【正文】 1( ) 。 首先將 Ha(s)寫(xiě)成 ()式的形式， 如極點(diǎn) s1,2=σ1177。 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 用脈沖響應(yīng)不變法將 Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 時(shí)域特性好。 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 四 .濾波器的傳輸函數(shù) 一般 Ha(s)的極點(diǎn) si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn) . 1()Niai iAHsss?? ?? 在 中將一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。 S平面上的左半平面映射到 z平面的單位圓內(nèi) . S平面上的右半平面映射到 z平面的單位圓外 . 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 另外 ， z=esT是一個(gè)周期函數(shù) ， 可寫(xiě)成 2(),j M TsT T j T T Te e e e e M??? ????? 為任意整數(shù)TMTT )2( ?? ?????所以 可見(jiàn)數(shù)字頻率 ω與模擬頻率 Ω是線性關(guān)系但不是一一對(duì)應(yīng)的 . 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X σ=0, r=1 σ0, r1 σ0, r1 MT ?? 2???,...2,1,0 ???M.,映射到同一點(diǎn)與平面映射到若TZT??????????圖 z=esT,s平面與 z平面之間的映射關(guān)系 0 1 ]Im[zj]Re[z0 ?j?T/?T/??T/3?T/3??s平面 z平面 采樣信號(hào) 的頻譜與原模擬信號(hào)的關(guān)系： ???????naa nTtnTxtx )()()(? ???????????ksaa jkjXTjX )(1)(? 離散信號(hào) x(n) 的頻譜與原模擬信號(hào)的關(guān)系： ???????kajTjkTjXTeX )2(1)( ???Tja eXjX???? ?? )()(?比較： 有 sTeza zHsH ?? )()(?在 中，令 σ=0（ r=1） ，也可得到這個(gè)結(jié)論。 S平面上的虛軸映射到 z平面的單位圓 . 當(dāng) σ0時(shí) , r1。 將 Ha(s)用部分分式表示： 將 Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到 ha(t)： 式中 u(t)是單位階躍函數(shù)。 為了保證轉(zhuǎn)換后的 H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求： 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為 Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是 ha(t) ，由拉普拉斯變換， ( ) [ ( ) ]aaH s L T h t? 設(shè)模擬濾波器 Ha(s)只有單階極點(diǎn) ， 且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次； 一 .脈沖響應(yīng)不變法 1()Niai iAHsss?? ??() 式中 si為 Ha(s)的單階極點(diǎn) 。轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)實(shí)現(xiàn) s平面的左半平面映射到 z平面的單位圓內(nèi)。)。 , 39。 %計(jì)算濾波器階數(shù) N和 3 dB截止頻率 [B, A]=butter(N1, wc, 39。s39。 As=30。 wp=2*pi*[3000,12022]。)。 %計(jì)算濾波器階數(shù) N和 3 dB截止頻率 [B, A]=butter(N1, wc, 39。s39。 As=30。 ws=2*pi*[3000,12022]。)。, 39。 %計(jì)算濾波器階數(shù) N和 3 dB截止頻率 [B, A]=butter(N1, wc,39。s39。 As=30。 ws=2*pi*5000。 帶阻： wp,ws均為二元向量， ftype=stop。s39。 As=30 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 高通、 帶通、 帶阻濾波器的幅頻響應(yīng)曲線及邊界頻率分別如下圖所示。 As=30。 ws=2*pi*12022。 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 運(yùn)行結(jié)果 : 橢圓模擬低通濾波器階數(shù) : N=4 模擬低通濾波器通帶邊界頻率 : wpo=+004 橢圓模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù) : B=［ － － 015 +007 － 004 +017 A=［ 1 +004 +008 +013 +017］ 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 濾波器損耗函數(shù)如圖 。) axis([0, 14, 70, 5]) 【 例 】 設(shè)計(jì)橢圓模擬低通濾波器。 ylabel(39。頻率 (kHz)39。 plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk)))。 wk=2*pi*fk。 % ［ B, A］ =ellip(N, Rp, As, wpo, ′s′)。 As=60。 ws=2*pi*12022。其調(diào)用格式如下 : 1） [z, p, k］ = ellipap(N, Rp, As) %計(jì)算歸一化（以通帶截 止頻率歸一化）系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)和增益。 圖 圖中的歸一化角頻率定義為： 對(duì)通帶截止頻率歸一化。 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 圖 五階切比雪夫 Ⅰ 型模擬低通濾波器損耗函數(shù) （例 ） 橢圓濾波器的典型幅頻響應(yīng)特性曲線如圖 。) axis([0, 14, 70, 5]) 【 例 】 設(shè)計(jì)切比雪夫 Ⅰ 型和切比雪夫 Ⅱ 型模擬低通濾波器。 ylabel(39。頻率 (kHz)39。 %在指定的頻率點(diǎn)上計(jì)算頻率響應(yīng) plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk)))。 wk=2*pi*fk。)。 ％計(jì)算切比雪夫 Ⅰ 型模擬低通濾波器階數(shù)和通帶邊界頻率 [B1, A1]=cheby1(N1, Rp, wp1, 39。s39。 As=60。 ws=2*pi*12022。 2） ［ N, wso］ = cheb2ord(wp, ws, Rp, As, ′s′) 3） ［ B, A］ = cheby2(N, Rp, wso, ′ftype′, ′s′) wso是切比雪夫 Ⅱ 型濾波器的阻帶截止頻率。 