【正文】 號(hào)的不同性質(zhì)與數(shù)學(xué)特征，可以有多種不同的分類方法。從信號(hào)特征的分類方法，則是我們?cè)谛盘?hào)分析中最常用到的。在整個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)， )(t? 只在 t=0 處有一個(gè)間斷點(diǎn)，除此之處，對(duì)任意的確定時(shí)刻 0t ，都有確定的值。在間斷點(diǎn)處，信號(hào)的取值規(guī)定為左極限與右極限和的一半。 階躍信號(hào)表達(dá)式為 A t0 )(tf = 0 t0 若 A=1，則稱為 單位階躍信號(hào) ，并記為 )(t? 。 正弦信號(hào) 正弦信號(hào) )(tf = )2s in ()s in ( 00 ???? ??? tfAtA 正弦信號(hào)是我們所熟知的。 式（ ）是正弦信號(hào)的三角函數(shù)表達(dá)式，它還可以用指數(shù)方式表示： Asin( 0? t＋ ? )= jA2[ e tj )0( ?? ? － e tj )0( ?? ?? ] 當(dāng)然也有 Acos( 0? t＋ ? )=2A [ e tj )0( ?? ? ＋ e tj )0( ?? ?? ] 復(fù)指數(shù)信號(hào) 復(fù)指數(shù)信號(hào) )(tf =Aest ， t ： (－∞ , ∞ ) ?? js ?? , 根據(jù) s的情況不同，又可細(xì)分為 （ 1） s 為實(shí)數(shù) 注意當(dāng) 0?? ， )(tf 是一個(gè)直流信號(hào)。其中 ? 稱為衰減因子， ω 則是正弦振蕩的角頻率。如圖 所 示，圖 (a)為 0?? ，圖 (b)為 0?? ，圖 (c)為 0?? 的 Ae tj )( ??? 實(shí)部波形。 門信號(hào) 如圖 所示。其表達(dá)式為 1 －τ t τ )(tp? 0 其它 像門信號(hào)這樣有始有終的信號(hào)稱為 時(shí)限信號(hào) 。 系統(tǒng)的基本概念 系統(tǒng)的分類與描述 系統(tǒng)的定義 什么是系統(tǒng)？廣義地說(shuō)，所謂系統(tǒng)（ system） ,是由若干相互聯(lián)系、相互作用的單元組成的具有一定功能的有機(jī)整體。 一個(gè)物理系統(tǒng)，將是某些元件或部件以特定方式連接而成的整體。一般我們將輸入系統(tǒng)的信號(hào)稱為激勵(lì)；而將系統(tǒng)完成某些要求功能的輸出稱為響應(yīng)。如通信系統(tǒng)是較大的系統(tǒng)，其中包括接收機(jī)、發(fā)射機(jī)和計(jì)算機(jī)等，它們是通信系統(tǒng)的組成單元，它們本身又是一個(gè)較小的系統(tǒng)，稱為子系統(tǒng)；而一個(gè)電容元件具有存儲(chǔ)電荷的功能，也可以把它看作一個(gè)小系統(tǒng)。而且從不同的角度又有不同的分類方式。若系統(tǒng)中各個(gè)子系統(tǒng) 的輸入、輸出信號(hào)均為連續(xù)信號(hào)，則稱為連續(xù)系統(tǒng)；若系統(tǒng)的各個(gè)子系統(tǒng)的輸入、輸出信號(hào)均為離散信號(hào)，則稱之為離散系統(tǒng)；若系統(tǒng)中有的子系統(tǒng)為連續(xù)系統(tǒng)，有的子系統(tǒng)為離散系統(tǒng)，這樣的系統(tǒng)稱為混合系統(tǒng)。下面分別說(shuō)明它們的含義。在電路課程中，我們知道：電路 的狀態(tài) (或稱為系統(tǒng)的狀態(tài) )，實(shí)際上是 ),( 0t?? 區(qū)間的一切外因共同作用于系統(tǒng)的結(jié)果。因此，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)必含有貯能元件 (或稱為動(dòng)態(tài)元件 )。例如完全由電阻元件構(gòu)成的電路就是一個(gè)非記憶系統(tǒng)。 (2) 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 若系統(tǒng)具有線性特性，即系統(tǒng)響應(yīng)具有齊次性 (或稱為均勻性、比例性 )和疊加性 (或稱為分解性 )，則這種系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。例如僅 由初始值作用的零輸入響應(yīng)為 )(tyx ；僅由輸入信號(hào)作用的零狀態(tài)響應(yīng)為 )(tyf ，則初始值和輸入信號(hào)共同作用的完全響應(yīng)為 ?)(ty )(tyx ＋ )(tyf 上式就是線性系統(tǒng)的疊加性。這就是線性系統(tǒng)的齊次性。描述線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程 (對(duì)于連續(xù)系統(tǒng) ) 或線性差分方程 (對(duì)于離散系統(tǒng) )。描述非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性方程。 如果在激勵(lì)信號(hào)作用之前系統(tǒng)不產(chǎn)生響應(yīng)，這樣的系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)（ causal system），否則稱為非因果系統(tǒng)。