【正文】 HI(ejω)=HI(ejω) 上式表示序列的共軛對(duì)稱部分 xe(n)對(duì)應(yīng)著 FT的實(shí)部XR(ejω)， 而序列的共軛反對(duì)稱部分 xo(n)對(duì)應(yīng)著 FT的虛部 。 x(n)=xe(n)+xo(n) 解： 按 ()式得到 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 按照 ()式得到 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 5. 時(shí)域卷積定理 設(shè) y(n)=x(n)*h(n), 則 Y(e jω)=X(e jω) 對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出的 FT等于輸入信號(hào)的 FT乘以單位脈沖響應(yīng) FT。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 6. 頻域卷積定理 設(shè) y(n)=x(n) 要說(shuō)明一下 ， 這里頻域總能量是指|X(e jω)|2在一個(gè)周期中的積分再乘以 1/(2π)。 為求系數(shù) ak ， 將上 式兩邊乘以 ， 并對(duì) n在一個(gè)周期 N中求和 ： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 上式中 ， k和 n均取整數(shù) ， 當(dāng) k或者 n變化時(shí) ， ∞k∞ () 取整數(shù) 因此 是周期為 N的周期函數(shù)， 可表示成 () 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 上式中 也是一個(gè)以 N為周期的周期序列 ， 稱為 的離散傅里葉級(jí)數(shù) ， 用 DFS(Discrete Fourier Series)表示 。 將 ()式和 ()式重寫如下： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 例 設(shè) x(n)=R4(n)， 將 x(n)以 N=8為周期 ， 進(jìn)行周期延拓 ， 得到如圖 (a)所示的周期序列 ， 周期為 8，求 的 DFS。 ~ ()Xk第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 周期序列的傅里葉變換表示式 在模擬系統(tǒng)中 ， ， 其傅里葉變換是在Ω=Ωo處的單位沖激函數(shù) ， 強(qiáng)度是 2π， 即 0() jtax t e ??00( ) [ ( ) ]2 ( )jt jtaaX j FT x t e e dt??? ? ????? ? ?? ? ? ?? () 對(duì)于時(shí)域離散系統(tǒng)中 ， x(n)=e jωon， 2π/ωo為有理數(shù) ， 暫時(shí)假定其 FT的形式與 ()式一樣 ， 也是在 ω=ω0處的 單位沖激函數(shù) ， 強(qiáng)度為 2π， 但由于 n取整數(shù) ， 下式成立： 00 ( 2 ) ,j n j r ne e r? ? ??? 取整數(shù) 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 上式表示復(fù)指數(shù)序列的 FT是在 ω0177。 因此 e jω0n的 FT為 00( ) [ ] 2 ( 2 )jnjrX e F T e r?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? () 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 圖 的 FT 0jne?第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 證明了 ()式確定是 ejω0n的 FT， 前面的暫時(shí)假定是正確的 。 π區(qū)間， 只包括一個(gè)單位沖激函數(shù)， 等式右邊為 ， 因此得到下式： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 式中 k=0, 1, 2 … N1, 如果讓 k在 177。 解： 將例 代入 ()式中得到 ~ ()Xk其幅頻特性如圖 。 解： 將 用歐拉公式展開(kāi) ~0( ) c o sx n n??~()xn() 按照 ()式 ， 其 FT推導(dǎo)如下： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 圖 cosω0n的 FT 0 ω0－ ω0X (ej ω)ωπ2ππ?π2? 上式表明 cosω0n的 FT， 是在 ω=177。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬 信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系 模擬信號(hào) xa(t)的一對(duì)傅里葉變換式用下面公式描述： () () 這里 t與 Ω的域均在 177。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 采樣信號(hào) 和連續(xù)信號(hào) xa(t)， 它們之間的傅里葉變換之間的關(guān)系 ， 由采樣定理 ()式描述 ， 重寫如下： 從模擬信號(hào)幅度取值考慮，連續(xù)信號(hào)和采樣信號(hào)，它們之間的關(guān)系用 ()式描述，重寫如下： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 如果時(shí)域離散信號(hào) x(n)， 或稱序列 x(n)， 是由對(duì)模擬信號(hào) xa(t)采樣產(chǎn)生的 ， 即在數(shù)值上有有下面關(guān)系式成立： x(n)=xa(nT) () 注意上面式中 n取整數(shù) ， 否則無(wú)定義 。 為分析上面提出的問(wèn)題 ， 我們從 ()式開(kāi)始研究 。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 例 設(shè) xa(t)=cos(2πf0t)， f0=50 Hz以采樣頻率 fs=200 Hz對(duì) xa(t)進(jìn)行采樣 ， 得到采相信號(hào) 和時(shí)域離散信號(hào) x(n)， 求 xa(t)和 的傅里葉變換以及 x(n)的 FT。 2πf0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為 π，如圖 (a)所示。 將采樣信號(hào)轉(zhuǎn)換成序 列 x(n)， 用下式表示： x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT) ()aXj? ? 按照 ()式 ， 得到 x(n)的 FT， 實(shí)際上只要將 Ω=ω/T=ωfs代入 中即可： ()aXj? ? 將 fs=200 Hz， f0=50 Hz， 代入上式 ， 求括弧中公式為零時(shí)的 ω值 ， ω=2πk177。 