【正文】 hd(n)直接截斷引起的，也稱為 截斷效應 。 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 第二類線性相位 FIR數字濾波器的相位 :θ(ω)=π/2ωτ， 類似推導可得到 : 1j j j ( / 2 )g0( e ) ( ) e ( ) eNnnH h n H? ? ????? ? ? ????? 2) 第二類線性相位對 h(n)的約束條件 函數 h(n)cos［ ω(n－ τ)］關于求和區(qū)間的中心 (N－ 1)/2奇對稱，是滿足式（ ）的一組解，因為 cos［ ω(n－ τ)］關于 n=τ偶對稱，所以要求 τ和 h(n)滿足如下條件： 10( ) c o s [ ( ) ] 0Nnh n n???????（ ） 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 第二類線性相位特性： h(n)應當關于 n=(N－ 1)/2點奇對稱。 1． 線性相位 FIR 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 ()dd?? ?? ??稱兩種情況為線性相位 ????? ，??)(起始相位， 00)( ?????? ??線性相位 FIR濾波器是指 θ(ω)是 ω的線性函數，即 嚴格地說，此時 θ(ω)不具有線性相位特性，但以上兩種情況都滿足群時延是一個常數， 第二類線性相位 第一類線性相位 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 1) 第一類線性相位對 h(n)的約束條件 第一類線性相位 FIR數字濾波器的相位函數 θ(ω)=ωτ， 由式（ ）和（ ）得到 : 1j j jg0( e ) ( ) e ( ) e NnnH h n H? ? ??????????（ ） 1g0( ) ( c os j sin ) ( ) ( c os j sin ) Nnh n n n H? ? ? ?? ????? ? ?? 2. 線性相位 FIR的時域約束條件 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 由式（ ）得到 : 1010( ) c o sc o ss in( ) s inNnNnh n nh n n?????????????將（ ）式中兩式相除得到： 1g01g0( ) c os ( ) c os ( ) sin ( ) sinNnNnH h n nH h n n? ?? ?? ?? ????????????????（ ） 1100( ) c os sin ( ) sin c osNNnnh n n h n n? ?? ? ?????????第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 簡得到 : 函數 h(n)sinω(n－ τ)關于求和區(qū)間的中心 (N－ 1)/2奇對稱，是滿足（ ）式的一組解。 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 ★★ 呈偶對稱呈奇對稱對,)(??????? 20gH★ 不適合低通，帶阻濾波器 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 )(?gH表 線性相位 FIR數字濾波器的時域和頻域特性一覽 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 四種線性相位 FIR濾波器 相位 特性 幅度特性 適用 特點 1?)(??0)n1N(h)n(h ????????? 2 1N)(N奇 呈偶對稱，對 ???? 202N偶 偶對稱呈奇對稱對????20 ,??)n1N(h)n(h ????22 1N)( ?????????)(??03N奇 呈奇對稱，對 ???? 204N偶 偶呈對稱對呈奇對稱，對?????? 20低通 高通 帶通 帶阻 低通 帶通 帶通 高通 帶通 )nc o s ()n()()(ng??? －＋ ???? 102M hhHg 0( ) 2 ( ) c o s [ ( ) ]MnH h n n? ? ?????)]n([in)n()(ng??? －shH M???? 102g0( ) 2 ( ) s in [ ( ) ]MnH h n n? ? ?????3. 線性相位 FIR數字濾波器的零點分布特點 （ ） 10( ) ( )NnnH z h n z???? ?11001( 1 ) ( 1 ) 10( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )NNnnnnNN m NmH z h n z h N n zh m z z H z???????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? 將 h(n)=177。這時 有 c?? ? )( ?? ?RgW)(H d ?)0(H/)(H c ??第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 3） 時， 的主瓣全部在 的通帶內，這時應出現正的肩峰。 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 以上兩點就是對 hd(n)用矩形窗截斷后，在頻域的反映，稱為吉布斯效應。 圖 矩形窗函數長度的影響 例如：設計一個截止頻率為 的數字低通濾波器 4/??cw第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 ★★ 對于同一個的窗函數當隨著 N的增加，阻帶衰減越快，但是第一旁瓣值不變， N越大，過渡帶越窄，旁瓣越多，通帶越寬。 Bg=8π/N。 ? s=－ 53 dB 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 5． 