【正文】 為實序列時，則當(dāng)?????? ???????d)1(Y)(xj21)n(y)n(x)n(1cn。RzR,)]n(y[Z)z(Y。 ? ]1m i n []1m ax [)1()(21)()( ,1*?????????????? ??yxyxcnRRvRRdYxjnynx，則 ?????。 11() 　　　　　　 1 | |1X z zz ?? ? ? ??2111( ) | | | | | |( 1 ) ( 1 )aY z a z aa z a z???? ? ???211d( ) ( )2 π j1 1 1 d 2 π j ( 1 ) ( 1 )1???? ????????????cczW z Y Xaaaz??????? ? ??c?c 解 : 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 W(z)的收斂域為 |a||z|≤∞ ；被積函數(shù) υ 平面上的收斂域為 max(|a|, 0)|υ|min(|a － 1|, |z|)， υ平面上極點： a、 a－ 1和 z， c內(nèi)極點： z=a。, bzbz azbz abz z ????????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ? (復(fù)卷積定理 ) ????cdvvvzYvXjnwZzW1)()(21)]([)(?則有：????????????yyxxRRnyZzYRRnxZzXnynxnwz)]([)(z)]([)(),()()(如果],m i n [],m ax [????????????yxyxyxyxRzRvRzRRRzRR第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 其中 ,C是在變量 V平面上， Z(v) ,Y(z/v) 公共收斂域內(nèi)環(huán)原點的一條逆時針單封閉圍線 . 內(nèi)的全部極點。則對于因果序列 )z(Xlim)0(x)n(xz ???第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ? (卷積定理 ) ，而且如果???????????????????nnxxmRzR,)]n(h[Z)z(HRzR,)]n(x[Z)z(X)mn(h)m(x)n(h)n(x)n(y ],m i n [],m a x [)()()]([)(nn ???? ????RRzRRzHzXnyZzYxx則有：第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 [例 8] .ab),n(h)n(x)n(y),1n(uab)n(ub)n(h),n(ua)n(x 1nnn??????? ?求已知。RzR)z(X)]n(x[Z*xx***?? ???如果 則若 ?? ??? xx RzR,)z(X)]n(x[Z??????xx R1zR1。)za(X)]n(xa[Z則若 ?? ??? xx RzR,)z(X)]n(x[Z4. X(Z)的微分 則如果 ?? ??? xx RzR,)z(X)]n(x[Z?? ???? xx RzR,)z(Xdzdz)]n(nx[Z第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 – 5. 復(fù)序列的 共軛 的共軛序列。)z(Xz)]mn(x[Z如果 則有： ?? ??? xx RzR,)z(X)]n(x[Z[例 ] 求序列 x(n)=u(n)u(n3)的 z變換。 )R,Rm i n (z)R,Rm a x (),z(bY)z(aX)]n(by)n(ax[Zyxyx ???? ????? Z變換的性質(zhì)和定理 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 [例 ]已知 ,求其 z變換。 *應(yīng)先展成部分分式再做除法。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 [例 ] 試用長除法求 的 z反變換。 ? 若 收斂域 |Z|Rx, x(n)必為左邊序列，主要展成 Z的正冪級數(shù)。 [例 ]利用部分分式法，求 解： 34])()2[(21 ??? ?zzzXzA))(2()( 21???????zAzAzzzzzX第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 1234)(??????? zzzzzX????????????0,00,)(31234)(,2nnnxznn因收斂域為31])()[( ???? ?zzzXzA11 13121134)(?? ??????? zzzX第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ? 例 ， 逆 Z變換。 根據(jù)被積函數(shù) F(z)， 按 n≥ 0和 n0兩情況分別求 x(n)。 當(dāng) n≥ 0時 ， 圍線積分 c內(nèi)有二個極點 z=a和 z=a1. 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 x(n)=(anan)u(n) 1( ) Re [ ( ) , ] Re [ ( ) , ]x n s F z a s F z a ??? 因此： 12211( 1 ) ( 1 )( ) ( )( ) ( 1 ) ( ) ( )nnza zanna z a zz a z az a az a z a z aaa??? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ? ???第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 (2) 收斂域 |z||a| 10 ?? ? ? ?, ( ) R e [ ( ) , ] R e [ ( ) , ]n x n s F z a s F z a 這種情況原序列是左序列 ， 無須計算 n≥ 0情況 。 