【正文】 該例說(shuō)明 ：處于原點(diǎn)處的零點(diǎn)或極點(diǎn) ， 由于零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度或者是極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度始終為 “ 1” ， 因此 原點(diǎn)處的零極點(diǎn)不影響系統(tǒng)的頻率特性 。 解： 由 H(z)=z1， 極點(diǎn)為 z=0， 幅度特性 |H(e jω)|=1， 相位特性 φ(ω)=ω， 頻響如圖 。 結(jié)論： 極點(diǎn)位置影響頻響的峰值位置及尖銳程度， 零點(diǎn)位置影響頻響的谷點(diǎn)位置及形狀。 對(duì)于零點(diǎn)，情況相反，當(dāng) B點(diǎn)轉(zhuǎn)到 零點(diǎn)附近 ，零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度變短，幅度特性將 出現(xiàn)谷值 ，零點(diǎn)愈靠近單位圓，谷值愈接近零。 當(dāng) B點(diǎn)轉(zhuǎn)到 極點(diǎn)附近 時(shí)，極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度最短，因而幅度特性可能 出現(xiàn)峰值 ，且極點(diǎn)愈靠近單位圓，極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度愈短，峰值愈高愈尖銳。 所有零點(diǎn)矢量相角之和所有零點(diǎn)矢量相角之和所有極點(diǎn)矢量模之積所有零點(diǎn)矢量模之積)()()(]a r g []a r g [)(ω)()()()(zHzHMNBdBcMNzHzHBdBceHrrrrrrrrj??????????????????圖 頻響的幾何表示法 下圖表示了有一個(gè)零點(diǎn)和二個(gè)極點(diǎn)的頻率特性。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) ()111111( ) ( )()()Nrj j jrNrrNrj rNrrNNrrrrcBH e A H e edBcBH e AdB? ? ? ??? ? ? ??????????????????() () 式中： 系統(tǒng)的傳輸特性或信號(hào)的頻率特性由 ()式和 ()式確定。 下面用幾何方法來(lái)研究系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響 。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 利用系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性 將 ()式因式分解 ， 得： 式中： A=b0/a0， 影響傳輸函數(shù)的幅度大??； cr是 H(z)的 零點(diǎn) ， dr是其 極點(diǎn) 。 具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，預(yù)先將 h’(n)存貯起來(lái)，備運(yùn)算時(shí)應(yīng)用。 方法 ：將圖 (a)的 h(n)從 N到 N截取一段，再向右移，形成如圖 (b)所示的 h’(n)序列，將 h’(n)作為具體實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)。 嚴(yán)格地講，這種系統(tǒng)是無(wú)法具體實(shí)現(xiàn)的。 其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|， 這是一個(gè)收斂的雙邊序列 ， 如圖 (a)所示 。 其單位脈沖響應(yīng) h(n)=(anan)u(n1)(見例題 )， 這是一個(gè)非因果且不收斂的序列 。 單位脈沖響應(yīng)：h(n)=(anan)u(n)(見例題 )， 這是一個(gè)因果序列 ， 但不收斂 。 211( ) , 0 1( 1 )( 1 )aH z aa z a z??? ? ???解： H(z)的極點(diǎn)為 z=a， z=a1，如圖所示。 ? 具體系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性可由系統(tǒng)函數(shù)的 極點(diǎn)分布 確定。 ()nhn?? ?????穩(wěn)定系統(tǒng) 要求 ， 對(duì)照 Z變換定義 ， 系統(tǒng)穩(wěn)定要求 收斂域包含單位圓 。 解： 對(duì)差分方程進(jìn)行 Z變換： 11( ) ( ) ( 1 ) ( )2 ( )()1Y z bz Y z by X zb X zYzbz??? ? ? ???? 而 11( ) ,1X z z aaz ????于是 1 1 121()1 ( 1 )( 1 )bYzb z a z b z? ? ???? ? ? 收斂域?yàn)椋?|z|max(|a|,|b|) 1 1 11( ) 2 ( ), 0n n ny n b a b nab? ? ?? ? ? ??式中第一項(xiàng)為零輸入解 ， 第二項(xiàng)為零狀態(tài)解 。 求零輸入解必須考慮初始條件，用單邊 Z變換求解。 對(duì) ()式進(jìn)行 Z變換： 00( ) ( )NNkkkka y n k b x n k??? ? ???