如 )1()( ?? tfty 是因果系統(tǒng)；而 )1()( ?? tfty 是非因果系統(tǒng)。 (4) 實(shí)際系統(tǒng)的響應(yīng)不可能出現(xiàn)于激勵(lì)以前 ,所以實(shí)際系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。 (5) 時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng) 如果系統(tǒng)的元件參數(shù)是不隨時(shí)間變化的，則稱其為時(shí)不變系統(tǒng)（或稱為非時(shí)變系統(tǒng)、定常系統(tǒng)）（ Time Invariant System），否則稱為時(shí)變系統(tǒng)。若圖 中 R、 L、 C 中任意一 個(gè)是時(shí)變的，則它就成為時(shí)變系統(tǒng)。 時(shí)不變系統(tǒng)的一個(gè)重要特性是響應(yīng)的變化規(guī)律不應(yīng)因輸入信號(hào)接入的時(shí)間不同而改變?？捎洖椋? 若 )()( tytf ? 則 )()( 00 ttyttf ??? 若系統(tǒng)既是連續(xù)線性的，又是時(shí)不變的，則稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)（ LTI： Linear Time Invariant）。實(shí)踐表明，有關(guān) LTI 系統(tǒng)的理論和方法在系統(tǒng)分析中非常有效。 系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu) 如前所述，實(shí)際系統(tǒng)通常由許多子系統(tǒng)組合而成。例如圖 所示檢測(cè)系統(tǒng)，信號(hào)（溫度、壓力、速度等）經(jīng)過(guò)傳感器轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，然后經(jīng)過(guò)放大器適當(dāng)放大，再送入顯示器。 對(duì)外部輸入 的信號(hào) )(tf ，分別用一個(gè)低通濾波器和兩個(gè)不同中心頻率的帶通濾波器處理后相加，這三個(gè)子系統(tǒng)的連接形式稱為并聯(lián)。雖然各種傳輸?shù)男盘?hào)內(nèi)容可能不同，但信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)的規(guī)律是一致的。它不但適用于電系統(tǒng)，而且也適用于生物、海洋、機(jī)械等非電系統(tǒng)。 線性 性質(zhì) 前面已經(jīng)涉及到這個(gè)性質(zhì)，這里更進(jìn)一步討論這個(gè)問(wèn)題。疊加性是指：如果輸入為 )(1tf 時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為 )(1ty ；輸入 )(2tf 時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)為 )(2ty ，則有 )()()()( 2121 tytytftf ??? 。 同時(shí)滿足疊加性和齊次性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，則對(duì)于任意常數(shù) 1a 和 2a ，有 )()()()( 22112211 tyatyatfatfa ??? 不滿足上述關(guān)系的系 統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。若系統(tǒng)是以線性代數(shù)方程或線性微（積）分方程描敘的，則該系統(tǒng)就是線性的。 微分特性 如果線性系統(tǒng)的輸入 )(tf 引起的響應(yīng)為 )(ty ，如圖 （ a）所示。 積分特性 如果線性系統(tǒng)的輸入 )(tf 引起的響應(yīng)為 )(ty ，則當(dāng)輸入為 )(tf 的積分??dft )(0? 時(shí)，其響應(yīng)將變?yōu)?)(ty 的積分 ?? dyt )(0? 。 連 續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng) ????? ??? ?????? ??? 線性時(shí)不變系統(tǒng)的全響應(yīng)可作如下分解： 1. y(t) = 自由響應(yīng) + 強(qiáng)制響應(yīng)； 2. y(t) = 瞬態(tài)響應(yīng) + 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)； 3. y(t) = 零輸入響應(yīng) yx(t) + 零狀態(tài)響應(yīng) yf (t) (210) D(p)y(t) = N(p)f(t) D(p)yx(t) = 0 D( p)yf(t) = N(p)f(t) 一、系統(tǒng)初始條件 分別將 t=0 和 t=0+ 代入式 (210)得 y(0)= yx(0)+ yf(0) (211) y(0+)= yx(0+)+ yf(0+) (212) 對(duì)于 因果系統(tǒng) ，由于激勵(lì)在 t = 0時(shí)接入，有 yf(0)=0 對(duì)于 時(shí)不變系統(tǒng) ，內(nèi)部參數(shù)不隨時(shí)間變化，故 零輸入 時(shí)有 yx(0+ )= yx(0) 因此，式 (211)和 (212)可改寫為 y(0 )= yx(0 )= yx(0+ ) (213) y(0+)= y(0)+?yf(0+) (214) 同理，可推得 y(t)的各階導(dǎo)數(shù)滿足 y(j )(0)=yx(j )(0)= yx(j )(0+), j = 0, 1, 2, …, n1 (215) y(j )(0+)= y(j )(0)+?yf(j )(0+), j = 0, 1, 2, …, n1 (216) 經(jīng)典解法 ： (算子方程 + 0+?