解： 該例題沒有給定收斂域 ， 為求出唯一的原序列x(n)， 必須先確定收斂域 。因此 C內(nèi)有極點： z=1/4(一階 ), z=0為 (n+1)階極點；而在 C外僅有 z=4(一階 )這個極點 : 2,4151414)4()]41)(4/([Re)(2141??????????????nzzzsnxnnzn??????????????2,41511,4151)(2nnnxnn因此第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 收斂域有三種選法 : (1)|z||a1|,對應(yīng)右序列； (2)|a||z||a1|,對應(yīng)雙邊序列； (3) |z||a|， 對應(yīng)左序列 。 mzkz? ? ??? ??cmzznnmzzXsdzzzXj])([Re)(21 11?條件 :F(z)=X(z)zn1的分母階次比分子階次必須高二階以上。 第二部分收斂域為 |az－ 1|1, 得到 |z||a|。 ||()??? ? ?? ? nnnX z a z10??? ? ?? ? ? ?????n n n nnna z z z 10?? ???????n n n nnna z z a11()11 ?????azXza z a z2111 | | | | | |( 1 ) ( 1 )???? ? ???a a z aa z a z 【 例 】 x(n)=a|n|, a為實數(shù)，求 x(n)的 Z變換及其收斂域。 ( ) ( ) nNnX z R n z??? ? ?? ?收斂域為： 0z≤∞ 解： 但由結(jié)果的分母可以看出，似乎 z=1是 X(z)的極點，但同時分子多項式在 z=1時也有一個零點，極、零點對消，X(z)在單位圓上仍存在，求 RN(n)的傅里葉變換，可將z=ejω代入 X(z)得到。 解： 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ]Re[ z]Im [ zja0收斂域 ： az ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 [例 ]求序列 變換及收斂 域。為極點，在圓。 021 ?? nn 解：這相當(dāng) 時的有限長序列， 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ?? nnnnnnnnn)az()az(az)az(zaz)n(ua)z(X12110101 ?????????????????????????當(dāng) 時，這是無窮 遞縮 等比級數(shù)。 ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ??????0n,00n),n(x)n(x反因果序列 ?? xRz公共收斂域為第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ???????????????? ???01n nnnnn z)n(xz)n(xz)n(x)z(X 0 n ??X(n) ?? xRz收斂域為 ??? xRz0收斂域為當(dāng) RxRx+時，其收斂域為 : ?? ?? xx RzR第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ?xR]R e [ z]I m [ zj?xR第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 1)()]([ 0 ????? ?????? ZZnnZ nn其收斂域應(yīng)包括 即 充滿 整個 Z平面。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 0 n2 n1 n (n) . . . x ??? ???n,nnn),n(x)n(x其他021????? Znn 0 :0 ,0 21????21)()(nnnnznxzX?????? Z :n ,n 000 21????? Z :n ,n 000 21 序列特性對收斂域的影響 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 0RezImz第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ??????110 nn,nn),n(x)n(x? ??????? ??101)()(nn nnn znxznxx(n) n 0 n1 1 ... 收斂域為 0≤|z|∞ 收斂域為 Rx|z|≤∞ 兩者公共收斂的域為 Rx|z|∞ ?????1)()(nnnznxzX第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 收斂域 ?xR]Re[ z]zI m [j*收斂域一定在模最大的極點所在的圓外 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 jje( e ) ( ) | zX X z ????????????nnnxnxX ?? jj e)()]([FT)e(三 .傅里葉變換和 Z變換（ ZT）之間的關(guān)系 ????????nnznxnxZzX )()]([)(表明：單位圓上的 Z變換就是序列的傅里葉變換。 ????????? Mznxnn)(即：二 .收斂域 1).定義 2).收斂條件 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 收斂域為 : ?? ?? xx RzR?xR]R e [ z]I m [ zj?xR第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ()()()PzXzQz? 常用的 Z變換是一個有理函數(shù)，用兩個多項式之比表示： 分子多項式 P(z)的根是 X(z)的零點，分母多項式 Q(z)的根是 X(z)的極點。 序列的 Z變換 第 2章