【正文】 ， ⑵ 階躍信號 ， 即： ， ? ? ?? ?? 0 1)()( tdetsF ts? ???][Re s1)( ?t? ???][Re sstdetdetsFtsts 1)()(00 ??? ??? ?? ?? ? 0]R e [ ?sst1)( ?? 0]Re[ ?s)(t?)(t?⑶ 斜坡信號 即： ⑷ 單邊指數(shù)信號 即： 0]R e [11|)()(20000???????????? ?? ???? ?sstdesesttdettdettsFtstststs，?21)(stt ??0]R e [ ?s， 0)( ?ate ta ??asastdedtteesF tasstat ?????? ?? ? ???? ]R e[1)()( 0 )(0 ，??asaste ta ???? ]R e[1)( ，??)(tt? ⑸ 正弦信號 即： 類似有： 0]R e [)11(21)(21)(s i n)(2200?????????????????ssjsjsjtdeeejdttetsFtstjtjst，????????0]R e [s i n 22 ??? sst ，???0]R e [c os 22 ??? ss st ，??t?sin? 5）單邊拉普拉斯變換的性質(zhì) 單邊拉氏變換的性質(zhì)反映了不同形式的信號與其單邊拉氏變換的對應規(guī)律。 熟記單邊拉氏變換的性質(zhì)和常用信號的單邊拉氏變換對 ， 并有效掌握傅里葉變換和拉斯變換的內(nèi)在關(guān)系 ，對信號與系統(tǒng)的頻率特性分析以及 LT I 系統(tǒng)的時域全響應的求解具有重要的價值。 。 若 為因果信號，則有 微分性質(zhì)可簡化為 即：原函數(shù)求導一次，其象函數(shù)乘上一個 s 。 )()( 11 sFtf ? )]Re[( 1??s )()( 22 sFtf ? )]R e [( 2??s)()()()( 2121 sFsFtftf ?? )),m a x (]R e [( 21 ???s⑸ 時域卷積 若 ， 且 ， 則 )(tf )()( sFtf ? )]R e [( 0??s? ? ??? t s sFdftf 0)1( )()()( ?? )),0m ax (]R e [( 0??s?nnssFtf )()()( ?? .,2,1( ??n )),0m ax (]R e [ 0??s)()( tf n? )(tf ?0 t n)(tf? ?? ??? ??? t sfs sFdftf )0()()()( )1()1( ?? )),0m a x (]R e[( 0??s???????? ?? nmmmnnn fsssFtf1)(1)( )0(1)()( )),0m a x (]R e[( 0??s⑺ 時域積分性質(zhì) 對于因果信號 ，若 表示對 從 到 的 而對于非因果信號 則有 時域微分性質(zhì)和時域積分性質(zhì)，主要應用于復頻域分析中 線性連續(xù)系統(tǒng)的微 ﹑ 積分運算以及系統(tǒng)微分方程的求解。 ，則有 )()( sFtf ? )]R e [( 0??ssdsFdtft )()()( ?? )]R e [( 0??s?nnnsdsFdtft )()()( ??)()( sFtf ? )]R e [( 0??s??? s dFt tf ?? )()()),0m a x (]R e[( 0??s⑻ 復頻域微分 若 ，則有 ⑼ 復頻域積分 若 ，則有 ). . .210]R e [( 0 ，?? ns ?)(tf )(t?)()( sFtf ? )]R e [( 0??s )(tf)(lim)(lim)0( 0 sFstff st ???? ?? ?)(tf ??t )(?f )()( sFtf ?,]R e[( 0??s )00 ???? ? )(ssF)(tf )(l i m)(l i m)(0 sFstff st ??? ???⑽ 初值和終值定理 初值定理：若 中不包含沖激函數(shù) 及其各階導數(shù)，并且 ， 則 。 的初值為 終值定理：若 （ 原點除外），則 表 單邊拉氏變換的性質(zhì) 6）單邊拉普拉斯逆變換 求單邊拉氏變換的逆變換是復頻域分析法的基本問題。 因為 F(s)一般可化為 s的有理分式，將 F(s)展開為比較簡單的部分分式之和，然后利用常用信號的單邊拉氏變換對與單邊拉氏變換的性質(zhì)，就可以十分方便地由 F(s)求取 f(t)。 一般 ,F(s)可表示為 式中 a i , b i 均為實數(shù)且 a n =1。 有理真分式 863)(2 ????ssssF ?)( ?tf42)4)(2(3)( 21????????skskssssF21|)4)(2(3)2(21 ????????sssssk21|)4)(2(3)4(42 ????????sssssk)4121(21)( ???? sssF as ktke ta ??? )(?)()(21)( 42 teetf tt ??? ??例 已知 ，求 解：由題 ，其中 所以 ，利用 為所求。 的展開式為 用拉普拉斯變換法求解微分方程 ? 由于 LTI連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系通常用線性常系數(shù)微分方程來描述，而單邊拉氏變換的時域微分性質(zhì)是考慮了系統(tǒng)的初始狀態(tài)的，因此系統(tǒng)微分方程的單邊拉氏變換不僅使系統(tǒng)微分方程 變?yōu)閺皖l域的代數(shù)方程，使求解變得簡單易行；而且引入了系統(tǒng)的初始狀態(tài)，既可以 求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 ， 又可以求解系統(tǒng)的零輸 入響應和完全響應。