【正文】 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 設(shè) h(n)進(jìn)行 Z變換 ， 得到 H(z)， 一般稱 H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) ， 它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性 。 解：將已知差分方程進(jìn)行 Z變換 11( ) ( ) ( 1 ) ( )2 ( )()1Y z bz Y z by X zb X zYzbz??? ? ? ????式中， 11( ) ,1X z z aaz ????于是 1 1 121()1 ( 1 )( 1 )bYzb z a z b z? ? ???? ? ?第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 收斂域?yàn)?|z|max(|a|,|b|)， 1 1 11( ) 2 ( ), 0n n ny n b a b nab? ? ?? ? ? ??式中第一項(xiàng)為零輸入解 ， 第二項(xiàng)為零狀態(tài)解 。 下面先求移位序列的單邊 Z變換 。 對(duì) ()式進(jìn)行 Z變換時(shí) ， 注意這里要用單邊 Z變換 。 設(shè) N階線性常系數(shù)差方程為 00( ) ( )NNkkkka y n k b x n k??? ? ???() 如果輸入序列 x(n)是在 n=0以前 ∞時(shí)加上的 ， n時(shí) 刻的 y(n)是穩(wěn)態(tài)解 ， 對(duì) ()式求 Z變換 ， 得到 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 0000001( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )()( ) [ ( ) ]NNkkkkkkNkkkNkkkNkkkNkkka Y z z b X z zbzY z X zazY z H z X zbzHzazy n Z T Y z?????????????????????????式中 () () 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 2. 求暫態(tài)解 對(duì)于 N階差分方程 ， 求暫態(tài)解必須已知 N個(gè)初始條件 。 ()式還可以表示成下式： 2 11( ) ( ) ( )2 dzx n X z X zjz???? ? ??? ?第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 利用 Z變換解差分方程 在第一章中介紹了差分方程的遞推解法 ， 下面介紹 Z變換解法 。y*(n) 按照 ()式 ， 得到 11( ) [ ( )] ( ) (( ) )2 czW z Z T w n X v Y v d vjv?? ? ??? ? 按照 ()式 ， R xR y|z|R x+R y+， 按照假 設(shè) ， z=1在收斂域中 ， 令 z=1代入 W(z)中 。 211211( ) ,( 1 ) ( 1 )1 ( 1 ) 1()2 ( 1 ) ( 1 )1caY z a z aaz aza dvWzuj av av vz?????? ? ??????????11( ) R e [ ( ) , ] ,1( ) ( )nW z s F v a a zazw n a u n?? ? ? ? ???第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 (Parseval)定理 利用復(fù)卷積定理可以證明重要的怕斯維爾定理 。 010( 1 ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1,01mmmnmmy n h m x n ma u m u n maana?? ????????????? ? ?????第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 11111( 2 ) ( ) ( ) ( )1( ) [ ( ) ] ,11( ) [ ( ) ] , 111( ) ( ) ( ) , 1( 1 ) ( 1 )1()2 ( 1 ) ( )nncy n h n x nH z Z T a u n z aazX z Z T u n zzY z H z X z zz azzy n dzz z a????????? ? ??? ? ??? ? ? ???????由收斂域判定 y(n)=0,n0。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 例 h(n)=anu(n),|a|1，網(wǎng)絡(luò)輸入序列 x(n)=u(n)， 求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列 y(n)。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 111()[ ( ) ] ( ) [ ]( ) ( )[ ( ) ]()[ ( ) ]nnnnnnnndX z d dx n z x n zdz dz dznx n z z nx n zz Z T nx ndX zZ T nx n zdz????? ?? ? ????? ? ? ?? ?? ? ?????? ? ? ????????? n 設(shè) ( ) [ ( ) ]()[ ( ) ]xxxxX z Z T x n R z RdX zZ T nx n z R z Rdz????? ? ?? ? ? ?則 () 證明 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 設(shè) * * ** * * ** * * *( ) [ ( ) ] ,( ) [ ( ) ] ,[ ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ] ( )xxxxnnnnnX z Z T x n R z RX Z Z T X n R z RZ T X n X n z x n Zx n Z X Z???????? ????? ???????????