此定義稱為雙邊 Z變換 。 如不另外說(shuō)明，均用雙邊 Z變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和變換。 一 般 收斂域用環(huán)狀域 表示： 雙邊 Z變換存在的條件是 等號(hào)右邊級(jí)數(shù)收斂 ， 要求級(jí)數(shù)絕對(duì)可和 ， 即 () 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 圖 Z變換的收斂域 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 分子多項(xiàng)式 P(z)的根是 X(z)的零點(diǎn) ， 分母多項(xiàng)式Q(z)的根是 X(z)的極點(diǎn) 。 ()()()PzXzQz?() 常用的 Z變換是一個(gè)有理函數(shù)， 用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示： 對(duì)比序列的傅里葉變換定義式， 很容易得到 FT和ZT之間的關(guān)系， 用下式表示： 式中 z=e jω表示在 z平面上 r=1的圓 ， 該圓稱為單位圓 。 如果已知序列的 Z變換 ， 可用 ()式 ， 很方便的求出序列的 FT， 條件是 收斂域中包含單位圓 。 X(z)存在的條件是 |z1|1， 因此收斂域?yàn)?|z|1， 解： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 由 x(z)表達(dá)式表明 ， 極點(diǎn)是 z=1， 單位圓上的 Z變換不存在 ， 或者說(shuō)收斂域不包含單位圓 。 該例同時(shí)說(shuō)明一個(gè)序列的傅里葉變換不存在 ， 在一定收斂域內(nèi) Z變換是存在的 。其 Z變換為： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 設(shè) x(n)為有界序列 ， 由于是有限項(xiàng)求和 ， 除 0與 ∞兩點(diǎn)是否收斂與 n n2取值情況有關(guān)外 ， 整個(gè) z平面均收斂 。 如 果 n20， 則收斂域不包括 z=0點(diǎn)； 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 例 求 x(n)=RN(n)的 Z變換及其收斂域 。 由結(jié)果的分母可以看出 ， z=1是 X(z)的極點(diǎn) ， 但同時(shí)也是一個(gè)零點(diǎn) ， 極零點(diǎn)對(duì)消 ， X(z)在單位圓上仍存在 ， 求 RN(n)的 FT， 可將 z=ejω代入 X(z)得到 。 第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列 ， 設(shè) n1≤1， 其收斂域?yàn)?0≤|z|＜ ∞。 將兩收斂域相與 ， 其收斂域?yàn)?Rx|z|∞。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 例 求 x(n)=anu(n)的 Z變換及其收斂域 。 左序列的 Z變換表示為： 3. 左序列 如果 n20, z=0點(diǎn)收斂， z=∞點(diǎn)不收斂，其收斂域是在某一圓 (半徑為 Rx+)的圓內(nèi)，收斂域?yàn)?0≤|z|Rx+。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 例 求 x(n)= anu(n1)的 Z變換及其收斂域 。如果 Rx+Rx， 其收斂域?yàn)?Rx|z| Rx+， 這是一個(gè)環(huán)狀域 ，如果 Rx+ Rx， 兩個(gè)收斂域沒(méi)有公共區(qū)域 ， X(z)沒(méi)有收斂域 ，因此 X(z)不存在 。 解： 第一部分收斂域?yàn)?|az|1， 得 |z||a|1， 第二部分收斂域?yàn)閨az1|1， 得到 |z||a|。 如果 |a|1，兩部分的公共收斂域?yàn)?|a||z||a|1，其 Z變換如下式： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 當(dāng) 0a1時(shí) ， x(n)的波形及 X(z)的收斂域如圖 。 序列的 Z變換及共逆 Z變換表示如下： () 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 1. 用留數(shù)定理求逆 Z變換 如果 X(z)zn1在圍線 c內(nèi)的極點(diǎn)用 zk表示 ， 根據(jù)留數(shù)定理 : () 如果 zk是單階極點(diǎn) ， 則根據(jù)留數(shù)定理： () 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 由 ()式表明 ， 對(duì)于 N階極點(diǎn) ， 需要求 N1次導(dǎo)數(shù) ， 這是比較麻煩的 。 如果 zk是 N階極點(diǎn) ， 則根據(jù)留數(shù)定理： () 設(shè)被積函數(shù)用 F(z)表示， 即 F(z)在 z平面上有 N個(gè)極點(diǎn) ， 在收斂域內(nèi)的封閉曲線 c將 z平面上極點(diǎn)分成兩部分：一部分是 c內(nèi)極點(diǎn) ， 設(shè)有 N1個(gè)極點(diǎn) ，用 z1k表示；另一部分是 c外極點(diǎn) ， 有 N2個(gè) ， N=N1+N2， 用 z2k表示 。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 NM – n + 1≥2 即： NM – n ≥1 () 如果 ()式滿足 , c圓內(nèi)極點(diǎn)中有多階極點(diǎn) ， 而 c圓外極點(diǎn)沒(méi)有多階的 ， 可以按照 ()式 ， 改求 c圓外極點(diǎn)留數(shù)之和 ， 最后加一個(gè)負(fù)號(hào) 。()式成立的條件是： 解： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 為了用留數(shù)定理求解 ， 先找出 F(z)的極點(diǎn) ， 極點(diǎn)有：z=a；當(dāng) n0時(shí) ， z=0共二個(gè)極點(diǎn) ， 其中 z=0極點(diǎn)和 n的取值有關(guān)： n≥0時(shí) ， z=0不是極點(diǎn) 。 因此分成 n≥0和 n0兩種情況求 x(n)。 一般情況下 ， 計(jì)算 n0時(shí)的極點(diǎn)留數(shù) ， 用 （ ） 式求解是正確的 。 該例中，圓外無(wú)極點(diǎn)，故 n0時(shí)， x(n)=0。 分析 X(z)， 得到其極點(diǎn)分布如圖 所示 。 解： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 X(z)極點(diǎn)分布圖 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 下面按照收斂域的不同求其 x(n)。 當(dāng)