【正文】 0, 177。 1, 177。 2, …) ， z 的冪級數(shù)函數(shù) () 即為 f(k)的雙邊 Z 變換，記為 F(z)=Z[f(k)]， F(z)稱為的象函數(shù)， f(k)稱為 F(z)的原函數(shù) ⑵ 雙邊 Z變換的收斂域 F(z)在或級數(shù)收斂的充分條件是 在 [Z]平面上，能使式（ ）級數(shù)收斂的 z 的取值區(qū)域即為 F(z)的收斂域 kkzkfzF ??????? )()(????????kkzkf )(Re[ Z ]Ima0)()( kakf k?? )(kf例 試對無限長因果序列 ， 求 Z變換和收斂域。 的雙邊 )(kf?? ??????? ??0)/()()(kkkkk zazkazF ??? ??????? ?0)/(|)(|kkkk zazkf|||| az ? )(zFazzzazFkk??? ??? 0)/()( )||||( az ?||a解 ：由題， 的雙邊 Z 變換為 有 時 收斂，即 的圓外陰影部分。 即 其收斂域為圖 圖 例 ?)(kf )2()1( ??? kk ?? )(kf)(kf??? ?? ??????????? ? ????????? 1 1 11)]2()1([)()( k kkkk k zzzzkkzkfzF ??|| 11|||||)(|11 zzzzkf kkkk ?????????? ??????? ||0 zzzzzzzF 11)( 21 ?????? ? )||0( ??? z例 試對有限長序列 ,求 解 : 由題， 的雙邊 Z變換為 即 顯然，當 （除原點以外的整個 [Z]平面）時 , 此級數(shù)收斂，有 的雙邊 Z變換及收斂域。 ⑶ 雙邊 Z變換收斂域的特點 ① 有限長雙邊序列的雙邊 Z變換的收斂域一般為 0|z|∞； 有限長因果序列雙邊 Z變換的收斂域為 |z|0； 有限長反因果序列雙邊 Z變換的收斂域為 |z|∞； 單位序列 δ(k)的雙邊 Z變換的收斂域為整個 [Z] 復平面。 ② 無限長因果序列雙邊 Z變換的收斂域為 |z||z0|(z0為復數(shù)、虛數(shù)或實數(shù) )，即收斂域為半徑為 z0的圓外區(qū)域。 ③ 無限長反因果序列雙邊 Z變換的收斂域為 |z||z0|，即以|z0|為半徑的圓內區(qū)域。 ④ 無限長雙邊序列雙邊 Z變換的收斂域為 |z1||z||z2|，即收斂域位于以 |z1|和 |z2|為半徑的兩個圓之間的環(huán)狀區(qū)域。 ⑤ 不同序列的雙邊 Z變換可能相同，即序列與其雙邊 Z變換并非一一對應，只有將序列的雙邊 Z變換與收斂域連同一起，才是與序列一一對應的。 ? 3）常用序列的雙邊 Z變換 ? 4）雙邊 Z變換的性質 ? 5） z 域逆變換 雙邊 Z逆變換的計算有冪級數(shù)展開法、部分分式法、反演積分法 (留數(shù)法 )等方法。 需要指出：因為雙邊 Z變換 是連同收斂域一起與原函數(shù)一一對應的，所以求雙邊 Z逆變換時，要特別注意收斂域的問題。 ① 冪級數(shù)展開法（長除法）：考慮 Z變換的定義中， F(z) 為冪級數(shù)， f (k) 的值則是冪級數(shù)的系數(shù)；因此，可以把 F(z)展開為冪級數(shù)，然后由冪級數(shù)的各項系數(shù)求得逆變換 f (k) 。 ② 部分分式法：一般 F(z)為有理分式時，可以把 F(z)展開為部分分式，同時結合常用的 Z變換對來求逆變換；或者通過常用 Z變換表，用查表法求 Z逆變換。 ③ 反演積分法 (留數(shù)法 )： 雙邊 Z逆變換也可以根據定義式計算 ， 這種方法稱反演積分法。按雙邊 Z 逆變換的定義 積分路徑 C 是收斂域內圍繞原點的逆時針方向的圍線，如圖 所示 。 )()(2 1)( 1 ?????? ? ? kzdzzFjkf C k?R e [ z ]I m [ z ]0? ?C圖 F(z)的收斂域及反演積分路徑 例 若 ，試求原函數(shù) f(k) 解：由題 , F(z)的收斂域為 |z|1，可知原函數(shù) f (k)為反因 果序列， 用長除法展開為 z 的冪級數(shù)。 由右邊的長除結果有 即 k ≥ 0 時， f (k) = 0，且 k 0 時 所以 為所求 )1||(12)( 22??? ?? zzz zzzF????3253 zzz221 zz ?? 2zz ?322 zzz ??323 zz ?432363 zzz ??4335 zz ?5435105 zzz ??5457 zz ??zzzzF 135)( 23 ???? ??,5)3(,3)2(,1)1( ?????? fff???????0|12|00)(kkkkf? 