【正文】 第 7章 信號與系統(tǒng)控制的復頻域分析法 復頻域分析法及其特點 連續(xù)信號與系統(tǒng)的復頻域分析 離散信號與系統(tǒng)控制的復頻域分析 復頻域分析法及其特點 ? 什么是復頻域分析法 ? 復頻域分析法的主要特點 什么是復頻域分析法 ? 復頻域分析法包括連續(xù)信號與系統(tǒng)的復頻域分析與離散信號與系統(tǒng)的復頻域分析兩部分； ? 在連續(xù)信號與系統(tǒng)的分析中，復頻域分析法即拉普拉斯分析法； ? 在離散信號與系統(tǒng)的分析中，復頻域分析法則稱為 Z變換法。 ? 頻域分析法揭示了信號的頻譜特性和系統(tǒng)的頻域特性，但頻域分析法有兩個局限性：一是某些信號的傅立葉變換不存在，給信號與系統(tǒng)的分析帶來了很大的不便；另一個最大的局限性就是只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。 ? 復頻域分析法則是能夠有效克服頻域分析法局限性：不僅能夠避免出現(xiàn)信號分析的死區(qū)，全面解決信號的復頻域分析問題；而且能夠求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應與零輸入響應問題，即可以求解系統(tǒng)的完全響應，使信號與系統(tǒng)的分析更為完整、簡潔。 復頻域分析法的主要特點 ? 在連續(xù)信號與系統(tǒng)的分析中，復頻域分析法的主要特點是在頻域分析法的基礎上引入衰減因子 ，使傅立葉正變換中的 變成 ；使原來頻域分析中的基本虛指數(shù)信號 擴展為復頻域分析中的基本復指數(shù)信號 ，其中 即為復頻率 ； 同時也使傅立葉變換成為了拉普拉斯變換。 te ??tsetje ??tse?tje ??? js ?? )( 為實數(shù)， ?? 連續(xù)信號與系統(tǒng)的復頻域分析 ? 拉普拉斯變換 ? 用拉普拉斯變換法求解微分方程 ? R LC系統(tǒng)的復頻域分析 ? 閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡 ? 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能 拉普拉斯變換 ? 1）從傅立葉變換到拉普拉斯變換 用 表示信號 的傅立葉變換 ， 由傅里葉 變換的定義 ， 則有： 令 ， 則有： （ ） 式（ ）即為信號 f(t)的雙邊拉普拉斯變換，記為 = )( ?? jF ? tetf ??)(tdetftdeetfjF tjtjt ?? ??? ?????? ? ??? )()()()( ?????? ?? js ??tdetfsF ts? ??? ?? )()()(sF )]([ tf同樣，根據(jù)傅里葉逆變換的定義，則有： （ ） 式（ ）稱為 F(s)的拉普拉斯逆變換，記為 sdesFjtf jj ts? ?? ??? ??? )(2 1)( ?)(tf 1 )]([ sF2） 雙邊拉普拉斯變換的收斂域 任一信號 f(t)的雙邊拉氏變換 F(s)是否存在，完全取決于是否選擇了合適的 σ。只要選擇了合適的 σ，就能滿足絕對可積條件，即： ?????? ? dtetf t?|)(| 此時， f(t) 的雙邊拉氏變換 F(s)就一定存在。由于 σ =Re[s]， 所以 F(s)是否存在，取決于是否選擇了適當?shù)? s 。在復平面上， 能使 F(s)存在的 s 的取值范圍稱為 F(s) 的收斂域。由于 F(s)的存 在與否，完全由 s 的實部 σ決定，而與 s 的虛部 jω無關，因此 收斂域的邊界是平行于 jω軸的直線。 ? 例 求時限信號 f1(t)=ε(t)ε(tτ),τ 0 的雙邊拉氏變換及其收斂域 解：設 f1(t)的雙邊拉氏變換為 F1(s)，則有 由上述積分過程可知： F1(s)的存在與 σ的取值無關可任意選取。即： F1(s)的收斂域為整個復平面， 或 σ=Re[s] ∞ seesesdtedtedtedtetdtetdtettsFsstststststststs?????????????????????????????????????????????????????1)1(1|1)()(])()([)(0001? 3） 單邊拉普拉斯變換 信號的單邊拉氏變換及其逆變換 (或反變換 )分別為 （ ） （ ） 式（ ）稱為的單邊拉氏變換 。 式（ ）為的單邊拉氏反變換 。 其中 F(s)為 f(t)的象函數(shù)， f(t)則為 F(s)的原函數(shù)。 tdetfsF ts? ? ???0)()(?????????????jjts tsdesFjttf ???0)(2100)(? 4) 常用信號的單邊拉普拉斯變換對 ⑴ 沖激信號 , 即 : ， ⑵ 階躍信號 ， 即： ， ? ? ?? ?? 0 1)()( tdetsF ts? ???][Re s1)( ?t? ???][Re sstdetdetsFtsts 1)()(00 ??? ??? ?? ?? ? 0]R e [ ?sst1)( ?? 0]Re[ ?s)(t?)(t?