【正文】 )(th解： 當 時，原微分方程為 )()( ttf ??0)(3)(2)(6)( ?????? ttttht。 )0()( 5221 ??? ??? teAeAth tt （ 3） 齊次解形式 ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 利用沖激函數(shù)匹配法求 。 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 13 ?? te ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)舉例 2 例 13 右圖所示電路，求電流 對激勵 的沖激響應(yīng)。 )(t???0t??0t)(th)(t?沖激響應(yīng)的形式既與特征根有關(guān) , 又與 n,m相對大小有關(guān)！ ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) )()(1tueAth tnkkk ??????? ??? （ 2）如果 n=m，沖激響應(yīng) h(t)將包含一個 項，即 )(t?11( ) ( ) ( )kntknkh t A e u t A t? ????????????注意帶 u(t) （ 1）在 nm時，沖激響應(yīng) h(t)應(yīng)與齊次解的形式相同，如果特征根包括 n個非重根，則 h(t)應(yīng)與齊次解的形式相同，不包含 及其各階導數(shù)，即有 )(t? ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) （ 3）在 nm 時，要使方程兩邊相應(yīng)的函數(shù)及各階導數(shù)相等，則 表達式中還應(yīng)該含有 及其相應(yīng)階的導數(shù)等項，即 ，則有 )(th )(t?)(,),(),( )1()( ttt nmnm ??? ???? ?)()(1tueAthnktkk ??????? ???)()()( )(121 tAtAtA nmnmnn ????? ????? ??? ? ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)舉例 1 例 11 已知某線性時不變系統(tǒng)的方程為 0)(2)(3)( ???? ttftyty求系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 。 )(tu)(t?)(th )(tg)(tg)(tu LTI0)0( ?x)(tut t)(tg ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) )()()()( 01)1(1)( thathathatha nnnn ????? ?? ?)()()()( 01)1(1)( tbtbtbtb mmmm ???? ?????? ?? ? 求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 對于由常系數(shù)描述的系統(tǒng)，它的沖激響應(yīng) 滿足 微分方程 及初始狀態(tài) 。 )(t?t t)(th)(th)(t? LTI0)0( ?x ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 任意信號都可以用沖擊信號組合來表示 ( ) ( ) ( )e t e t d? ? ? ???????? 若把它作用于沖擊相應(yīng)為 的線性時不變系統(tǒng)，則輸出相應(yīng)為： )(th( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]r t H e t H e t d? ? ? ?????? ? ??( ) [ ( ) ] ( ) ( )e H t d e h t d? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 階躍響應(yīng) ： 在初始狀態(tài)為 0的條件下，單位階躍信號 作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)，以 表示。 ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 沖激響應(yīng)概念 沖激響應(yīng) ： 在 初始狀態(tài)為 0的條件下，單位沖激信號 作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)，以 表示。 kA ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 幾點說明： （ 3）若系統(tǒng)初始無儲能，即 0條件為零，則零輸入響應(yīng)為 零，但自由響應(yīng)可以不為零，由激勵信號和系統(tǒng)參 數(shù)共同決定。 自由響應(yīng) ： 由 0+條件確定， 系數(shù)值 由 初始狀態(tài) 和 輸入信號 共同確定。 幾點說明： 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 幾點說明： 零輸入響應(yīng) ： 由 0條件確定， 系數(shù)值 僅取決于系統(tǒng)的 初始儲能狀態(tài) ，其結(jié)果代表零輸入響應(yīng)。 齊次解 的函數(shù)形式僅取決于系統(tǒng)本身的特性，與輸入信號的函數(shù)形式無關(guān)，故稱為系統(tǒng)的 自由響應(yīng) （固有響應(yīng)）。 )0(121)( 3 ??? ? tetr t所以 其中， 自由響應(yīng) ， 強迫響應(yīng) =1 te 321 ??完全響應(yīng)為 : 1)( 3 ?? ? tAetr （ 1） ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) （ 2）求零輸入響應(yīng) 在此條件下，特解 =0，由 初始條件 r(0)=3/2， 求得系數(shù)A=3/2，于是 零輸入響應(yīng) 為： tzi etr323)( ??