【正文】 z平面的 ω是 非線性正切關(guān)系 ，消除了頻率混疊現(xiàn)象。 代價： 影響數(shù)字濾波器頻響逼真模擬濾波器的頻響的逼真度，存在幅度失真和相位失真。 ? 零頻附件 ， ω和 Ω接近線性關(guān)系； Ω增加， ω和 Ω存在嚴(yán)重的非線性關(guān)系； ? 如果 Ω的刻度是均勻的，通過非線性正切關(guān)系，映射到 z平面的 ω刻度不均勻，隨 ω增加越來越密，即 邊界頻率發(fā)生畸變 。 ? 一 線性相位 的模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后成為非線性相位的數(shù)字濾波器； ? 如果模擬濾波器具有 片段常數(shù)特性 ，則轉(zhuǎn)換到 z平面具有 片段常數(shù)特性 。適于片段常系數(shù) 濾波器的設(shè)計。 幅度特性失真 相位特性失真 雙線性變換法的幅度失真和相位失真 對 邊緣臨界頻率 點產(chǎn)生的畸變，可通過頻率的 預(yù)畸變 加以校正。 Ωp＝ ωp /T Ωs＝ ωs /T 雙線性變換法的頻率預(yù)畸變 例： 數(shù)字低通濾波器的兩個截止頻率： ωp和 ωs，如果按照線性變換所對應(yīng)的模擬濾波器的截止頻率分別為： 即通過非線性的頻率變換公式，得到的數(shù)字濾波器的截止頻率就不等于原頻率 21121t an2jjejTeT???????????解決方法： 數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換成模擬頻率時，先進(jìn)行預(yù)畸變的處理 ： ω＝ 2arctan(ΩT/2) ωp’=! ωp ωS’=! ωS 優(yōu)點 消除了頻譜混迭失真； 頻率映射 s平面與 z平面是一一對應(yīng)的單值映射關(guān)系，避免了脈沖響應(yīng)不變法的頻譜“混迭”現(xiàn)象。 缺點 以頻率變換的非線性為代價，模擬域和數(shù)字域進(jìn)行非線性映射，其 瞬時響應(yīng) 不如脈沖響應(yīng)不變法好。 21121tan2jjejTeT???????????總結(jié)雙線性變換法的特點 11211( ) ( ) za sT zH z H s ??????( ) ( ) jj zeH e H z ?? ??四、雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器的步驟 ? ?k?（ 1） 確定數(shù)字濾波器的通帶和阻帶截止頻率 ，通帶內(nèi)容許的最大衰減 ?P及阻帶內(nèi)容許的最小衰減 ?S 。 2 ta n2kk T????? ????? ?k?（ 2） 采用頻率預(yù)畸變的方法把數(shù)字濾波器的通帶和阻帶截止頻率變換成相應(yīng)的模擬濾波器的通帶和阻帶截止頻率 ，通帶最大衰減及阻帶最小衰減不變。 （ 3） 根據(jù)模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計其系統(tǒng)函數(shù) Ha(s) （ 4） 求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z) （ 5） 檢驗所設(shè)計的數(shù)字濾波器是否滿足技術(shù)指標(biāo)要求。 例： 已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ，試用雙線性變換法將 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 。 1() 1aHs s? ? ()aHs()Hz? ?? ? ? ?11121 1111( ) ( )2 1 1za s T zTzH z H sz T z????? ??????? ? ?111()3zHzz????? 設(shè) T=1s，則： 解： 405()aHj?21310??0?jHe?/2?數(shù)字濾波器的幅頻特性 4105()aHj ?213 10?()j?/2模擬濾波器的幅頻特性 雙線性變換法設(shè)計的數(shù)字濾波器的頻響限制在 0和 π 之間，不存在頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。 例： 用雙線性變換法設(shè)計巴特沃思數(shù)字低通濾波器，要求在頻率小于 的通帶內(nèi)，幅度特性下降小于等于 1dB；在頻率 到 之間的阻帶衰減大于等于 15dB。 rad? rad? rad?0. 2 , 1 dB , 0. 3 , 15 dBp p s srad a rad a? ? ? ?? ? ? ?解： （ 1）待設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為： 2 t a n 2 t a n , 1 dB222 t a n 2 t a n , 15 dB22pppsssrad s aTrad s aT? ?? ??? ??? ? ? ? ??? ???????? ??? ? ? ? ?????????（ 2）確定模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，取 T=1。 1 .0 1 9 1 1 .5 6 8 30 .6 4 9 8ssp p??? ? ?? 1 0 1 1 0 1 1 0 . 8 7 5 11 0 11 0 1spasp ak??? ? ???lg l g 1 0 . 8 7 5 5 . 3 0 3 4l g l g 1 . 5 6 8 3spspkN?? ? ?取 N=6 ? ? ? ?11 2 2 6 /10 110 1ssca Nrad s??? ? ? ???? ? ? ? ? ?2 2 21() 0 . 5 1 7 6 1 1 . 4 1 4 2 1 1 . 9 3 1 9 1aHp p p p p p p? ? ? ? ? ? ?( ) ( )csaa pH s H p ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?62 2 2 2 2 22 2 2 76 42 19 66 71 36 71 02 71cc c c c c cs s s s s ss s s s s s??