【正文】 例 已知 zzF )()2()3()3()3()3)(2()( 2112123133 ??????????? zKzKzKzKzzzzzFzzF )(2)()3()!23( 13)()3(33123313 ???????? ?????? ?? zz zzFzdzdKzzFzK2)()2(4)()3()!13( 122332211 ???????????? ??? ?? zz zzFzKzzFzdzdK)3|z| ()2( 2)3( 4)3( 2)3( 3)()( 23 ??????????? z zz zz zz zz zFzzF)(2)(3342521)(2234323)1(23)(11212kkkkkkkkkfkkkkkk?????????????????????????????????解： 首先對(duì) 按部分分式展開，有 對(duì) 的一階極點(diǎn) z = 2 與三重極點(diǎn) z = 3 ，由式 ()、 可得 由常用單邊 Z變換式 ()和式 ()， 有 ()有 用 Z變換解差分方程 ? 1. 一般信號(hào) 激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 0)(2 1)(2 1)( 1 ??? ?? ? kzdzz zFjzdz。 ， 其 Z逆變換為因果序列 ， 時(shí)的雙邊 Z逆變換的 所以單邊 Z 變換的計(jì)算方法與收斂域?yàn)? 計(jì)算方法相同。 1)()()( ??? zFkkf ?)1||( 1)()()()(0?????? ???? zzzzkzFkkfkk??)|a| |z| ( )()( )()(0?????? ????azzzkazFkakfkkkk ??)1||( )()()()(0?????? ?????? ? zezzzkezFkekfjkkkjkj??? ??)|a||z| ( )()()()1()2)(1(!1)( 1 ????????? ?? mmk az zzFkamkkkkmkf ??2）常用序列的單邊 Z變換 ① () () () () () ② ③ ④ ⑤ 3） 單邊 Z變換的性質(zhì) ? ?)|z| ( )()()( 10????? ????mkkmm zkfzFzmkf)|z|( )()()( 10? ???? ????? mkkm zmkfzFzmkf ?)|z| ( )()()( ?? ???? ? zFzmkmkf m① 位移 (時(shí)移 )性質(zhì) ：若 f (k) F (z)， | z | () () () （主要討論單邊 Z變換的特殊性質(zhì)） ， m為正整數(shù)，則有 )|z| ( )()( 111 ??? zFkf )||( )()( 222 ??? z zFkf)(1 kf )(2 kf )),(m a x|z| ( )()()()( 212121 ?????? zFzFkfkf② 卷積性質(zhì)： 若 ， ，且 、 為因果序列 ， 則 () )||()()( ??? zzFkf)),1(m a x|z| ( )(1)(0??????kmzFz zmf③ 部分和性質(zhì)： 若 ，則有 () ??|| z??|| z)3||()3()2()( 32 ???? zzz zzF4）單邊 Z逆變換的計(jì)算 與雙邊 Z逆變換的計(jì)算方法類似，單邊 Z變換的計(jì)算方法也有 冪級(jí)數(shù)展開法、部分分式展開法、反演積分法、查表法等。 () )(kf)(zF??????0)(kkzkf)(zF使 的單邊 Z 變換 存在的充分條件是 Z 復(fù)平面上使式 ()的級(jí)數(shù)收斂的 z 的區(qū)域稱為 的收斂域。 與 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可表示為 。 1）單邊 Z變換的定義和收斂域 對(duì)于離散信號(hào) ，冪級(jí)數(shù) 的單邊 Z變換，記為 而積分 則為 的單邊 Z逆變換，記為 。 單邊 Z 變換的應(yīng)用更加廣泛。 由右邊的長除結(jié)果有 即 k ≥ 0 時(shí)， f (k) = 0，且 k 0 時(shí) 所以 為所求 )1||(12)( 22??? ?? zzz zzzF????3253 zzz221 zz ?? 2zz ?322 zzz ??323 zz ?432363 zzz ??4335 zz ?5435105 zzz ??5457 zz ??zzzzF 135)( 23 ???? ??,5)3(,3)2(,1)1( ?????? fff???????0|12|00)(kkkkf? 例 若 ，試求原函數(shù) f(k) 解：由題， F(z)的收斂域?yàn)?|z|2，可知 f(k)為反因果序列， 即 有 由于以上兩個(gè) Z變換的收斂域的公共部分為 | z | 2 ， 故得 )2||()3()2()(2???? zzz zzF2233)3)(2()(??????? zzzzzzzF)2|z| ( 3233)( ????? z zz zzF)2|z| ( 2)1()2()3|z| ( 3)1()3( ?????????????? z zkz zk kk ??)1(])2()3[()1(])3(3)2(2[)( 11 ???????????? ?? kkkf kkkk ??)(kf ?????0)()(kkzkfzF)(kf )]([)( kfZzF ????????? ? ?Ck kzdzzFjkkf 0 )(210 0)( 1?)(zF )]([)( 1 zFZzf ??)(zF )(kf )(zF)(kf )(zF )()( zFkf ?6）單邊 Z變換 由于實(shí)際的離散信號(hào) f (k) 都是有始信號(hào)，若令起始時(shí)刻 k0 = 0 ，而且 k 0 時(shí) f (k)為零，則 f (k) 為因果信號(hào)。按雙邊 Z 逆變換的定義 積分路徑 C 是收斂域內(nèi)圍繞原點(diǎn)的逆時(shí)針方向的圍線，如圖 所示 。 ② 部分分式法：一般 F(z)為有理分式時(shí)，可以把 F(z)展開為部分分式，同時(shí)結(jié)合常用的 Z變換對(duì)來求逆變換；或者通過常用 Z變換表，用查表法求 Z逆變換。 需要指出：因?yàn)殡p邊 Z變換 是連同收斂域一起與原函數(shù)一一對(duì)應(yīng)的，所以求雙邊 Z逆變換時(shí)，要特別注意收斂域的問題。 ⑤ 不同序列的雙邊 Z變換可能相同，即序列與其雙邊 Z變換并非一一對(duì)應(yīng)，只有將序列的雙邊 Z變換與收斂域連同一起，才是與序列一一對(duì)應(yīng)的。 ③ 無限長反因果序列雙邊 Z變換的收斂域?yàn)?|z||z0|，即以|z0|為半徑的圓內(nèi)區(qū)域。 ⑶ 雙邊 Z變換收斂域的特點(diǎn) ① 有限長雙邊序列的雙邊 Z變換的收斂域一般為 0|z|∞； 有限長因果序列雙邊 Z變換的收斂域?yàn)? |z|0； 有限長反因果序列雙邊 Z變換的收斂域?yàn)? |z|∞； 單位序列 δ(k)的雙邊 Z變換的收斂域?yàn)檎麄€(gè) [Z] 復(fù)平面。 的雙邊 )(kf?? ??????? ??0)/()()(kkkkk zazkazF ??? ??????? ?0)/(|)(|kkkk zazkf|||| az ? )(zFazzzazFkk??? ??? 0)/()( )||||( az ?||a解 ：由題， 的雙邊 Z 變換為 有 時(shí) 收斂，即 的圓外陰影部分。 1, 177。 差為 另外，本系統(tǒng)為 Ⅰ 型系統(tǒng)，當(dāng) K* = ，系統(tǒng)在跟蹤斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤 離散信號(hào)與系統(tǒng)控制的復(fù)頻域分析 ? Z 變換 ? 用 Z變換解差分方程 ? 信號(hào)的采樣與恢復(fù) ? 離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) ? 離散系統(tǒng)的表示和模擬 ? 離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng) ? 離散系統(tǒng)的性能分析 Z 變換 ? 1） 從拉普拉斯變換到 Z變換 對(duì)連續(xù)信號(hào) 進(jìn)行理想抽樣得到抽樣信號(hào) : 對(duì)抽樣 信號(hào) fs(t) 取雙邊拉普拉斯變換，有 慮 T = 1 時(shí)，常用 f (k) 表示 f (kT) ，則上式可為 （ ） 式（ ）稱為的雙邊 Z變換。 即： K* = ，共軛極點(diǎn) 為次要極點(diǎn)，原三階 。 4 044)(31ps ??)(11ps ??)(21ps ??o60?? 阻尼線1s2s3s1p2p3p?[ S]?j圖 例 根軌跡 r c c o sa r c c o s ?????解：利用 在圖 跡相交， 阻尼線與根軌 2,1s1s3,2,1p得到交點(diǎn) ； 連接 與三個(gè) 的向量連線 ， 并測(cè)量各 角；若滿足 開環(huán)極點(diǎn) 向量的相 o312111 1 8 0)()()( ????????? pspsps1s 3,2,1p1))()((312111???? ? ｜｜ pspsps K |||||| 312111 pspspsK ???????|| 11 ?? ps || 21 ?? ps || 31 ?? ps ?????K2,1s 3s??o312111 1 8 0)()()( ????????? pspsps ??1s232 )44)(44( *lim)()(lim 00 ???????? ?? jsjss sKsHsGK ssV1s n?? 21 ?? ?n ?? n? n??,%? st則可進(jìn)一步測(cè)量 與三個(gè)開環(huán)極點(diǎn) 的距離，代入模方程，則有 即 由測(cè)量值 ， ， 可得 為主導(dǎo)極點(diǎn)，負(fù)實(shí)極點(diǎn) 系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng)；而且近似二階系統(tǒng)的阻尼比 ，則要沿著期望的 而且，根據(jù) K* = 時(shí) 的測(cè)量值 、 及 ，可確定近似二階系統(tǒng)的 值，由 即可求出對(duì)應(yīng)的超調(diào)量 與調(diào)節(jié)時(shí)間 。 ? 接著就可以應(yīng)用模 方程進(jìn)一步確定這些滿足相方程的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的根軌跡增益 K* 或開環(huán)增益 K 的值。 ? 首先由相方程試探并確認(rèn)所期望的閉環(huán)極點(diǎn)是否在真正的根軌跡上 。 圖 a. 中， T 正是慣性時(shí)間常數(shù)，如果太大，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能肯定很差。 圖 構(gòu)造新系統(tǒng)前、后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 由 圖 ，原系統(tǒng)并沒有 開環(huán) 零點(diǎn)與 閉環(huán)零點(diǎn)，因此， 構(gòu)造新系統(tǒng) 后產(chǎn)生的兩個(gè)開環(huán)零點(diǎn) 對(duì)照 圖 新系統(tǒng) 的 參變量根軌跡，可知當(dāng)參變量 T 0 且 為有限值時(shí)， 系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 當(dāng)根軌跡與最佳阻尼線相交時(shí)，系統(tǒng)可等效為二階，具有較好的動(dòng)態(tài)性能； 而當(dāng) T 增大到一定值后，由于 原系統(tǒng)沒有 閉環(huán)零點(diǎn)，因此無法產(chǎn)生偶極子， 所以靠近 （即 原點(diǎn) ）的閉環(huán)極點(diǎn)將成為 主導(dǎo)極點(diǎn) ， 系