【正文】 4()1 0 . 4 1 7 6 7 0 . 0 1 8 3 1 6zHzzz???? ??設(shè) T=1s，得： 12 120 . 0 2 4 6 0 3()1 1 . 6 4 5 6 6 0 . 6 7 0 3 2zHzzz???? ??設(shè) T=，得： 1()jHe?2()jHe?()aHs將 三者的幅度特性用它們的最大值歸一化后的 幅度特性如圖所示。 AF的幅度特性 DF的幅度特性 例： 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃思數(shù)字低通濾波器，要求在頻率小于 的通帶內(nèi)，幅度特性下降小于等于 1dB；在頻率 到 之間的阻帶衰減大于等于 15dB。 rad? rad?rad?0. 2 , 1 dB , 0. 3 , 15 dBp p s srad a rad a? ? ? ?? ? ? ?解：（ 1） 待設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為： 0. 2 , 1 dB , 0. 3 , 15 dBp p s srad a rad a? ? ? ?? ? ? ?0. 2 , 1 dB , 0. 3 , 15 dBp p s srad s a rad s a??? ? ? ? ? ?（ 2） 模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為（設(shè) T=1s）： 0 .3 1 .50 .2sspp????? ? ?? 1 0 1 1 0 1 1 0 . 8 7 51 0 11 0 1spasp ak??? ? ???lg l g 1 0 . 8 7 5 5 . 8 8 6l g l g 1 . 5spspkN?? ? ?取 N=6 （ 3） 設(shè)計(jì)模擬 butterworth低通濾波器 查表得到歸一化系統(tǒng)函數(shù)為 2 3 4 5 61()1 3 . 8 6 3 7 7 . 4 6 4 1 9 . 1 4 1 6 7 . 4 6 4 1 3 . 8 6 3 7aHp p p p p p p? ? ? ? ? ? ?( ) ( )csaa pH s H p ? ?? ? ? ? ? ? ?66 5 2 4 3 3 4 2 5 62 2 2 cc c c c c cs s s s s ss s s s s s??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?1 1 11 2 1 2 1 20 . 2 8 7 1 0 . 4 4 6 6 2 . 1 4 2 8 1 . 1 4 5 5 1 . 8 5 5 7 0 . 6 3 0 3()1 1 . 2 9 7 1 0 . 6 9 4 9 1 1 . 0 6 9 1 0 . 3 6 9 9 1 0 . 9 9 7 2 0 . 2 5 7 0z z zHzz z z z z z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?求 3dB截止頻率 ? ? ? ?11 2 2 6 32 /10 110 1ppca Nrad s???? ? ? ???去歸一化 （ 4） 求相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) （ 5） 檢查設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器是否滿足給定的指標(biāo)要求 四、脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)： 頻率變換是 線性關(guān)系 。 w=?T ，數(shù)字濾波器可以很好重現(xiàn)模擬濾波器的頻響特性； 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，時(shí)域特性逼近好； 缺點(diǎn)： 1. 有頻譜混迭失真現(xiàn)象； (S平面到 ?Z平面有多值映射關(guān)系 ) 2. 由于頻譜混迭，使應(yīng)用受到限制， 只適合于用來設(shè)計(jì) 限帶 的濾波器，如低通和帶通濾波器。 ? 脈沖響應(yīng)不變法的缺點(diǎn) :產(chǎn)生頻率譜混迭現(xiàn)象。 用雙線性變換法設(shè)計(jì) IIR數(shù)字低通濾波器 ? 原因 ： s平面到 z平面是多值對單值的映射關(guān)系， 模擬低通的最高頻率超過了折疊頻率 ?/T，數(shù)字化后在 ω = ?形成頻譜混疊現(xiàn)象。 ? 解決方法： 采用非線性壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到 ??/T之間，而后再用 z=eST轉(zhuǎn)換到 z平面上。 步驟： ? 首先把整個(gè) s平面壓縮變換到某一中介的 s1平面的一條從 到 ，寬度為 的橫帶里（ s1平面的橫帶和 s平面是單值對應(yīng)關(guān)系）； ? 再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系 ，將此橫帶變換到整個(gè) z平面上去； /T?? /T?2/T?1sTze?