【正文】 g()psjp jjs jHedBHeHedBHe??????衰減指標 αp和 αs的定義 20 lg ( )20 lg ( )psjpjsH e dBH e dB????????20 lg ( )20 lg ( )psjpjsH e dBH e dB????????? 如將 |H(ej0)|歸一化為 1，上兩式則表示成 ? 當幅度衰減到 ?2/2時，所對應頻率 ω＝ ωc， 此時 ?P＝ 3dB， 稱 ωc為 3dB通帶截止頻率 。 ? 用一個有限精度的算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。 數(shù)字濾波器的頻率響應特性 數(shù)字濾波器頻率響應特性的三個參量： (1)幅度平方響應： 濾波器的衰減特性 (2)相位響應 ()() jj deed?? ?????2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )jj j j j j zeH e H e H e H e H e H z H z ?? ? ? ? ??? ?? ? ?*因為 h(n)是實序列 β(ejω) ()( ) ( )j j jH e H e e? ? ???jβ(ejω) (3)群時延 ：濾波器平均延遲，定義為相位函數(shù)對角頻率的導數(shù)的負值 濾波器為線性相位響應時，通帶內群時延特性為常數(shù) IIR數(shù)字濾波器的設計方法 （ 1）零極點位置累試法 濾波器的特性可由其系統(tǒng)函數(shù)的 零極點 確定，幅頻特性在單位圓內極點處出現(xiàn)峰值，在零點處出現(xiàn)谷值。只適用于設計簡單低階（一、二階）的濾波器。 （ 3）計算機輔助設計法 最優(yōu)化的設計方法，先確定一種最佳準則，直接在頻域或時域中進行設計。 如： 巴特沃斯(Butterworth)濾波器 、 切比雪夫 (Chebyshev)濾波器 、 橢圓 (Kllipse)濾波器 、 貝塞爾 (Bessel)濾波器 等 ， 這些濾波器都有嚴格的設計公式 、 現(xiàn)成的曲線和圖表供設計人員使用 。 ? Ωc稱為 3dB截止頻率 ? αp是通帶 Ω(0~Ωp)中的 最大衰減系數(shù) ， αs是阻帶 Ω≥Ωs的 最小衰減系數(shù) 。 N： 濾波器的階數(shù)； ε： 濾波器的參數(shù)； Ωp：濾波器通帶截止頻率； 2221()1a NpHj??????? ?????2221( ) 10 l g 10 l g 1 ( dB )()NpaaHj????????? ? ? ? ???? ????三、巴特沃思低通濾波器 巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)的分析 衰減特性： |Ha(j0)|=1 ? ?21 0 l g 1pa ??? 1pa? ??1pcN????采用歸一化基準頻率 NCNNpNpNNp2212122??????????????????????????????????????????????????210 l g 1 ( dB )Nca????????? ???????巴特沃思濾波器的幅度平方函數(shù) 221()1 ( )aNcHj ?? ???? ? ?c， 幅度迅速下降 ， N越大 ， 幅度下降越快 ， 過渡帶越窄 ? 當 ?=0時 ， 2( 0) 1aHj ?? 當 ?=?c時 ， 所示 ?c是 3dB截止頻率 1()2acHj ??1 由幅度平方函數(shù) |Ha(jΩ)|2確定系統(tǒng)函數(shù) Ha(s) 21( ) ( )1 ( )aaNcH s H s sj????此式表明幅度平方函數(shù)有 2N個極點，極點 sk用下式表示： 1 1 2 1()2 2 2( 1 ) ( )kjNNk c cs j e? ??? ? ? ? ?其中， k=0,1,…,(2N 1) 2N個極點等間隔分布在半徑為 Ωc的圓上，間隔是 ?/N rad，左半平面 N個點構成 Ha(s)傳輸函數(shù)，右半平面 N個點構成 Ha(s)傳輸函數(shù)。 采用對3dB截止頻率 Ωc歸一化 ， 歸一化后的 Ha(s)表示為 ： 101()()a Nkk ccHsss???????101()()a NkkHppp?????知道濾波器的階數(shù) N，可得歸一化的傳輸函數(shù)，去歸一化 p=jλ=s/ ?c ,可得到實際的傳輸函數(shù) Ha(s) 令 s/?c = j?/?c， λ=Ω/Ω c， λ 稱為 歸一化頻率 ， 令 p=jλ ， p稱為 歸一化復變量 ， 歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為： 歸一化極點 ， k=0,1,…,N 1 ?????? ??? Nkjk ep21221? 