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?（ 3）設(shè)計巴特沃思模擬低通濾波器： 11211( ) ( ) za sT zH z H s ??????? ?? ? ? ? ? ?6411 2 1 2 1 2 78 10 11 68 6 05 1 1 10 6 58 3 1 04 4 15 5zz z z z z z??? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?圖：用雙線性變換法設(shè)計出的數(shù)字濾波器的幅度特性 （ 4）求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ： （ 5）校核所設(shè)計的數(shù)字濾波器是否滿足給定的指標(biāo)要求 例： 用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器，要求在頻率小于等于 100Hz的通帶內(nèi)，幅度的衰減特性不大于 2dB；在頻率大于等于 300Hz的阻帶內(nèi)，衰減不小于15dB ，采樣頻率為 1000Hz，采用巴特沃思型濾波器。 2 2 10 0 01 f T rad? ? ? ?? ? ? ? ?2 2 300 01 f T rad? ? ? ?? ? ? ? ?2dBpa ?15dBsa ?2 0 . 2ta n 2 ta n 0 . 6 4 9 822pp r a d sT? ??? ??? ? ? ??? ?????? 2dBpa ?2 0 . 6ta n 2 ta n 2 . 7 5 2 822ss r a d sT? ??? ??? ? ? ?????????15dBsa ?采樣頻率為 1000Hz，所以 T=，待設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為： 解 :（ 1）確定待設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)： （ 2）確定模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)： 設(shè) T=1s 2 .7 5 2 8 4 .2 3 6 40 .6 4 9 8ssp p??? ? ?? 0 . 1 1 5 0 . 1 21 0 1 1 0 1 = 7 . 2 3 5 81 0 11 0 1spasp ak????????lg l g 7 . 2 3 5 8 1 . 3 7 0 8l g l g 4 . 2 3 6 4spspkN?? ? ?11 224 /( 10 1 )( 10 1 )ppca Nrad s??? ? ? ???21()21aHp pp? ??2 222220 . 7 4 3 0( ) ( )1 . 0 5 0 8 0 . 7 4 3 02ccsaa pccH s H p ssss???? ? ???? ? ? ?112 1 1211( ) ( ) ( )zzaassTH z H s H s?????????? 12120 . 0 8 2 9 6 0 . 1 6 5 9 2 0 . 0 8 2 9 61 1 . 0 3 6 4 2 0 . 3 6 8 3 0zzzz??????? ??（ 3）設(shè)計模擬巴特沃思低通濾波器： 取 N=2 （ 4）由求其相應(yīng)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： （ 5）校核所設(shè)計的數(shù)字濾波器是否滿足給定的指標(biāo)要求： 0 .20 . 2( ) ( ) ( )p jj jzeH e H e H z ?? ????0 . 2 0 . 40 . 2 0 . 40 . 0 8 2 9 6 0 . 1 6 5 9 2 0 . 0 8 2 9 6 0 . 2 4 2 8 3 0 . 1 7 6 4 31 1 . 0 3 6 4 2 0 . 3 6 8 3 0 0 . 2 7 5 3 3 0 . 2 5 8 9 2jjjje e je e j????????? ? ???? ? ?2 0 . 2 4 2 8 3 0 . 1 7 6 4 31 0 l g ( ) 1 0 l g 2 . 0 0 1 6 d B0 . 2 7 5 3 3 0 . 2 5 8 9 2jpja H ej? ?? ? ? ? ??0 .60 . 6( ) ( ) ( )s jj j zeH e H e H z ?? ? ???0 . 6 1 . 20 . 6 1 . 20 . 0 8 2 9 6 0 . 1 6 5 9 2 0 . 0 8 2 9 6 0 . 0 3 5 4 3 0 . 1 0 9 0 41 1 . 0 3 6 4 2 0 . 3 6 8 3 0 1 . 0 2 2 3 1 1 . 2 0 2 1 8jjjje e je e j????????? ? ? ???? ? ?2 0 . 0 3 5 4 3 0 . 1 0 9 0 41 0 l g ( ) 1 0 l g 2 2 . 7 7 5 0 d B1 . 0 2 2 3 1 1 . 2 0 2 1 8jsja H ej? ??? ? ? ? ??所設(shè)計的數(shù)字濾波器滿足給定的指標(biāo)要求。 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為 ，設(shè)采樣周期T=，采用脈沖響應(yīng)不變法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，求該數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 用雙線性變換法設(shè)計 IIR數(shù)字濾波器，要求通帶截止頻率為π/5rad ，通帶內(nèi)容許的最大衰減為 3dB，阻帶截止頻率為3π/5rad ，阻帶的最小衰減為 20dB，模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。 ? ? 2a s25s2 1s ???H本章作業(yè)