例 若 ，試求原函數(shù) f(k) 解：由題， F(z)的收斂域為 |z|2，可知 f(k)為反因果序列， 即 有 由于以上兩個 Z變換的收斂域的公共部分為 | z | 2 ， 故得 )2||()3()2()(2???? zzz zzF2233)3)(2()(??????? zzzzzzzF)2|z| ( 3233)( ????? z zz zzF)2|z| ( 2)1()2()3|z| ( 3)1()3( ?????????????? z zkz zk kk ??)1(])2()3[()1(])3(3)2(2[)( 11 ???????????? ?? kkkf kkkk ??)(kf ?????0)()(kkzkfzF)(kf )]([)( kfZzF ????????? ? ?Ck kzdzzFjkkf 0 )(210 0)( 1?)(zF )]([)( 1 zFZzf ??)(zF )(kf )(zF)(kf )(zF )()( zFkf ?6）單邊 Z變換 由于實際的離散信號 f (k) 都是有始信號，若令起始時刻 k0 = 0 ，而且 k 0 時 f (k)為零，則 f (k) 為因果信號。因果信號的雙邊 Z 變換即 單邊 Z 變換。 單邊 Z 變換的應用更加廣泛。 下面討論單邊 Z 變換及其性質。 1）單邊 Z變換的定義和收斂域 對于離散信號 ，冪級數(shù) 的單邊 Z變換，記為 而積分 則為 的單邊 Z逆變換，記為 。 稱為 f (k) 的象函數(shù)， 則為 的原函數(shù)。 與 之間的對應關系可表示為 。 () 即為 。 () )(kf)(zF??????0)(kkzkf)(zF使 的單邊 Z 變換 存在的充分條件是 Z 復平面上使式 ()的級數(shù)收斂的 z 的區(qū)域稱為 的收斂域。 () 單邊 Z 變換的收斂域與因果信號雙邊 Z 變換的收斂域相同。 1)()()( ??? zFkkf ?)1||( 1)()()()(0?????? ???? zzzzkzFkkfkk??)|a| |z| ( )()( )()(0?????? ????azzzkazFkakfkkkk ??)1||( )()()()(0?????? ?????? ? zezzzkezFkekfjkkkjkj??? ??)|a||z| ( )()()()1()2)(1(!1)( 1 ????????? ?? mmk az zzFkamkkkkmkf ??2）常用序列的單邊 Z變換 ① () () () () () ② ③ ④ ⑤ 3） 單邊 Z變換的性質 ? ?)|z| ( )()()( 10????? ????mkkmm zkfzFzmkf)|z|( )()()( 10? ???? ????? mkkm zmkfzFzmkf ?)|z| ( )()()( ?? ???? ? zFzmkmkf m① 位移 (時移 )性質 ：若 f (k) F (z)， | z | () () () （主要討論單邊 Z變換的特殊性質） ， m為正整數(shù)，則有 )|z| ( )()( 111 ??? zFkf )||( )()( 222 ??? z zFkf)(1 kf )(2 kf )),(m a x|z| ( )()()()( 212121 ?????? zFzFkfkf② 卷積性質： 若 ， ，且 、 為因果序列 ， 則 () )||()()( ??? zzFkf)),1(m a x|z| ( )(1)(0??????kmzFz zmf③ 部分和性質： 若 ，則有 () ??|| z??|| z)3||()3()2()( 32 ???? zzz zzF4）單邊 Z逆變換的計算 與雙邊 Z逆變換的計算方法類似，單邊 Z變換的計算方法也有 冪級數(shù)展開法、部分分式展開法、反演積分法、查表法等。 由于單邊 Z 變換的收斂域為 求 F (z) 的單邊 Z逆變換 f (k) 。 ， 其 Z逆變換為因果序列 ， 時的雙邊 Z逆變換的 所以單邊 Z 變換的計算方法與收斂域為 計算方法相同。 下面舉例說明部分分式展開法。 例 已知 zzF )()2()3()3()3()3)(2()( 2112123133 ??????????? zKzKzKzKzzzzzFzzF )(2)()3()!23( 13)()3(33123313 ???????? ?????? ?? zz zzFzdzdKzzFzK2)()2(4)()3()!13( 122332211 ???????????? ??? ?? zz zzFzKzzFzdzdK)3|z| ()2( 2)3( 4)3( 2)3( 3)()( 23 ??????????? z zz zz zz zz zFzzF)(2)(3342521)(2234323)1(23)(11212kkkkkkkkkfkkkkkk?????????????????????????????????解： 首先對 按部分分式展開，有 對 的一階極點 z = 2 與三重極點 z = 3 ，由式 ()、 可得 由常用單邊 Z變換式 ()和式 ()， 有 ()有 用 Z變換解差分方程 ? 1. 一般信號 激勵下的零狀態(tài)響應 0)(2 1)(2 1)( 1 ??? ?? ? kzdzz zFj