【正文】 通帶下截止頻率 ωlp =，阻帶下截止頻率ωls=，阻通帶上截止頻率 ωus=，通帶上截止頻率 ωup=， 通帶最大衰減 ? p=1 dB，阻帶最小衰減 ? s=60 dB 解 本例直接調(diào)用 fir1函數(shù)設(shè)計(jì)。因?yàn)樽鑾ё钚∷p ? s=60 dB，所以選擇布萊克曼窗，再根據(jù)過渡帶寬度選擇濾波器長(zhǎng)度 N，布萊克曼窗的過渡帶寬度 Bt=12π/N，所以 l p l s12 π 0 . 3 5 0 . 2 0 . 1 5N ??? ? ? ? ? ? ? ?第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 解之得 N=80 l p l s u s u pc ,2 π 2 π? ? ? ?? ????????? 設(shè)計(jì)程序?yàn)? ％ : 例 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位帶阻FIR wlp=*pi。wls=*pi。wus=*pi。wup=*pi。 % B=wlswlp。 % N=ceil(12*pi/B)。 %計(jì)算階數(shù) N,ceil(x)為大于等于 x 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) wp=［ (wls+wlp)/2/pi,(wus+wup)/2/pi］ 。 %設(shè)置 hn=fir1(N,wp,‘stop’,blackman(N+1))。 %帶阻濾波器要求 h(n)長(zhǎng)度為奇數(shù)，所以取 N+1 ％省略繪圖部分 程序運(yùn)行結(jié)果 : N=81 由于 h(n)數(shù)據(jù)量太大，因而僅給出 h(n)的波形及損耗函數(shù)曲線，如圖 。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例 帶阻 FIR數(shù)字濾波器的 h(n)波形及損耗函數(shù)曲線 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) )( ?jd eHnkNNnd WkHNnh????? 101 )()(kNeHkH jdd ??? 2?)()( ＝一、設(shè)計(jì)思想 FIR濾波器 ????10Nnnn) zhzH －()(kN??? 2 采樣? ?????????? 10111 NkkNdNZWkHNZzH )()()( ?jeH第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 1） FIR濾波器具有線性相位的條件是 h(n)為實(shí)序列，且滿足 h(n)=h(N－ n－ 1)，其頻響函數(shù)應(yīng)滿足的條件是： j j ( )d d g( e ) ( ) eHH? ? ??? （ ） （ ） ??? 2 1)( ??? N() d g d g( ) ( 2 π)HH????N = 奇數(shù) () d g d g( ) ( 2 π)HH??? ? ?N = 偶數(shù) 二、設(shè)計(jì)線性相位濾波器時(shí)對(duì) Hd(k)的約束條件 呈偶對(duì)稱對(duì)為奇數(shù)： ,)( ???? 20?dgHN呈偶對(duì)稱對(duì)呈奇對(duì)稱，對(duì)為偶數(shù)： ,)( ????? 20?? HN dg第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 在 ω=0~2π區(qū)間上 N個(gè)等間隔的采樣頻點(diǎn)為 將 ω=ωk代入（ ） ~（ ）式中，并寫成 k的函數(shù)： kNk π2??k = 0， 1， 2， ? ， N – 1 （ ） )(jgd e)()( kkHkH ??（ ） kπNNkN πNk 122 1 ??????)(?（ ） )()( kNHkH gg ??N = 奇數(shù) （ ） )()( kNHkHgg ???N = 偶數(shù) Hd(k)的約 束條件 ： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 設(shè)用理想低通作為希望逼近的濾波器 Hd(ejω)，截止頻率為 ωc，采樣點(diǎn)數(shù)為 N， Hg(k)和 θ(k)用下列公式計(jì)算： （ ） ??????????????????????1210π1)(1210)(2101)()(cccgcggNkkNNkkNkkkkHkkkNHkH，，，，，，，????gg c c cgc( ) 1 0 , 1 , 2 , ,( ) 0 1 , 2 , , 1( ) 1 1 , 2 , ,1() π 0 , 1 , 2 , , 1cH k k kH k k k k N kH N k k kNk k k NN?????? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ??? 式中 kc是通帶內(nèi)最后一個(gè)采樣點(diǎn)的序號(hào)， kc值取不大于 [ωcN/(2π)]的最大整數(shù)。另外，對(duì)于高通和帶阻濾波器，這里 N只能取奇數(shù)。 