【正文】 指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。為了簡化計算，一般取 T=2 s。 這時，頻譜混疊程度完全取決于 ? s， ? s越大，混疊越小。 當給定數(shù)字低通的技術(shù)指標時： 由于數(shù)字濾波器 H(ejω) 最高頻率在 ω=π處，因此， ωsπ，按照 Ωs=ωs/T，那么 Ωsπ/T，這樣 T可以任選。由于實際濾波器是有限階的，因此有一定的過渡帶，頻響特性不是帶限于 π/T。 ?（ 4） 用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器 Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(z)。這里主要是邊界頻率 ωp和 ωs的轉(zhuǎn)換， ? p和 ? s指標不變。 (b)H2(z) 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 4. 模擬濾波器設(shè)計 IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。 解 首先按照圖 Ha(s)為 1( ) ,aHs s R C? ????? 利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H1(z)為： 1 1() 1 THz ez????? ?6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H2(z)為 11112 1212112( 1 )( ) ( )12,22a zsT zzH z H sazTTTT???????????????????????H1(z)和 H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖 (a),(b)所示 。 幅度特性和相位特性失真的情況如圖 。 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 雙線性變換法的缺點 :ω與 Ω之間是非線性關(guān)系，使數(shù)字濾波器頻響曲線不能保真地模仿模擬濾波器頻響的曲線形狀。 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 在 ω=0附近接近線性關(guān)系； 當 ω增加時， Ω增加得愈來愈快； 當 ω趨近 π時，Ω趨近于 ∞。 )2 Tt a n (T2 1???（ ） 通過歐拉公式，可得： 2Tj2Tj2Tj2Tj1111eeee.T2j??????????平面映射：平面 1SS ?得：＝令 11s ??? jjsTSezZS 11 ?? 平面的映射：平面雙線性變換 消除頻譜混疊現(xiàn)象 H(z) 因果穩(wěn)定的 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 )2 Tt a n (T2 1???11112??????zzTS（ ） ST2ST2ST21ST21Z?????? （ ） TSTS11e1e1.T2S????? （ ） 分析模擬頻率 Ω和數(shù)字頻率 ω之間的關(guān)系。當 Ω1從 π/T經(jīng)過 0變化到 π/T 時， Ω則由－ ∞經(jīng)過 0變化到 +∞，實現(xiàn)了 s平面上整個虛軸完全壓縮到 s1平面上虛軸的 177。 ％用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 省略繪圖部分。)。 ％計算相應(yīng)的模擬濾波器階數(shù) N和 3 dB截止頻率 wc ［ B, A］ =butter(N, wc, 39。s39。 rs=10。 ws=*pi/T。本例調(diào)用 MATLAB信號處理工具箱函數(shù)進行設(shè)計。設(shè)計過程與例 ，求出階數(shù) N=4。設(shè)采樣周期為 T，則： ppp0 . 2 r a d / s , 1 d BTT??? ?? ? ?sss0 .3 5 r a d / s , 4 0 d BTT??? ?? ? ?6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 (2） 設(shè)計相應(yīng)的模擬濾波器，得到模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。 先求出 Ha(s) 極點： s1,2=σ1177。 TsTs zz 21 ee 21 ?? ，264 4 2 132 2 e)(e21) )(???????????zTzzTzHTT6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 11 1212 120 .3 2 7 6()1 1 .0 3 2 8 0 .2 4 70 .0 4 8 5()1 1 .9 3 0 7 0 .9 3 7 5zHzzzzHzzz????????????6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 這里選取 T=1 s和 T= s兩種情況，以便進行比較。 8. matlab中脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換函數(shù) 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 例 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù) Ha(s)為 用脈沖響應(yīng)不變法將 Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。為避免這一現(xiàn)象，令 π||j)e( aj ???????? ??? ，THH6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 6. 修正公式 一般 Ha(s)的極點 si是一個復(fù)數(shù) ， 且以共軛成對的形式出現(xiàn) ，一對復(fù)數(shù)共軛極點形成一個二階基本節(jié) 。 T???優(yōu)點： ?頻率坐標變換是線性的，即 ?數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，時域特性逼近好。 此時 s平面與 z平面的映射關(guān)系如圖所示。 TMTTTTsT ?????? ???π2jj eeeee ????另外，注意到 z=esT是一個周期函數(shù)，可寫成 當 σ不變，模擬頻率 Ω變化 2π/T的整數(shù)倍時，映射值不變。 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 ^^( ) ( ) [ ( ) ]()????? ? ? ?????? ? ??????s t s ta a ans nTaH s h t e d t h t n T e d th n T e 式中 ha(nT)是 ha(t)在采樣點 t=nT時的幅度值 ， 它與序列h(n)的幅度值相等 ， 即 h(n)=ha(nT)， 因此 ， 得到： ^ ( ) ( ) ( ) ( )s T s Ts n T naz e z ennH s h n e h n z H z?? ??? ? ???