下面列出上述 6種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)及其調(diào)用格式： 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 Matlab窗函數(shù) 產(chǎn)生函數(shù) 窗函數(shù) 矩形窗 三角窗 寧漢窗 MATLAB 函數(shù) MATLAB 函數(shù) 窗函數(shù) wn=boxcar(N) wn=triang(N) wn=hanning(N) wn=hamming(N) wn=blackman(N) wn=Kaiser(N,beta) 哈明窗 布萊克曼 凱澤窗 表中列向量 wn中返回長度為 N窗函數(shù) w(n) 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 用窗函數(shù)法設計 FIR (1)根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的指標要求，選擇窗函數(shù)的類型，并估計窗口長度 N。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。待求濾波器的過渡帶寬度 Bt近似等于窗函數(shù)主瓣寬度，且近似與窗口長度 N成反比， N≈A/Bt， A取決于窗口類型。以低通濾波器為例， Hdg(ω)應滿足： j j ( 1 ) / 2d d g( e ) ( ) e??? NHH ?? ?cdgc1 | |()0 | | π???? ???H ??? ??（ ） 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 由圖 ，理想濾波器的截止頻率 ωc近似位于最FIRDF 的過渡帶的中心頻率點，幅度函數(shù)衰減一半（約－ 6 dB）。 解 用理想低通作為逼近濾波器 ， 0 101( 1 ) 52si n( ( 5 ) )( ) , 0 10( 5 )??? ? ??? ? ??dnNnh n nn??? 相應的單位取樣響應 hd(n)為： 1 s i n ( ( ))()2 ( )ccj a j n cdnah n e e dna? ???????????????,()0,jacjdceHe ?? ??? ? ??? ??? ?????第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 用漢寧窗設計： ( ) ( ) ( ), 0 1 02( ) 0 . 5 ( 1 co s )10d H nHnh n h n n nnn???? ? ???用布萊克曼窗設計： 11( ) ( ) ( )22( ) ( 0 . 4 2 0 . 5 c o s 0 . 0 8 c o s ) ( )1 0 1 0d B lBlh n h n nnnn R n?????? ? ? 用矩形窗設計： 10( ) ( ) ( )? dh n h n R n第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 圖 例 第 7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 【 例 】 用窗函數(shù)法設計線性相位高通 FIRDF，要求通帶截止頻率 ωp=π/2 rad，阻帶截止頻率 ωs=π/4 rad，通帶最大衰減 ? p=1 dB，阻帶最小衰減 ? s=40 dB。 窗函數(shù)： 已知阻帶最小衰減 ? s=40 dB，由表（ ）可知