根據(jù)這個關(guān)系，可由系統(tǒng)微分方程得到系統(tǒng)函數(shù) G(s)，同樣也可由系統(tǒng)函數(shù)得到系統(tǒng)的微分方程 。 ? ?? ??nimjjjii tfbtya0 0)()( )()()()( ty i ),1,0( nia i ??),1,0( mjb j ??)()(/)()()(00 sFsYsasbsAsBsG fniiimjjj ??? ????)0()( ?iy)()( tf j)1,1,0( ?? ni ?00 ?t例 若 LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 ，而且 ， 。 解：由題 、 ，用時域微分性質(zhì)對系統(tǒng)微分方程取單邊拉氏變換，有 代入初值，整理得 )()(3)(6)(5)( tftftytyty ???????? )()( tetf t???1)0( ??y 2)0( ?? ?y)()(3)(6)]0()([5)]0()0()([ 2 sFssFsYyssYysysYs ???????? ???)(65 1365 )0()0()5()( 22 sFss sss yyssY ?? ???? ??????)(tyx)(tyf )(ty)(sG )(tg2)0( ?? ?y1)0( ??y有 與 所以 ； 而 所以 因此 且 有 為所求 3425657)(2 ????????ssssssYx )(65s13)(2 sFsssYf ????0,45)( 32 ??? ?? teety ttx1134251165s13)(2 ???????????sssssssYf)()45()( 32 teeety tttf ???? ???0,810)()()( 32 ?????? ??? teeetytyty tttfx25386513)()()(2 ?????????ssssssFsYsG f)()58()( 23 teetg tt ??? ?? R LC系統(tǒng)的復頻域分析 ? 用線性常系數(shù)微分方程描述輸入、輸出關(guān)系的 RLC系統(tǒng)，可以利用單邊拉氏變換的性質(zhì)，將 RLC系統(tǒng)用復頻域模型來表示，大大簡化系統(tǒng)分析與計算。 ? ? 0)(ti ? ? 0)(tu?????????0)(U0)(Iss? 2） R LC元件的 S域模型 ⑴ 零狀態(tài)下 R LC元件的 S域模型 )( ti)( tuR )(I s)(U sR)( ti)( tuL )(I s)(U sL s)( ti)( tuC )(I s)(U s1 / C s圖 零狀態(tài)下 R LC 元件的 S 域模型 ⑵ 非零狀態(tài)下 LC元件的 S域模型 )( ti)( tuL )(I s)(U sL s)0(?iLa .)( ti)( tuC )(I s)(U s1 / C ssu /)0(?b .)( ti)( tuL)(I s)(U sL ssi /)0( ?a .)( ti)( tuCb .)(I s)(U s1 / C s)0( ?uC圖 非零狀態(tài)下 LC元件的 S域并聯(lián)模型 圖 非零狀態(tài)下 LC元件的 S域串聯(lián)模型 )( tf )( ty)( tu C)( ti L LCR2 ? 1H 1F)(tf )(ty )(tg)0(,)0( ?? cL ui)()( ttf ??1)( ?sF )()()( sGtgty f ??圖 例 例 圖 電路中， R = 2Ω， L = 1H， C = 1F，輸入 ，輸出 ① 求系統(tǒng)的單位沖激響應 ； ② 確定初始狀態(tài) 。圖 及 有 即 為所求。由圖 b. 有 又 代 入上式可得 當 時， 有 1)0( ??cu 為所求 。 如圖 b. ； )1()()(2 ??? tttg ????????0)]([)()( 2nnTttgtf ? 2?T )1(111)()( ss esesssGtg ?? ?????? ?? ???? ???? ??????0 0 220 11)2()](n n snsn eentnTt ??)()()()( 2121 sFsFtftf ??)1(111)1(1)(2 ssseseessF ????????)(sGsLL ?3332321)//()//( )()( Rs RRsRRsRR sFsY ???????)()2(2 1)( sFssY ??)2(21)()()(??? ssFsYsG解： ① 由題，設門信號 ，由圖有 ， 其中 。 （ Re [s]0 ） 為所求。閉環(huán)根軌跡隨系統(tǒng)參數(shù)的變化而變化的圖形揭示了開環(huán)零、極點的位置與閉環(huán)系統(tǒng)性能之間的密切聯(lián)系，不僅可以給出閉環(huán)系統(tǒng)時間響應的信息，而且可以給出閉環(huán)系統(tǒng)頻率響應的信息。 ? 圖 ，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，式中 K為開環(huán)增益，為兩個開環(huán)極點，沒有開環(huán)零點。