【正文】 )j t j taH j h t e dt h t e dt?? ? ? ? ? ?? ? ??? 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù) |Ha(jΩ)|2用下式表示： 221()1 ( )aNcHj ?????() 巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法 N稱為濾波器的階數(shù) . (1)巴特沃斯低通濾波器的傳輸函數(shù) Ha(s) 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 圖 巴特沃斯幅度特性和 N的關(guān)系 )( ?jH a?0 c?1 N=2 N=4 N=8 2 21()1 ( )aNcHj ?? ???將幅度平方函數(shù) 21( ) ( )1 ( )aaNcH s H ssj????() 此式表明幅度平方函數(shù)有 2N個(gè)極點(diǎn) . 寫成 s的函數(shù)： 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 0)(1 22??? NcNjs令得 ?? NcNjs22)()12(1 ??? kje ?)12(22 )( ??? kjNcN ejs ?極點(diǎn) sk用下式表示： () Nkjck ejs2)12()(???? Nkjjc ee2122??? ??)2 1221( Nkjc e???? ?0 , 1 , 2 , . . . , 2 1kN?? 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 為形成穩(wěn)定的濾波器 ， 2N個(gè)極點(diǎn)中只取 s平面左半平面的 N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成 Ha(s)， 而右半平面的 N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha( s)。 3 177。 177。 7 177。 177。 177。 3 177。 177。 7 177。 177。 177。 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X () () / 1 0/ 1 0221 ( ) 1 01 ( ) 1 0psap NcaNsc???????? 關(guān)于 3dB截止頻率 Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照 ()式或 ()式求出， 10 . 1 2( 1 0 1 )sa Ncs?? ? ? ? () 由 ()式得到： () 由 ()式得到： 10 . 12( 1 0 1 )pa Ncp ?? ? ? ? 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X (4)總結(jié)低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下： ① 根據(jù)技術(shù)指標(biāo) Ωp,αp,Ωs和 αs，用 求出濾波器的階數(shù) N。 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 例 已知通帶截止頻率 fp=5kHz， 通帶最大衰減αp=2dB ， 阻帶截止頻率 fs=12kHz ， 阻帶最小衰減αs=30dB， 按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器 。 ， 將共軛極點(diǎn)放在一起 ,形成因式分解形式 : 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X )16 1 8 )(16 1 8 )(1(1)(22 ?????? ppppppH a上式分母也可以展開成為五階多項(xiàng)式 5 4 3 24 3 2 1 01()aHp p b p b p b p b p b? ? ? ? ? ? 式 中 b0=, b1=, b2=, b3=, b4= 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 先求 3dB截止頻率 Ωc。 xt=cos(2*pi*4*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)。f(kHz)39。b2=。 Ha=Qc^5./((j*Q).^5+b4*Qc*(j*Q).^4+b3*Qc^2*(j*Q).^3+b2*Qc^3*(j*Q).^2+b1*Qc^4*(j*Q)+b0*Qc^5)。,12,Has,39。),axis([0 30 70 2]),xlabel(39。)。,xlabel(39。 [Z,P,K]=buttap(N) %計(jì)算歸一化（以 3dB截止頻率歸一化） 系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)和增益。 1） [Z,P,K]=buttap(N) 該格式用于計(jì)算 N階巴特沃斯歸一化（ 3 dB截止頻率 Ωc=1）模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益因子。當(dāng) ws≤wp時(shí)，為高通濾波器； 當(dāng) wp和 ws為二元矢量時(shí)，為帶通或帶阻濾波器，這時(shí) wc也是二元向量。 wp、 ws和 wc是實(shí)際模擬角頻率（ rad/s）。As=30。調(diào)用參數(shù) N和 wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和 3 dB截止頻率的歸一化值（關(guān)于 π歸一化），一般按格式 2）調(diào)用函數(shù) buttord計(jì)算 N和 wc。由系數(shù)向量 B和 A寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 （ ） N N 1a N N 1B ( s ) B ( 1 ) s B ( 2 ) s B ( N ) s B ( N 1 )H ( s )A ( s ) A ( 1 ) s A ( 2 ) s A ( N ) s A ( N 1 )??? ? ? ? ???? ? ? ? ?……（ ）、（ ）和（ ）式也適用于后面要介紹的切比雪夫和橢圓濾波器的 MATLAB設(shè)計(jì)函數(shù)。[B,A]=zp2tf(Z,P,K) B = 0 0 0 0 0 1 A = 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 由于高通濾波器和低通濾波器都只有一個(gè) 3 dB截止頻率 wc，因此僅由調(diào)用參數(shù) wc不能區(qū)別要設(shè)計(jì)的是高通還是低通濾波器。