則 證明 () 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 設(shè) x(n)是因果序列 ， X(z)=ZT［ x(n)］ ( 0 ) l i m ( )xx X z???() 120( ) ( ) ( 0) ( 1 ) ( 2 )nnX z x n z x x z x z?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??證明 l i m ( ) ( 0 )x X z x?? ?因此 若 x(n)是因果序列 ， 其 Z變換的極點(diǎn) ， 除可以有一 個(gè)一階極點(diǎn)在 z=1上 ， 其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi) ， 則 1l i m ( ) l i m ( 1 ) ( )xxx n z X z? ? ???() 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 ( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( )] nnz X z x n x n z??? ? ?? ? ? ??證明 因?yàn)?x(n)是因果序列 ， 10( ) 0 , 0( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]nnmmxmmx n nz X z x m z x m z????? ? ???? ? ? ??? 因?yàn)?(z1)X(z)在單位圓上無極點(diǎn) ， 上式兩端對(duì) z=1 取極限 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 110li m ( 1 ) ( ) li m [ ( 1 ) ( ) ]li m [ ( 0 ) ( 1 ) ( 1 )( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ]li m ( 1 ) li m ( )nnxxmmxxxz X z x m x mx x x nx x x x nx n x n? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ???終值定理也可用 X(z)在 z=1點(diǎn)的留數(shù) ， 因?yàn)? 1l i m( 1 ) ( ) R e [ ( ), 1 ]( ) R e [ ( ), 1 ]xz X z s X zx s X z????? () 因此 如果單位圓上， X(z)無極點(diǎn)，則 x(∞)=0。 設(shè) X(z)=ZT［ x(n)］ ,Rx|z|Rx+ Y(z)=ZT［ y(n)］ , Ry |z| Ry+ 則 M(z)=ZT［ m(n)］ =aX(z)+bY(z), R m|z|R m+ () Rm+=max［ Rx+,Ry+］ Rm=max［ Rx,Ry］ 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 這里 M(z)的收斂域 (Rm， Rm+)是 X(z)和 Y(z)的公式收斂域 ， 如果沒有公共收斂域 ， 例如當(dāng) R x+R xR y+R y時(shí) ， 則 M(z)不存在 。查表 x(n)=anu(n)+(3)nu(n1) 一些常見的序列的 Z變換可參考表 。 1125( ) , 2 316zX z zzz???? ? ???解 2121 2 2122311( ) 5 5 51 6 6 ( 2 ) ( 3 ) 2 3( ) ( )R e [ , 2 ] ( 2 ) 1( ) ( )R e [ , 3 ] ( 3 ) 1( ) 1 1( 2 ) ( 3 )11()1 2 1 3zzX z z A Az z z z z z z z zX z X zA s zzzX z X zA s zzzXzz z zXzzz????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?????????第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 因?yàn)槭諗坑驗(yàn)?2|z|3， 第一部分極點(diǎn)是 z=2， 因此收斂域?yàn)?|z|2。 0101()()Nmm mNmm mAzX z AzzX z A Az z z z??????????() () 0()R e [ , 0]()R e [ , ]mmXzAszXzA s zz??() () 求出 Am系數(shù) (m=0,1,2,…N)后 ， 很容易示求得 x(n)序列 。 解： 由收斂域判定這是一個(gè)右序列， 用長(zhǎng)除法將其展成負(fù)冪級(jí)數(shù)： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 1 2 2111 2 222111az a zazazaz a zaz???????? ? ? ???????? 1az1 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 解：由收斂域判定 x(n)是左序列 ， 用長(zhǎng)除法將 X(z)展成正冪 級(jí)數(shù) 1 2 2 3 3111 2 22211a z a z a zazaza z a zaz? ? ??????? ? ???第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 3. 部分分式展開法 設(shè) x(n)的 Z變換 X(z)是有理函數(shù) ， 分母多項(xiàng)式是 N階 ， 分子多項(xiàng)式是 M