（ 3）求零狀態(tài)響應(yīng) 在此條件下， r(0+)=0， 求得系數(shù) A=1，于是 零狀態(tài)響應(yīng)為： 1)( 3s ??? ? tz etr完全響應(yīng)： 123)( 33 ??? ?? tt eetr ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS （ 1） 連續(xù)系統(tǒng)的完全響應(yīng)，可以分解為 零輸入響應(yīng) 和 零狀 態(tài)響應(yīng) 兩部分。 解 ： （ 1）由方程求得特征根 ,齊次解是 3??? th Aetr 3)( ??特解是 。和 )(4)(0)0()0( tuteii zszs ???? ??及起始狀態(tài) )0(58)( 52zs21zszs ???? ?? teAeAti tt則根據(jù)前面 例 6（或教材例 25） 的結(jié)果 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) )0(),0( ?? ?zszs ii其待定系數(shù) 由 來確定。 （ 1） 求零輸入響應(yīng)下的初始條件 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) dtdvCi C )0()0(C?? ?而 )0()]0([ 11 ?? ???? zizi iCRidtdCR（ b） 零輸入等效電路 （ c） 求初值等效電路 ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 將初始條件 得到系數(shù) 152,3421 ??? zizi AA故，所求的零輸入響應(yīng)為 )0(15 234 52 ??????? ??? ?? tAeei ttziA56)0( ???zii2 A / s)0( ?? ?zii 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) )0()( 5221zi ??? ??? teAeAti tzitzi,1ziA代入下列方程，求待定系數(shù) 2ziA ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 畫出波形如下 : )0(15 234 52 ??????? ??? ?? tAeei ttzi 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 . 4 1 . 21 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 20tf(t) ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS （ 2） 求零狀態(tài)響應(yīng) 此時 ,對應(yīng)的電路如圖 d所示。 A54)0(,56)0( ?? ?? LC iVv和 0+狀態(tài)的 及 的解。 A54)0( ??LiV,56)0( ??Cv電感起始儲能等效為電流源： 電容起始儲能等效為電壓源： （ a）帶有起始狀態(tài)的等效電路 解 :（ 1） 求零輸入響應(yīng) 零輸入響應(yīng)是 滿足下列微分方程 （前面例 6，或教材例題 25） 零輸入響應(yīng)的形式為 ： )0()( 5221zi ??? ??? teAeAti tzitzi ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 此時外加激勵為 0，系統(tǒng)在 t≥0+ 時刻的等效電路如右圖 b。建立 i(t)的微分方程，并求 i(t)在 時的 零輸入響應(yīng) 和 零狀態(tài)響應(yīng) 。 )0()0( )()(?? ? kk yy—— 零輸入響應(yīng)的求解步驟 ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 例 8： 已知如右圖電路， R=2歐，L=1/2H， C=1/2F， 電容上的初始儲能為 V，電感上初始儲能為 ，求輸入激勵為零時的電容電壓 。 （ 2） 由系統(tǒng)的初始 0條件（ 系統(tǒng)沒有加外部激勵時的原有狀態(tài) ），確定其待定系數(shù)。 )0()0()0( )()()( ??? ?? kkkzs yyy—— 零狀態(tài)響應(yīng)的求解 自由響應(yīng)的一部分 對應(yīng)微分方程的齊次解 強迫響應(yīng) 特解 ( ) ( ) ( )zi zsy t y t y t??完全響應(yīng) 求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)主要有兩種方法： 經(jīng)典法和卷積法 111( ) ( )) ( )kkknnttz ik z s k pkkntz ik z s k pky t A e A e y tA A e y t??????? ? ?? ? ????零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)強迫響應(yīng)自由響應(yīng)（ ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 根據(jù)前面分析，可以寫出系統(tǒng)完全響應(yīng)的表達式 ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 例 7：已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程 0),()(6)(5)( ??????? ttftytyty初始狀態(tài) 輸入信號 2)0(,1)0( ????? yy )()( tuetf t??求系統(tǒng)的