缺省 ftype時(shí)默認(rèn)設(shè)計(jì)低通濾波器。這是因?yàn)閹V波器相當(dāng)于 N階低通濾波器與N ftype選項(xiàng)： 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 【 例 】 調(diào)用 buttord和 butter設(shè)計(jì)巴特沃斯低通模擬濾波器。 As=30。s39。 Hk=freqs(B, A, wk)。)。濾波器的損耗函數(shù)曲線如圖 所示。 圖 (a)和 (b)分別畫出不同階數(shù)的切比雪夫 Ⅰ 型和Ⅱ 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 圖 不同階數(shù)的切比雪夫 Ⅰ 型和 Ⅱ 型濾波器幅頻特性 Ⅰ 型 Ⅱ 型 圖中的歸一化角頻率定義為： Ⅰ 型：對通帶截止頻率歸一化 Ⅱ 型：對阻帶截止頻率歸一化 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 我們這里僅介紹切比雪夫 Ⅰ 型濾波器的設(shè)計(jì)方法。其調(diào)用格式如下 : 1） ［ Z, P, G］ = cheb1ap(N, Rp) %計(jì)算歸一化（以通 帶截止頻率歸一化）系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)和增益。 2） ［ N, wso］ = cheb2ord(wp, ws, Rp, As, ′s′) 3） ［ B, A］ = cheby2(N, Rp, wso, ′ftype′, ′s′) wso是切比雪夫 Ⅱ 型濾波器的阻帶截止頻率。 As=60。 ％計(jì)算切比雪夫 Ⅰ 型模擬低通濾波器階數(shù)和通帶邊界頻率 [B1, A1]=cheby1(N1, Rp, wp1, 39。 wk=2*pi*fk。頻率 (kHz)39。) axis([0, 14, 70, 5]) 【 例 】 設(shè)計(jì)切比雪夫 Ⅰ 型和切比雪夫 Ⅱ 型模擬低通濾波器。 圖 圖中的歸一化角頻率定義為： 對通帶截止頻率歸一化。 ws=2*pi*12022。 % ［ B, A］ =ellip(N, Rp, As, wpo, ′s′)。 plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk)))。 ylabel(39。 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 運(yùn)行結(jié)果 : 橢圓模擬低通濾波器階數(shù) : N=4 模擬低通濾波器通帶邊界頻率 : wpo=+004 橢圓模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù) : B=［ － － 015 +007 － 004 +017 A=［ 1 +004 +008 +013 +017］ 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 濾波器損耗函數(shù)如圖 。 As=30。s39。 ws=2*pi*5000。s39。, 39。 ws=2*pi*[3000,12022]。s39。)。 As=30。 %計(jì)算濾波器階數(shù) N和 3 dB截止頻率 [B, A]=butter(N1, wc, 39。)。 為了保證轉(zhuǎn)換后的 H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求： 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為 Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是 ha(t) ，由拉普拉斯變換， ( ) [ ( ) ]aaH s L T h t? 設(shè)模擬濾波器 Ha(s)只有單階極點(diǎn) ， 且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次； 一 .脈沖響應(yīng)不變法 1()Niai iAHsss?? ??() 式中 si為 Ha(s)的單階極點(diǎn) 。 S平面上的虛軸映射到 z平面的單位圓 . 當(dāng) σ0時(shí) , r1。 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 四 .濾波器的傳輸函數(shù) 一般 Ha(s)的極點(diǎn) si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn) . 1()Niai iAHsss?? ?? 在 中將一對復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 用脈沖響應(yīng)不變法將 Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 1( ) 。 首先將 Ha(s)寫成 ()式的形式， 如極點(diǎn) s1,2=σ1177。 時(shí)域特性好。 S平面上的左半平面映射到 z平面的單位圓內(nèi) . S平面上的右半平面映射到 z平面的單位圓外 . 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 另外 ， z=esT是一個(gè)周期函數(shù) ， 可寫成 2(),j M TsT T j T T Te e e e e M??? ????? 為任意整數(shù)TMTT )2( ?? ?????所以 可見數(shù)字頻率 ω與模擬頻率 Ω是線性關(guān)系但不是一一對應(yīng)的 . 第 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X σ=0, r=1 σ0, r1 σ0, r1 MT ?? 2???,...2,1,0 ???M.,映射到同一點(diǎn)與平面映射到若TZT??????????圖 z=esT,s平面與 z平面之間的映射關(guān)系 0 1 ]Im[zj]Re[z0 ?j?T/?T/??T/3?T/3??s平面 z平面 采樣信號 的頻譜與原模擬信號的關(guān)系： ???????naa nTtnTxtx )()()(? ???????????ksaa jkjXTjX )(1)(? 離散信號 x(n) 的頻譜與原模擬信號的關(guān)系： ???????kajTjkTjXTeX )2(1)( ???Tja eXjX???? ?? )()(?比較： 有 sTeza zHsH ?? )()(?在 中，令 σ=0（ r=1） ，也可得到這個(gè)結(jié)論。 將 Ha(s)用部分分式表示： 將 Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到 ha(t)： 式中 u(t)是單位階躍函數(shù)。轉(zhuǎn)