N為偶數(shù)時(shí)， N為奇數(shù)時(shí)， 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2） FIR濾波器具有線性相位的條件是 h(n)為實(shí)序列，且滿足 h(n)=h(N－ n－ 1)，其頻響函數(shù)應(yīng)滿足的條件是： )()( kNHkH gg ???N = 奇數(shù) )()( kNHkH gg ??N = 偶數(shù) Hd(k)的約 束條件 ： 2112212 ????? ????????? )()(NkNkNk第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 3． 逼近誤差及其改進(jìn)措施 如果待逼近的濾波器為 Hd(ejω)，對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為hd(n)，則由頻率域采樣定理知道，在頻域 0~2π范圍等間隔采樣 N點(diǎn)，利用 IDFT得到的 h(n)應(yīng)是 hd(n)以 N為周期的周期延拓的主值區(qū)序列，即 如果 Hd(ejω)有間斷點(diǎn)，那么相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng) hd(n)應(yīng)是無限長(zhǎng)的。這樣，由于時(shí)域混疊及截?cái)?，?h(n)與 hd(n)有偏差。所以，頻域的采樣點(diǎn)數(shù) N愈大，時(shí)域混疊愈小，設(shè)計(jì)出的濾波器頻響特性愈逼近 Hd(ejω) d( ) ( ) ( )Nmh n h n m N R n?? ? ????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 頻域采樣定理表明，頻率域等間隔采樣 H(k)，經(jīng)過 IDFT得到 h(n)，得到 H(ejω)=FT［ h(n)］的內(nèi)插表示形式： ????????? ?? 10j π2)()e(NkkNkHH ???21je)2/si n ()2/si n (1)(???NNN?????? 在采樣點(diǎn)上實(shí)際頻率響應(yīng)嚴(yán)格等于理想頻率響應(yīng) ? 采樣點(diǎn)之間實(shí)際頻響由各采樣點(diǎn)加權(quán)內(nèi)插函數(shù)延伸而成，因而有誤差，誤差大小和理想頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān) 改進(jìn)：在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)的邊緣點(diǎn)加上一些過渡的采樣點(diǎn) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 頻域幅度采樣序列 Hg(k)及其內(nèi)插波形 Hg(ω) Hdg(ω)特性愈平滑的區(qū)域，誤差愈??；特性曲線間斷點(diǎn)處，誤差最大。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 表現(xiàn)形式為間斷點(diǎn)變成傾斜下降的過渡帶曲線，過渡帶寬度近似為 2π/N。通帶和阻帶內(nèi)產(chǎn)生震蕩波紋，且間斷點(diǎn)附近振蕩幅度最大，使阻帶衰減減小，往往不能滿足技術(shù)要求。 當(dāng)然，增加 N可以使過渡帶變窄，但是通帶最大衰減和阻帶最小衰減隨 N的增大并無明顯改善。且 N太大，會(huì)增加濾波器的階數(shù)，即增加了運(yùn)算量和成本。 N=15和 N=75兩種情況下的幅度內(nèi)插波形 Hg(ω)如圖，圖中的空心圓和實(shí)心圓點(diǎn)分別表示 N=15和N=75時(shí)的頻域幅度采樣。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 N=15和 N=75的幅度內(nèi)插波形 Hg(ω) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 在窗函數(shù)設(shè)計(jì)法中，通過加大過渡帶寬度換取阻帶衰減的增加。頻率采樣法同樣滿足這一規(guī)律。 提高阻帶衰減的具體方法： 在頻響間斷點(diǎn)附近區(qū)間內(nèi)插一個(gè)或幾個(gè)過渡采樣點(diǎn)，使不連續(xù)點(diǎn)變成緩慢過渡帶，這樣，雖然加大了過渡帶，但阻帶中相鄰內(nèi)插函數(shù)的旁瓣正負(fù)對(duì)消，明顯增大了阻帶衰減 過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)與阻帶最小衰減 ? s的關(guān)系以及使阻帶最小衰減 ? s最大化的每個(gè)過渡帶采樣值求解都要用優(yōu)化算法解決。其基本思想是將過渡帶采樣值設(shè)為自由量，用一種優(yōu)化算法（如線性規(guī)劃算法）改變它們，最終使阻帶最小衰減 ? s最大。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 將過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) m與濾波器阻帶最小衰減 ? s的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)列于表 ，我們可以根據(jù)給定的阻帶最小衰減 ? s選擇過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) m 表 過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) m與濾波器阻帶最小衰減 ? s的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 四． 