根據(jù)給出的技術指標 ?P、 ?S、 ?p、 ?S， 求濾波器階數(shù) N 2 1 0Nac??????????2 1 0 pNapc??????????2 1 0 sNasc??????????10 1lg10 1lgspaaspN?????????????1 210 110 1spN asap?? ??? ???? ??? ?????sspp? ?? ?1 0 11 0 1spasp ak???lglgspspkN??用上式求出的 N可能有小數(shù)部分，應取大于等于 N的最小整數(shù)。再帶入： 21 2( 10 1 )( 10 1 )psa Ncpa Ncs??? ? ? ?? ? ? ?阻帶指標有富裕度 10 .1 210 .1 2( 1 0 1 )( 1 0 1 )psa Ncpa Ncs??? ? ? ?? ? ? ?通帶指標有富裕度 （ 3）求 3dB截止頻率 ?c 210 l g 1 ( dB )Nca????????? ??????? 將 p=s/?c，代入 Ha(p)中得： Ha(s)=Ha (p)| p=s/?c (4) 將 Ha(p)去歸一化， 得到實際的濾波器傳輸函數(shù) Ha(s) 表示兩極點 P PN2 例： 設計一個巴特沃思低通濾波器，在 時衰減不大于1dB，在 時衰減不小于 10dB。 (2)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器 ， 仍是 因果穩(wěn)定 的 。 ? 再經(jīng)過 Z=eST的映射關系映射到 Z平面上，從而得到 H(z) )(?)( sHzH aez sT ???????^^1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )sTa aska askaszekH j H j jkTH s H s jkTH z H s jkT?? ???? ? ? ? ?? ? ?? ? ????(3) 模擬信號的拉氏變換與序列的 Z變換之間的映射關系 ^^1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )sTa aska askaszekH j H j jkTH s H s jkTH z H s jkT?? ???? ? ? ? ?? ? ?? ? ????設： S=??j?， z=r?ejw 頻率域的坐標變換是線性的，滿足轉換關系的第 1個要求。 r= e?T 因果穩(wěn)定的分析 ? j? 0 ?/T 3?/T 3?/T ?/T S平面 1 Re(z) jIm(z) 0 Z平面 當 ?不變，角頻率 ?變化 2?/T整數(shù)倍， 映射值不變 ， S平面上每一條寬度為 2?/T的水平橫帶都重迭地映射到 Z平面的整個全平面上 ? 每條水平橫帶的左半部分映射到 Z平面單位圓內； ? 水平橫帶右半部分映射到 Z平面的單位圓外； ? j?虛軸上每 2?/T段都對應著單位圓一周 ? j? 0 ?/T 3?/T 3?/T ?/T S平面 1 Re(z) jIm(z) 0 Z平面 2() ,j M Ts T T j T T Te e e e e M??? ?????由于 z=esT是周期函數(shù) 混疊失真 ?)( ?jeH?0T?0T??)( ?jHa???頻率混疊 否則，設計出來的 DF在 w=177。 使設計出來的 DF不能很好地重現(xiàn) AF的頻響，滿足不了設計要求。 設模擬濾波器 Ha(s)只有單階極點 ，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將 Ha(s)用部分分式表示： 1()Niai iAHsss?? ??si為 Ha(s)的單階極點 1( ) ( )iNs n taiih t A e u t?? ?1( ) ( )iNntaiih t Ae u t???LT1[Ha(s)]＝ U(t)為單位階躍函數(shù) 二、變換方法 1( ) ( ) ( )iNs nTaiih n h nT A e u nT??? ?等間隔采樣，采樣間隔為 T 11() 1iNisTiAHzez ??? ??z變換 11() 1iNisTiAHzez ??? ??1()Niai iAHsss?? ??結論 : ? S平面的 單極點 s=sk映射 到 Z平面的 極點 z=esiT。 ? 不保證整個平面與平面都存在其極點那樣的代數(shù)對應關系。因此， AF 穩(wěn)定，則 DF穩(wěn)定。 （ 2） 采用變換公式 把數(shù)字濾波器的這組頻率指標 轉換成相應 的模擬濾波器的一組頻率指標 ，而 、 不變。 （ 4） 由 求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 。