⑶ 斜坡信號 即： ⑷ 單邊指數(shù)信號 即： 0]R e [11|)()(20000???????????? ?? ???? ?sstdesesttdettdettsFtstststs，?21)(stt ??0]R e [ ?s， 0)( ?ate ta ??asastdedtteesF tasstat ?????? ?? ? ???? ]R e[1)()( 0 )(0 ，??asaste ta ???? ]R e[1)( ，??)(tt? ⑸ 正弦信號 即： 類似有： 0]R e [)11(21)(21)(s i n)(2200?????????????????ssjsjsjtdeeejdttetsFtstjtjst，????????0]R e [s i n 22 ??? sst ，???0]R e [c os 22 ??? ss st ，??t?sin? 5）單邊拉普拉斯變換的性質 單邊拉氏變換的性質反映了不同形式的信號與其單邊拉氏變換的對應規(guī)律。 利用這些性質并結合常用信號的單邊拉氏變換對 ，能夠較快地求解單邊拉氏變換和逆變換的問題。 熟記單邊拉氏變換的性質和常用信號的單邊拉氏變換對 ， 并有效掌握傅里葉變換和拉斯變換的內在關系 ，對信號與系統(tǒng)的頻率特性分析以及 LT I 系統(tǒng)的時域全響應的求解具有重要的價值。 )()( 11 sFtf ? )]R e [( 1??s )()( 22 sFtf ? )]R e [( 2??s)()()()( 22112211 sFasFatfatfa ??? ),m a x (]R e [ )21 ???s)()( sFtf ? )]R e [( 0??s)()()( 000 sFettttf ts???? ? 0]R e [ ??s 00 ?t)(tf 00 ?t)()()( 000 ttfttttf ???? ?⑴ 線性性質 若 ，則 ， ⑵ 時移性質 若因果信號： ，則有 注意， 必須是因果信號，且 時，上述性質才成立， 此時 )()( sFtf ? )]R e [( 1??s )()( 00 ssFtfe ts ?? )]R e [( 10 ?? ??s0s ]Re[ 00 s??)(sF 1?)( 0ssF ? 10 ]R e [ ??? ss 10]R e [ ?? ??s⑶ 復頻移性質 若 ， 則 ， 式中， 為復常數(shù)， 關于收斂域的說明：因為 的收斂域為 Re[s] ，所以 的收斂域也為 ，即 。 。 )()( sFtf ? )]R e [( 0??s)0()()()1( ??? fsFstf )]R e [( 0??s)0()0()()( )1(2)2( ?? ??? ffssFstf )]R e [( 0??????????? 10)(1)( )0()()( niiinnn fssFstf )]R e [( 0??s)(tf 0)0()( ??nf ),2,1,0( ??n)()()( sFstf nn ? )]R e [,21( 0??? sn ?，⑹ 時域微分性質 若 ，則有 時域微分性質中包含了信號的初始狀態(tài)，因此在求解系統(tǒng)的微分方程時，不僅能求解零狀態(tài)響應，而且還能求解零輸入響應，所以單邊拉氏變換的時域微分性質非常重要。 若 為因果信號，則有 微分性質可簡化為 即：原函數(shù)求導一次，其象函數(shù)乘上一個 s 。 此時 ， 時域 )()( sFtf ? )]R e [( 0??s )(1)(asFaatf ?)]R e[( 0?as ? a⑷ 尺度變換性質 若 , 則 ， 式中 為大于 0的常數(shù)。 )()( 11 sFtf ? )]Re[( 1??s )()( 22 sFtf ? )]R e [( 2??s)()()()( 2121 sFsFtftf ?? )),m a x (]R e [( 21 ???s⑸ 時域卷積 若 ， 且 ， 則 )(tf )()( sFtf ? )]R e [( 0??s? ? ??? t s sFdftf 0)1( )()()( ?? )),0m ax (]R e [( 0??s?nnssFtf )()()( ?? .,2,1( ??n )),0m ax (]R e [ 0??s)()( tf n? )(tf ?0 t n)(tf? ?? ??? ??? t sfs sFdftf )0()()()( )1()1( ?? )),0m a x (]R e[( 0??s???????? ?? nmmmnnn fsssFtf1)(1)( )0(1)()( )),0m a x (]R e[( 0??s⑺ 時域積分性質 對于因果信號 ，若 表示對 從 到 的 而對于非因果信號 則有 時域微分性質和時域積分性質，主要應用于復頻域分析中 線性連續(xù)系統(tǒng)的微 ﹑ 積分運算以及系統(tǒng)微分方程的求解。 式中： 重積分。 ，則有 )()( sFtf ? )]R e [( 0??ssdsFdtft )()()( ?? )]R e [( 0??s?nnnsdsFdtft )()()( ??)()( sFtf ? )]R e [( 0??s??? s dFt tf ?? )()()),0m a x (]R e[( 0??s⑻ 復頻域微分 若 ，則有 ⑼ 復頻域積分 若 ，則有 ). . .210]R e [( 0 ，，?? ns ?)(tf )(t?)()( sFtf ? )]R e [( 0??s )(tf)