() 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，稱為 零狀態(tài)解 :H(z)X(z) 與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，稱為 零輸入解 。 N階線性常系數(shù)差方程為： 利用線性和序列移位性 對(duì)于 N階差分方程，求其解必須已知 N個(gè)初始條件。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 2. 序列移位 設(shè) X(z)=ZT［ x(n)］ , R x|z|R x+ 則 ZT［ x(nn0)］ = zn0X(z), R x|z|R x+ () 3. 乘指數(shù)序列 設(shè) X(z)=ZT［ x(n)］ , R x|z|R x+ y(n)=anx(n), a為常數(shù) 則 Y(z)=ZT［ anx(n)］ =X(a1 z) |a|R x |z| |a|R x+ () 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 4. 序列乘 n 設(shè) ( ) [ ( ) ]()[ ( ) ]xxxxX z Z T x n R z RdX zZ T nx n z R z Rdz????? ? ?? ? ? ?則 () 5. 復(fù)序列的共軛 設(shè) 6. 初值定理 設(shè) x(n)是因果序列 ， X(z)=ZT［ x(n)］ ( 0 ) l i m ( )xx X z???() 則 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 7. 終值定理 若 x(n)是因果序列 ， 其 Z變換的極點(diǎn) ， 除可以 有一個(gè)一階極點(diǎn)在 z=1上 ， 其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi) ， 則 ： 終值定理也可用 X(z)在 z=1點(diǎn)的留數(shù)表示： 如果單位圓上 X(z)無(wú)極點(diǎn)，則 x(∞)=0。n0時(shí)， c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn) z=0，且是 n階極點(diǎn)，改求 c外 n0時(shí) , 1( ) Re s [ ( ) , ] Re s [ ( ) , ]x n F z a F z a ?? ? ?122111( 1 ) ( 1 )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nnzazaa z a zz a z aa z a z a a z a z a ????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?()n n n na a a a??? ? ? ? ? ?第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 最后將 x(n)表示成封閉式： x(n)=(a－ n－ an)u(－ n－ 1) （ 3） 收斂域?yàn)?|a||z||a－ 1|: 這種情況對(duì)應(yīng)的 x(n)是雙邊序列。 1( ) R e s [ ( ) , ] R e s [ ( ) , ]x n F z a F z a ???12211( 1 ) ( 1 )( ) ( )( ) ( 1 ) ( ) ( )nnzazaa z a zz a z az a a z a z a z a ??? ????? ? ? ?? ? ? ? ?nnaa ???第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) （ 2） 收斂域?yàn)?|z||a|: 這種情況原序列是左序列，無(wú)須計(jì)算 n≥0情況。圖中有兩個(gè)極點(diǎn)： z=a和 z=a－ 1， （ 1） |z||a－ 1|，對(duì)應(yīng)的 x(n) （ 2） |z||a|，對(duì)應(yīng)的 x(n) （ 3） |a||z||a－ 1|，對(duì)應(yīng)的 x(n) 211( ) , | | 1( 1 ) ( 1 )aX z aa z a z ?? ???第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 圖 例 X(z)的極點(diǎn) 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 下面分別按照不同的收斂域求其 x(n) （ 1） 收斂域?yàn)?|z||a－ 1|: 這種情況的原序列是因果的右序列，無(wú)須求 n0時(shí)的x(n)。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) [例 ] 已知 , 求其逆變換 x(n) 解 該例題沒有給定收斂域，為求出唯一的原序列 x(n)，必須先確定收斂域。 NMn≥1 () 圖 例中 n0時(shí) F(z)極點(diǎn)分布 所以 ， n＜ 0時(shí) ， 改求圓外極點(diǎn)留數(shù) ， 但本例題中圓外沒有極點(diǎn) (見圖 )， 故 n＜ 0， x(n)＝ 0。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) （ 1） n≥0 時(shí) ， 只有一個(gè)極點(diǎn)： ( ) R e [ ( ) , ]()nzanx n s F z azzazaa?????? （ 2） n0時(shí) ， 增加 z=0的 n階極點(diǎn) ， 不易求留數(shù) ， 采用留數(shù)輔助定理求解 ， 檢查 ()式是否滿足 ， 由于 n0， 只要 NM≥0，()式就滿足