() 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 表明理想采樣信號 的拉氏變換與相應(yīng)的采樣序列 h(n)的 Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： )(?a th3. s平面和 z平面之間的映射關(guān)系 ^( ) ( ) ( )a anh t h t t n T??? ? ????設(shè) ha(t)的采樣信號用 表示 ， ^ ()ahtsTez ?() 設(shè) s=σ+jΩ, z=rejω， 由上式可 得： rejω=eσTejΩT ???????Tr T???e() 010101rrr??????????? ???，，s平面的虛軸 (σ=0) → z平面的單位圓 (r=1) s平面左半平面 (σ0) → z平面單位圓內(nèi) (r1) s平面右半平面 → z平面單位圓外 (r1) 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 即： 說明： Ha(s)因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到的 H(z)是因果穩(wěn)定。 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 (s)轉(zhuǎn)換成 H(z)穩(wěn)定條件 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為 Ha(s),其單位沖激響應(yīng)是 ha(t) ( ) [ ( ) ]aaH s L T h t? 設(shè)模擬濾波器 Ha(s)只有單階極點 ， 且分母多項式的階次高于分子多項式的階次 ， 將 Ha(s)用部分分式表示： 1()Niai iAHsss?? ??() 將 Ha(s)進行逆拉氏變換得到 ha(t)： 1( ) ( )iNs n taiih t A e u t?? ? () 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 2. 脈沖響應(yīng)不變法原理 對 ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為 T，得到： 1( ) ( ) ( )iNs n Taiih n h n T A e u n T??? ?() 對上式進行 Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)： 11() 1iNisTiAHzez ??? ?? () 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 1()Niai iAHsss?? ??幾點結(jié)論 : kSS?sTez ?1） 2）系數(shù)相同 3）模擬濾波器是穩(wěn)定的，數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。 10階巴特沃思帶阻濾波器和 6階橢圓帶阻濾波器損耗函數(shù)分別如圖 (a)和 (b) 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計 IIR數(shù)字低通濾波器 為了保證轉(zhuǎn)換后的 H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求 ， 對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 ％計算帶阻濾波器階數(shù) N和 3 dB ［ BSe, ASe］ =ellip(Ne, Rp, As, wep, ′stop′, ′s′)。 ％計算帶阻濾波器階數(shù) N和 3 dB ［ BSb, ASb］ =butter(Nb, wc, ′stop′, ′s′)。 sl su s4 kH z , 7 kH z , 20 dB 。 Rp=1。 wp 220Bsps? ?? ?（ ） wp 220B??????? ?（ ） 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 所以將將歸一化通帶邊界頻率為 λp的低通原型濾波器Q(p)轉(zhuǎn)換為所希望的帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù) : （ ） wp 220BP ( ) ( ) BspsH s G p?????與低通到帶通變換情況相同，有 2p l p h s l s h 0? ? ? ? ???（ ） 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 【 例 】 分別設(shè)計巴特沃思、橢圓模擬帶阻濾波器，要求阻帶上、下邊界頻率分別為 4 kHz和 7 kHz，通帶上、下邊界頻率分別為 2 kHz和 9 kHz，通帶最大衰減為 1 dB，阻帶最小衰減為 20 dB 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 解 所給帶阻濾波器指標為 調(diào)用 MATLAB函數(shù) buttord, butter, ellipord和 ellip直接設(shè)計巴特沃思帶阻、橢圓帶阻模擬濾波器的設(shè)計程序 : ％例 設(shè)計模擬帶阻濾波器程序 : wp=2*pi*［ 2022, 9000］ 。 Ω0稱為帶阻濾波器的阻帶中心頻率。 ％計算帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù)向量 BB和 AB 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 程序運行結(jié)果 : 階數(shù) : N=5 系統(tǒng)函數(shù)分子多項式系數(shù)向量 : BB=+021 * ［ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0］ 系統(tǒng)函數(shù)分母多項式系數(shù)向量 : AB=［ 1 +004 +009 +014 +019 +023 +028 +032 +037 +041 +045 ］ 由運行結(jié)果可知，帶通濾波器是 2N階的。 ％設(shè)置帶通濾波器指標參數(shù) ［ N, wc］ =buttord(wp, ws, Rp, As, ′s′)。 Rp=1。設(shè)計程序 : 6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 ％例 設(shè)計巴特沃思模擬帶通濾波器程序 : wp=2*pi*［ 4000, 7000］ 。 因為 λ=λs的映射為－ Ωsl，所以可求得歸一化阻帶邊界頻率為 轉(zhuǎn)換得到的歸一化低通濾波器指標為 : 通帶邊界頻率 λp=1，阻帶邊界頻率 λs=，通帶最大衰減 ? p=1 dB，阻帶最小衰減 ? s=20 dB 22 20 s lss l w2 8 3 . 1 1 1 1 1 . 9 6 3 03 . 1 1 1 1 3fffB?? ?? ? ??6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 ② 設(shè)計相應(yīng)的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù) Q(p)。