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù) cheb2ap, cheb2ord和 cheby2是切比雪夫 Ⅱ 型濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)。其調(diào)用格式如下 : 1） ［ Z, P, G］ = cheb1ap(N, Rp) %計(jì)算歸一化（以通 帶截止頻率歸一化）系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)和增益。 Ωp稱(chēng)為通帶截止頻率。 圖 (a)和 (b)分別畫(huà)出不同階數(shù)的切比雪夫 Ⅰ 型和Ⅱ 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 圖 不同階數(shù)的切比雪夫 Ⅰ 型和 Ⅱ 型濾波器幅頻特性 Ⅰ 型 Ⅱ 型 圖中的歸一化角頻率定義為： Ⅰ 型：對(duì)通帶截止頻率歸一化 Ⅱ 型：對(duì)阻帶截止頻率歸一化 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 我們這里僅介紹切比雪夫 Ⅰ 型濾波器的設(shè)計(jì)方法。這就說(shuō)明 buttord函數(shù)使用（ 3 dB 截止頻 a 5 4 3 2BH ( s )s A ( 2 ) s A ( 3 ) s A ( 4 ) s A ( 5 ) s A (6 )? ? ? ? ? ? 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 1． 切比雪夫?yàn)V波器有兩種形式： 一、振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的、在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的切比雪夫 Ⅰ 型濾波器； 二、振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)下降、在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫 Ⅱ 型濾波器。濾波器的損耗函數(shù)曲線如圖 所示。幅度 (dB)39。)。 grid on xlabel(39。 Hk=freqs(B, A, wk)。 fk=0:14000/512:14000。s39。s39。 As=30。 ws=2*pi*12022。這是因?yàn)閹V波器相當(dāng)于 N階低通濾波器與N ftype選項(xiàng)： 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 【 例 】 調(diào)用 buttord和 butter設(shè)計(jì)巴特沃斯低通模擬濾波器。缺省 ftype時(shí)設(shè)計(jì)帶通濾波器，通帶為頻率區(qū)間 wclωwcu。缺省 ftype時(shí)默認(rèn)設(shè)計(jì)低通濾波器。所以用參數(shù) ftype來(lái)區(qū)分。[B,A]=zp2tf(Z,P,K) B = 0 0 0 0 0 1 A = 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 由于高通濾波器和低通濾波器都只有一個(gè) 3 dB截止頻率 wc，因此僅由調(diào)用參數(shù) wc不能區(qū)別要設(shè)計(jì)的是高通還是低通濾波器。s39。由系數(shù)向量 B和 A寫(xiě)出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 （ ） N N 1a N N 1B ( s ) B ( 1 ) s B ( 2 ) s B ( N ) s B ( N 1 )H ( s )A ( s ) A ( 1 ) s A ( 2 ) s A ( N ) s A ( N 1 )??? ? ? ? ???? ? ? ? ?……（ ）、（ ）和（ ）式也適用于后面要介紹的切比雪夫和橢圓濾波器的 MATLAB設(shè)計(jì)函數(shù)。 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 5） ［ B, A］ =butter(N, wc, ′ftype′, ′s′) 計(jì)算巴特沃斯 模擬 濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量 B和 A。調(diào)用參數(shù) N和 wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和 3 dB截止頻率的歸一化值（關(guān)于 π歸一化），一般按格式 2）調(diào)用函數(shù) buttord計(jì)算 N和 wc。s39。As=30。ws=2*pi*12022。 wp、 ws和 wc是實(shí)際模擬角頻率（ rad/s）。s39。當(dāng) ws≤wp時(shí)，為高通濾波器； 當(dāng) wp和 ws為二元矢量時(shí)，為帶通或帶阻濾波器，這時(shí) wc也是二元向量。調(diào)用參數(shù) wp和 ws分別為數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值，要求 0≤wp≤1， 0≤ws≤1, 1表示數(shù)字頻率 π（對(duì)應(yīng)模擬頻率 Fs/2， Fs表示采樣頻率）。 1） [Z,P,K]=buttap(N) 該格式用于計(jì)算 N階巴特沃斯歸一化（ 3 dB截止頻率 Ωc=1）模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益因子。s39。 [Z,P,K]=buttap(N) %計(jì)算歸一化（以 3dB截止頻率歸一化） 系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)和增益。) 附例題的繪圖程序 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 例 2 假定的輸入信號(hào)的時(shí)域波形和頻譜 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 例 3 濾波器的輸出信號(hào)的時(shí)域波形和頻譜 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X (4)簡(jiǎn)單討論 sk r a dNcs s /5 2 )110( 21 ?????? ??將 Ωc代入 ()式 Nscs 21 )110( ????? ?得到： 第一 , 此值小于題目給定的值 ,說(shuō)明設(shè)計(jì)出的濾波器在fs=12kHz處的衰減 , 超過(guò) 30dB,過(guò)渡帶小于要求的 . dBs ?? 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X fp=5kHz αp=2dB fs=12kHz αs=30dB 要求設(shè)計(jì)的濾波器 設(shè)計(jì)的濾波器一 )()(lg20 dBjH a ?)/( sk ra d?0 ?10c??24dB2dB30dB3