【正文】 程式的建立與求解 例 3： 求下列微分方程的齊次解。 )(trp（注意：特解一定是系統(tǒng)在 t＞ 0+時刻的解） 幾種典型激勵函數(shù)相應(yīng)的特解 激勵函數(shù) x(t) 響應(yīng)函數(shù) y(t)的特解 )(常數(shù)E )(常數(shù)Bpt1121 ?? ???? pppp BtBtBtB ?t?e tB ?e? ?t?cos? ?t?sin? ? ? ?tBtB ?? s i nc o s 21 ?? ?tt tp ?? s ine? ?tt tp ?? c o se? ? ? ?? ? ? ?teDtDtDtDteBtBtBtBtpppptpppp????s i nc o s11211121?????????????????解 : （ 1）列出微分方程式為： 節(jié)點 1： 節(jié)點 2： 例 5： 如下圖所示電路，已知激勵信號 x(t)=cos2t u(t), 兩個電容上的初始電壓均為零，求輸出信號 v2(t)的表達(dá)式 。 又因為電容 C1上的初始電壓也為零，于是流過 R C2中的初始電流也為零，即 v’2(0) = 0 。 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 分別畫出波形圖如下 : tt eetv 612 509256)( ??? ???0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 . 1 6 0 . 1 4 0 . 1 2 0 . 1 0 . 0 8 0 . 0 6 0 . 0 4 0 . 0 20tf(t)瞬態(tài)響應(yīng) ttv 2c o s5032si n502122 ???0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 . 5 0 . 4 0 . 3 0 . 2 0 . 100 . 10 . 20 . 30 . 40 . 5tf(t)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 . 5 0 . 4 0 . 3 0 . 2 0 . 100 . 10 . 20 . 30 . 40 . 5t ( s e c )y(t)tt eetv 62 509256)( ?? ??? tt 2c o s5032s in5021 ?? 0?t 一般將激勵信號加入的時刻定義為 t=0 ，響應(yīng)為 時的方程的解，初始條件： ?? 0t 齊次解： 由特征方程 →求出特征根 →寫出齊次解的形式： ??nktk kA1e? （注意重根情況處理方法） 1122d)0(d,d)0(d,d)0(d,)0(??????nntytytyy ?初始條件的確定是要解決的主要問題。 特 解： 根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的 特解函數(shù)式 →代入原方程 ，比較系數(shù)定出特解。 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點的跳變 起始點的跳變 —— 從 0到 0+ 起始狀態(tài)與初始條件 起始狀態(tài) ： 在激勵接入之前的瞬時（ t=0時刻）系統(tǒng)的固 有狀態(tài)，也稱 0狀態(tài)。 初始條件 : 在激勵接入之后的瞬時（ t=0+時刻 ）系統(tǒng)的 狀態(tài)，也稱系統(tǒng)的 0+狀態(tài)或初始條件。 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點的跳變 初始條件的確定 實際電路的初始條件： 由儲能元件的儲能情況 或 ，來確定 0狀態(tài)。跳變值往往不易直接求得，這時，可借助微分方程式兩端各 奇異函數(shù)系數(shù)平衡的方法作出判斷。 )(t? 初始條件的求法： 電路分析中的換路定則 —— 經(jīng)典法； 當(dāng)微分方程的右端包含沖激函數(shù)時，就用沖激函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)平衡匹配法 —— 奇異函數(shù)平衡法。建立 i(t)的微分方程，并求 i(t)在 時的變化。 由方程兩端平衡 , 得知 必包含 dttdr )( )(3 t??)(3 t?推出 r(t)含 t=0時， r(t)含有 9△ u(t) 注意： △ u(t)表示 0到 0+相對單位跳變函數(shù)！ 因而有 r(0+)r(0)=9 根據(jù)上述過程則可得到?jīng)_激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)平衡匹配方法！ 起始點的跳變 )(3)(3)( ttrdt tdr ? ???)(9 t?? 含 和 dttdr )( )(3 t?? ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點的跳變 將上兩式代入原方程得 )(3)]()([3)]()()([ ttubtatuctbta ???? ????????? 可以設(shè) )()()()( tuctbtadttdr ????? ?? （ 2） )()()( tubtatr ??? ?兩邊積分得 （ 3） 利用沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)平衡匹配法 求 0+狀態(tài) : )(3)(3)( ttrdt tdr ? ??? （ 1） 原方程 由方程兩端平衡得 ??????????03033bcaba?????????2793cba ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點的跳變 將 a,b,c的值代入方程（ 2），并在區(qū)間 [0,0+]進(jìn)行積分 )0(9)0( ?? ??? rr所求的初始條件（ 0+狀態(tài)）為 dttudttdttdttr )(27)(9)(3)( 00000000 ?????? ???? ???????? ??9)0()0( ???? ?? brr上述即為沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)平衡匹配法求 0+狀態(tài)的步驟 ! )()()()( tuctbtadt tdr ????? ??