初始條件 ) (算子方程 + 0+?初始條件與卷積積分 ) y(t) = yx(t) + yf (t) 本書解法： (算子方程 + 0?初始條件 ) (傳輸算子的部分分式分解與卷積積分 ) 可省去式 (216)和 (216)求系統(tǒng) 0+?初始條件所需的計(jì)算量。下面針對(duì)兩種情況來(lái)求 yx(t)。(0)、 …、 yx(n1)(0)代入上式及其直至 n = 1階導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式 = 積分常數(shù) AA …、 An . 當(dāng)特征根為共軛的復(fù)根或虛根時(shí)， yx(t)最終表達(dá)式中相應(yīng)的兩復(fù)數(shù)項(xiàng)可通過(guò)歐拉公式： cosωt = (ej ωt + e–j ωt )及 sin ωt = (e–j ωt ej ωt )化簡(jiǎn)為三角實(shí)函數(shù)。 3．求解零輸入響應(yīng) yx(t)的基本步驟 (1) 通過(guò)微分算子方程或傳輸算子的分母多項(xiàng)式 D(p)求系統(tǒng)的特征根。 (3) 由系統(tǒng)的 0 狀態(tài)值與 0 瞬時(shí)的零輸入系統(tǒng)求出零輸入系統(tǒng)的 0 初始條件 yx(j )(0 ), j=0, 1, 2, …, n1。 (5) 寫出所得的解 yx(t)，必要時(shí)畫出 yx(t)的波形。有時(shí)也可以定義為 1/2， 即 U（ 0） =1/2。 二、單位沖激函數(shù) 單位沖激函數(shù)又稱為狄拉克函數(shù)。 沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng) ????? ??? ?????? ??? ????? 一、沖激響應(yīng) 當(dāng)激勵(lì)為單位沖激函數(shù)時(shí)，電路的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，用 h（ t）表示?，F(xiàn)討論電壓源為單位沖激函數(shù)時(shí)，電容電壓的沖激響應(yīng)。 我們還用上面的圖為例說(shuō)明： 階躍響應(yīng) g（ t）應(yīng)該是方程 dg（ t） /dt+g（ t） /RC=U（ t） /RC 卷積及其應(yīng)用 ????? ??? ?????? ??? ?????? ?? 任意兩個(gè)函數(shù)卷積 ???? ?? ??? dtffty )()()( 21 積分限由 )(),( 21 tftf 存在的區(qū)間決定，即由 0)()( 21 ???? tff 的范圍決定。式 ()表明，拉氏變換是一種積分變換。因?yàn)??? js ?? 中除了虛部 ?j 外還有實(shí)部 ? ，故常稱 s 為複頻率。 式 ()中的積分下限取為 0? 是為了考慮 )(tf 中可能包含有出現(xiàn)在 t=0 瞬間的沖激信號(hào)，如果 )(tf 中無(wú)沖激，則積分下限可寫為零?？梢宰C明，從 )(sF 到 )(tf的拉氏反變換由下式確定 ? ?????jj st dsesFjtf??? )(21)( () 式 ()和 ()稱為拉普拉斯變換對(duì)，通過(guò)式 ()的拉氏變換可將時(shí)域函數(shù))(tf 變換為複頻域 (s 域 )的函數(shù)（象函數(shù) ） )(sF ；反之，由式 ()可把複頻域函數(shù) )(sF 反變換為對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù) )(tf 。 單位沖激信號(hào) )(t? 1)()(0 ??? ?? ? dtetsF st? 即 1)( ?t? () 單位階躍信號(hào) )(t? sesdtedtetsFststst11)()(000???????? ???? ?? ? 即 st 1)( ?? () 由於 )(tf 的單邊拉氏變換其積分區(qū)間為 ? ???,0 ，故對(duì)定義在 ? ???? , 上的實(shí)函數(shù) )(tf 進(jìn)行單邊拉氏變換時(shí)，相當(dāng)於 )()( ttf ? 的變換，所以常數(shù) 1 的拉氏變換與)(t? 的拉氏變換相同，即有 s11? 同理，常數(shù) A 的拉氏變換為 sA ，即 sAA? 正弦信號(hào) t?sin 由於 )(21s i n eejt tjtj ??? ??? 故 ?)(sF L ?][sin t? L ?????? ? ? )(21 eej tjtj ?? 應(yīng)用例 和例 的結(jié)果，並利用線性性質(zhì)，得 ???? 22)11(21)( ??????sjsjsjsF 即