一、變換原理 1j?/ T?1s? ?Imjz1? 1? 1 ? ?Re zz/ T??平 面 平 面j?s ?平 面oo os平面 s1平面 z平面 好處： ? s平面與 z平面成為一一對應(yīng)的單值映射關(guān)系，消除了頻譜混疊現(xiàn)象。 非線性壓縮： (S平面 ?S1平面 映射 ) 0 ?/T ?/T ?1 ? 121ta n( )2 TT? ? ?T：時(shí)域采樣間隔 采用 正切變換 實(shí)現(xiàn)非線性頻率壓縮，設(shè) Ha(s)， s=jΩ ，經(jīng)過非線性頻率壓縮后用 Ha(s1)表示， s1=jΩ 1 ，則： 表明： 當(dāng) Ω1從 π/T經(jīng)過 0變化到 π/T時(shí)， Ω則由 ∞經(jīng)過 0變化到 ∞，這樣，實(shí)現(xiàn)了 s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到 s1平面上虛軸的 177。 π/T之間。 )2(11)2tan(jS 12/2/2/2/1111111 TSthCeeCee eeCjjTjC TSTSTjTjTjTj??????????????? ????????)2(11)2t a n (jS 12/2/2/2/1111111 TSthCeeCee eeCjjTjC TSTSTjTjTjTj??????????????? ??????121tan( )2 TT?? ?)2(11)2tan(jS 12/2/2/2/1111111 TSthCeeCee eeCjjTjC TSTSTjTjTjTj?????????????? ????????)2(11)2ta n(jS 12/2/2/2/1111111 TSthCeeCeeCjjTjC TSTSjTjjTj?????????????? ????????121tan( )2 TT?? ?)2(11)2tan(jS 12//2//1111111 TSthCeeCee eeCjjTjC TSTSTjTjTjTj?????????????? ????????)2(11)2tan(jS 12/2/2/2/1111111 TSthCeeCee eeCjjTjC TSTSTjTjTjTj??????????????? ????????121tan( )2 TT?? ?)2(11)2tan(jS 12/2/2/2/1111111 TSthCeeCee eeCjjTjC TSTSTjTjTjTj??????????????? ???????? S平面到 Z平面的映射 將 S1平面映射到 z平面上，用標(biāo)準(zhǔn)映射 z=eS1T，代入上式 SC SCzzzCeeCS TSezTSTS??????????? ????? ,1111 11111 即SCSCzzzCeeCSTSezTSTS???????????????? ,111111111即21tan( )2TT?? ? SCSCzzzCeeCSTSezTSTS???????????????? ,1111 11111即121tan( )2 TT?? ?SCSCzzzCeeCSTSezTSTS???????????????? ,111111111即1121122zsTzsTzsT????????推出 S1平面與 S平面的關(guān)系 s到 z和由 z到 s的變換都是 線性變換 ，所以稱為 雙線性變換 二、逼近情況分析 因果穩(wěn)定性分析 ? 當(dāng) 時(shí)， ，說明 s平面的左半平面映射到 z平面的單位圓內(nèi)； 222 2sjjsTTzs jT T???? ? ???? ? ?? ????????? ? ? ?????222222TzT????? ? ????????? ? ?????0?? 1z?0?? 1z?0?? 1z?? 當(dāng) 時(shí)， ，說明 s平面的右半平面映射到 z平面的單位圓外； ? 當(dāng) 時(shí)， ，說明 s平面的虛軸映射到 z平面的單位圓上； 結(jié)論：因果穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得到的數(shù)字濾波器也一定是因 果穩(wěn)定的。 模擬頻率 Ω和數(shù)字頻率 ω之間的關(guān)系 設(shè)： z=ejω ， s=j?，帶入左式 1121122zsTzsTzsT????????? 0 ? W ? )2(2 wtgT??21121tan2jjejTeT???????????)2/cos(2)2/sin(221122/2/wwjeeTeeTjS jwjwjwjw ????????????)2/c o s (2)2/s in (221122/2/wwjeeTeeTjS jwjwjwjw???????? ????)2/c o s (2)2/s in (221122/2/wwjeeTeeTjS jwjwjwjw???????? ????)2/c o s (2)2/s in (221122/2/wwjeeTeeTjS jwjwjwjw???????? ???? )2(2)2(2 wtgTwtgTj ????21121tan2jjejTeT???????????說明： s平面上 Ω 與