（ 2） ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點的跳變 例 7： 某 LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為 )(2)()()(2)( tftftytyty ?????????),()(,1)0(,1)0( ttfyy ?????? ??已知 ).0(),0( ?? ?yy求 解 : 將輸入 f(t)代入微分方程 ,得 )(2)()()(2)( tttytyty ?? ????????? （ 1） 因為（ 1）式對所有的 t 成立，故方程左右兩端沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)應(yīng)分別相等。 上述方法是根據(jù)微分方程等號兩端各個奇異函數(shù)的系數(shù)相等的原理。對應(yīng)于齊次解。 完全響應(yīng) =自由響應(yīng) +強迫響應(yīng) 從微分方程經(jīng)典法求解規(guī)律考慮 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 系統(tǒng)響應(yīng)的類型 : 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 暫態(tài)響應(yīng) : 是指激勵信號接入一段時間內(nèi)，完全響應(yīng)中 暫時出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時間 t 增加，它 將消失。 完全響應(yīng) =暫態(tài)響應(yīng) +穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 從時間趨于無窮大的狀態(tài)考慮 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng) ： 是指輸入信號為 0，僅有系統(tǒng)的 初始狀 態(tài) （起始時刻系統(tǒng)儲能）作用于系統(tǒng) 而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。 完全響應(yīng) =零輸入響應(yīng) +零狀態(tài)響應(yīng) 從區(qū)分初始儲能和激勵作用考慮 系統(tǒng)響應(yīng)的類型： ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) ()ziyt)0()( ?ky 零輸入響應(yīng) ：當(dāng)激勵信號 x(t) = 0時，由起始狀態(tài) 所產(chǎn)生的響應(yīng)。 )0()0( )()( ?? ? kk yy 零輸入響應(yīng)為自由響應(yīng)的形式， 即 1() kntz i z i kky t A e ??? ?其中系數(shù) Azik由 起始條件 來確定。 0)0()( ??ky)(tyzs零狀態(tài)響應(yīng)的形式為 ： 1( ) ( )kntz s z s k pky t A e y t?????其中，系數(shù) Azsk由跳變量 來確定。 經(jīng)典法求解零輸入響應(yīng) 0652 ??? ??解： 特征方程 3,2 21 ???? ??特征根 ??? ??? 0,)( 3221 teAeAty ttzi零輸入響應(yīng) 將初始條件代入，得 1)0( 21 ???? AAy zi232)0( 21 ????? ? AAy zi5,1 ?A 42 ??A零輸入響應(yīng)為 ??? ??? 0,45)( 32 teety ttzi ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) （ 1） 由 方程右端為零 構(gòu)成的齊次方程而定，即 由齊次方程的特征方程 求出特征根，再 列出解 。 注 ： 由于激勵信號 x(t) = 0，所以 系統(tǒng)的起始時刻不會產(chǎn)生跳變， 所以 。 1)0( ??CvAiL 1)0( ??)t(Cv 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 解： 根據(jù) KVL， 列出方程如下 )()()()( tftvtvtv LCR ???即 )()()()(22 tftvdttdvRCdttdvLCCCC ???代入?yún)?shù)，化簡得 )(4)(4)(4)( tftvtvtv CCC ??????特征根為 221 ??? ?? ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 1A)0( 1 ???Cv22)0( 21 ????? ? AAv C零輸入響應(yīng) 的一般形式為 )t(Cv由電容元件的伏安關(guān)系： ?? ditv LC ? ??? t )(C1)(故有： 2V)0(C1)0( ??? ?? LC iv)0( ??Cv )0( ?Cv確定待定系數(shù)，必須知道 和 將初始條件 代入方程（ 1）有 ),0(??Cv )0( ?Cv4,1 21 ?? AA零輸入響應(yīng)為： ?? ??? 0,)41()( 2 tettv tC)(C1)( titv LC ?? 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 只與電容的初始儲能有關(guān)！ ??? ??? 0)( 2221 tteAeAtv ttC（ 1） ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS ? ??? t CC diCtv ?? )(1)(? ?)