頻率采樣法設(shè)計(jì)步驟 （ 1） 根據(jù)阻帶最小衰減 ? s選擇過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) m。 （ 2） 確定過渡帶寬度 Bt，估算頻域采樣點(diǎn)數(shù)（即濾波器長(zhǎng)度） N。如果增加 m個(gè)過渡帶采樣點(diǎn)，則過渡帶寬度近似變成 (m+1)2π/N。當(dāng) N確定時(shí)， m越大，過渡帶越寬。如果給定過渡帶寬度 Bt，則要求 (m+1)2π/N≤Bt ，濾波器長(zhǎng)度 N必須滿足如下估算公式 : （ ） t2 π( 1 )NmB??第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) （ 3） 構(gòu)造一個(gè)希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù) : 設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)型片斷常數(shù)特性的 FIR數(shù)字濾波器時(shí)，一般構(gòu)造幅度特性函數(shù) Hdg(ω)為相應(yīng)的理想頻響特性，且滿足表 （ 4） 按照（ ）式進(jìn)行頻域采樣 : j j ( 1 ) / 2d d g( e ) ( ) e NHH ?? ? ???（ ( 1 )jjd2( ) ( e ) ( ) e , 0 , 1 , 2 , , 1N kNgkNH k H H k k N???????? ? ? ?…（ ） dg 2( ) , 0 , 1 , 2 , , 1gH k H k k NN ???? ? ????? …第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 并加入過渡帶采樣。過渡帶采樣值可以設(shè)置為經(jīng)驗(yàn)值，或用累試 （ 5） 對(duì) H(k)進(jìn)行 N點(diǎn) IDFT，得到第一類線性相位 FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)： 1 01( ) I D F T [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , 2 , , 1N knNkh n H k H k W n NN??? ? ? ?? …（ ） （ 6） 檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果。如果阻帶最小衰減未達(dá)到指標(biāo)要求，則要改變過渡帶采樣值，直到滿足指標(biāo)要求為止。如果濾波器邊界頻率未達(dá)到指標(biāo)要求，則要微調(diào) Hdg(ω) 上述設(shè)計(jì)過程中的計(jì)算相當(dāng)繁瑣，所以通常借助計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 【 例 】 用頻率采樣法設(shè)計(jì)第一類線性相位低通FIR數(shù)字濾波器，要求通帶截止頻率 ωp=π/3，阻帶最小衰減大于 40 dB，過渡帶寬度 Bt≤π/16 解 查表 ， ? s=40 dB時(shí)，過渡帶采樣點(diǎn)數(shù) m=1。 根據(jù) m=1和 Bt≤π/16估算濾波器長(zhǎng)度 : N≥(m+1)2π/Bt=64 留一點(diǎn)富余量，取 N=65。 構(gòu)造 Hd(ejω)=Hdg(ω)e－ jω(N－ 1)/2 為理想低通特性，其幅度響應(yīng)函數(shù) Hdg(ω)如圖 (a) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 一個(gè)過渡點(diǎn)的設(shè)計(jì)結(jié)果 (T=) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)由以下程序 ％ : 用頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR T=input(‘T= ’) ％輸入過渡帶采樣值 T Bt=pi/16。wp=pi/3。 ％過渡帶寬度為 pi/16，通帶截止頻率為 pi/3 m=1。N=ceil(m+1)*2*pi/Bt)+1。 ％按式（ ）估算采樣點(diǎn)數(shù) N Np=fix(wp/(2*pi/N))。 ％ Np+1為通帶［ 0, wp］上采 Ns=N－ 2*Np－ 1。 ％ Ns為阻帶［ wp, 2*pi－ wp］上采樣點(diǎn)數(shù) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) Hk=［ ones(1, Np+1), zeros(1, Ns), ones(1, Np) 。％ N為奇數(shù)，幅度采樣向量偶對(duì)稱 A(k)=A(N－ k) Hk(Np+2)=T。Ak(N－ Np)=T。 ％加一個(gè)過渡采樣 thetak=－ pi*(N－ 1)*(0:N－ 1)/N。 ％相位采樣