布萊克曼（ Blackman）窗 其頻譜函數為 （ ） )(1π4c o o )(Bl nRN nN nn N?????????????????????????????????????????????????????????????????????）（）（）（1π4jR1π4jR1π2jR1π2jRjRjBl e)e()e()e(NNNNWWWWWW??????第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 其幅度函數為 這樣其幅度函數由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同的 WRg(ω)函數，使旁瓣再進一步抵消。一般 ?加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小 ，典型數據為 4 ? 9。 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 表 凱塞窗參數對濾波器的性能影 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 表 6種窗函數的基本參數 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 例如：設計一個截止頻率為 的數字低通濾波器 4/??cw第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 ★ 矩形窗過渡帶最窄，布拉克曼窗過渡帶最寬，但是對于阻帶最小衰減性矩形窗最差，只有－ 21dB，布萊克曼窗最好，達到－ 75dB。 先按照阻帶衰減選擇窗函數類型。 解 (1） 選擇窗函數 w(n)，計算窗函數長度 N。因而將所設計的 窗函數法的 MATLAB 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 hn=fir1(M, wc) 返回 6 dB截止頻率為 wc的 M階（單位脈沖響應 h(n)長度 N=M+1） FIR低通（ wc為標量）濾波器系數向量 hn，默認選用哈明窗。主要用于設計幅度特性形狀特殊的濾波器（如數字微分器和多帶濾波器等）。high39。所以 h(n)長度為 N=M+1=24。 % alph=*(rs21)^+*(rs21)。wus=*pi。另外，對于高通和帶阻濾波器，這里 N只能取奇數。 N=15和 N=75兩種情況下的幅度內插波形 Hg(ω)如圖，圖中的空心圓和實心圓點分別表示 N=15和N=75時的頻域幅度采樣。當 N確定時， m越大，過渡帶越寬。wp=pi/3。 ％加一個過渡采樣 thetak=－ pi*(N－ 1)*(0:N－ 1)/N。N=ceil(m+1)*2*pi/Bt)+1。過渡帶采樣值可以設置為經驗值，或用累試 （ 5） 對 H(k)進行 N點 IDFT，得到第一類線性相位 FIR數字濾波器的單位脈沖響應： 1 01( ) I D F T [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , 2 , , 1N knNkh n H k H k W n NN??? ? ? ?? …（ ） （ 6） 檢驗設計結果。頻率采樣法同樣滿足這一規(guī)律。這樣，由于時域混疊及截斷，使 h(n)與 hd(n)有偏差。 % B=wlswlp。 %根據 ()式計算 kaiser窗所需階數 N 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 wc=(wp+ws)/2/pi。 理想低通濾波器的通帶截止頻率 ωc=(ωs+ωp)/2=，所以得到 : 式中， w(n)是長度為 24（ ? = st8 4 0 8 2 2 . 2 8 8 72 . 2 8 5 2 . 2 8 5 0 . 2M B? ? ?? ? ???ds i n [0 . 4 ( ) ] 1( ) ( ) ( ) ( ) , 1 1 . 5( ) 2nNh n h n w n w nn? ??? ? ?? ? ? ???第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 實現本例設計的 MATLAB程序為 ％ : 例 用凱塞窗函數設計線性相位低通FIR fp=1500。 ％調用 fir1計算高通 FIR數字濾波器的 h(n) ％略去繪圖部分 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 運行程序得到 h(n)的 25個值 : h(n)=［ － － － － － － － － － － － － ］ 高通 FIR數字濾波器的 h(n)及損耗函數如圖 。 ws=pi/4。當 ftype=high時，設計高通 FIR濾波器；當 ftype=stop，且 wc=［ wcl, wcu］時，設計帶阻 FIR濾波器。 過渡帶： 本例中過渡帶寬度 Bt≤ωp－ ωs=π/4， 漢寧窗的精確過渡帶寬度 Bt=，所以要求 Bt=≤π/4N≥。然后根據過渡帶寬度估計窗口長度 N。 N=20 ?改變 N只能改變過渡帶寬窄，不能改變阻帶的衰減性； ?阻帶的衰減性由窗函數類型決定，矩形窗最差，布萊克曼窗最好 。 ?=，窗函數接近布萊克曼窗。 布萊克曼窗的四種波形如圖 . ?????????????????????????????????????????????????1π41π4 1π21π2)()(RgRgRgRgRgB l gNWNWNWNWWW??????第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計 圖 布萊克曼窗的四種波形 參數為 : ?n=－ 57 dB。 漢寧窗的四種波形如圖 第 7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計