【正文】 ? 。而系統(tǒng)的能觀測性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化能否由系統(tǒng)的輸出反映出來。 系統(tǒng)的能控性和能觀測性分析 函數(shù)名 功能 ctrb() 求能控性矩陣 obsv() 求能觀測性矩陣 gram() 求能控性或能觀測性Gram矩陣 表 5－ 4 模型屬性函數(shù) 函數(shù)名 功能 dgram() 求離散系統(tǒng)的能控性或能觀測性 Gram矩陣 ctrbf() 將系統(tǒng)按能控性和不能控性進(jìn)行分解 obsvf() 將系統(tǒng)按能觀測性和不能觀測性進(jìn)行分解 續(xù)表 ? 系統(tǒng)的能控性和能觀測性 ? 能控性和能觀測性是現(xiàn)代控制理論中兩個重要的基本概念，是設(shè)計(jì)控制器和狀態(tài)估計(jì)器的基礎(chǔ)。 ? F=freqresp(num,den,sqrt(1)*w) ? [num,den]=invfreqs(F,w,3,4),printsys(num,den) ? 結(jié)果顯示： ? num = ? ? den = ? ? ? num/den = ? ? 1 s^3 + 7 s^2 + 24 s + 24 ? ? s^4 + 10 s^3 + 35 s^2 + 50 s + 24 ? 利用 MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱，不僅可以分析系統(tǒng)的能控性和能觀測性。num=[1 7 24 24]。 ?00( ) ( ) ( )fTj t j tG j g t e dt g t e dt??? ? ??????? 【 例 5－ 26】 利用例 5－ 18在給定頻率范圍上求得的頻率響應(yīng)值 F，辨識系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。這樣由脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)的辨識問題就轉(zhuǎn)換成由頻率響應(yīng)辨識的問題了。 ? [num,den]=invfreqs(mag.*exp(sqrt(1)*phase),w,m,n) ? 除了由頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)來辨識系統(tǒng)模型外，還可以根據(jù)階躍響應(yīng)及脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)對系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進(jìn)行辨識，其具體的做法是，首先將階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)或脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為響應(yīng)的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)，然后再根據(jù)上面的方法來辨識原系統(tǒng)的模型。返回的 num和 den分別為辨識出傳遞函數(shù)分子和分母的系數(shù)向量，即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。這種獲得數(shù)學(xué)模型的過程稱為系統(tǒng)辨識。 101100101102 1 0 0 8 0 6 0 4 0 2 00101100101102 4 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 00圖 5－ 22 Bode圖 對于某些比較復(fù)雜的控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型往往沒有辦法從物理上得出，但可以通過適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)手段測試出系統(tǒng)的某種響應(yīng)信息，如可以通過頻率響應(yīng)測試出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)，或通過數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)來測試出系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的輸入與輸出數(shù)據(jù)。39。) ? subplot(2,1,2)。 ? semilogx(w,20*log10(m1),w,20*log10(m2),39。 ? [m2,p2]=bode(numT,denT,w)。 ? numT=conv(n2,num1)。*180/pi。 ? [m1,p1]=bode(num1,den1,w)。 ? w=logspace(1,2)。 ? 解： MATLAB程序?yàn)椋? ? % ? num1=[1 1]。一般情況下，取 pade近似的擬合階次為 3或 4就可以獲得相當(dāng)滿意的精度。 A, B, C, D1()Gs1()Gs 1()Gs??11( ) ( ) , ( ) ( )G jw G jw G jw G jw ??? ? ? ? ?se??se??? 純時(shí)間延遲環(huán)節(jié) 常采用 近似方法，它是 1892年由法國數(shù)學(xué)家 提出的一種著名的有理近似方法，其表達(dá)式為： ? 式中， 稱為 近似系數(shù)。 帶時(shí)間延遲的連續(xù)控制系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以由以下兩種方法直接求得，即精確法和近似法。由此可見，帶有時(shí)間延遲的系統(tǒng)從某種意義上說，相當(dāng)于在一個不帶時(shí)間延遲的傳遞函數(shù)模型后面串接一個純時(shí)間延遲環(huán)節(jié) 。由此可見，帶有時(shí)間延遲的系統(tǒng)從某種意義上說，相當(dāng)于在一個不帶時(shí)間延遲的傳遞函數(shù)模型后面串接一個純時(shí)間延遲環(huán)節(jié) 。grid ? 如圖 5－ 21所示。D=0。1]。H=[2。0 1 1。當(dāng)然這一函數(shù)的調(diào)用格式也可以簡化成下面格式 : ? dbode(num,den,Ts,w) ? dbode(G,H,C,D,Ts,iu,w) ? 更簡單地 dbode(num,den, Ts) ? 或 dbode(G,H,C,D,Ts,iu) ? 在這種情況下 ， 將直接繪制出離散時(shí)間系統(tǒng)的Bode圖 。當(dāng) w省略時(shí)，頻率點(diǎn)在 0~ 弧度之間自動選取。 例如 ， dbode()函數(shù)的調(diào)用格式為： [mag,phase]=dbode(num,den,Ts,w) ? 或 [mag,phase]=dbode(G,H,C,D,Ts,iu,w) ? 式中， num,den和 G,H,C,D分別為離散系統(tǒng)傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程模型的參數(shù)。 plot(phase,20*log10(mag)) ngrid 執(zhí)行后可得如圖 520所示的 Nichols圖 。 w=logspace(1,1,400)。 解 MATLAB程序?yàn)? % num=1。但 Nichols圖的繪制方式和 Bode圖是不同的 ， 它可由以下命令繪制 ? plot(phase,20*log10(mag)) ? 當(dāng)然 ， Nichols圖也可采用與 Bode圖類似的簡單命令來直接繪制 。由圖可知， Nyquist曲線不包圍 (,j0)點(diǎn)，而開環(huán)系統(tǒng)的三個極點(diǎn)均位于左半 s平面，因此這個系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 ? [z,p,k]=tf2zp(num,den)。[num1,den1]=zp2tf(z,p,10*k)。nyquist(num,den)。 ? [num1,den1]=zp2tf(z1,p1,k1)。z1=[0]。 ? ? ? ? ? ?1 6 .7()0 .8 1 0 .2 5 1 0 .0 6 2 5 1sGss s s? ? ? ? G (s) 10 R (s) Y (s) 圖 5－ 18 例 5－ 22的圖 ? 解：先算出內(nèi)環(huán)傳遞函數(shù)， ? 然后以 G0(s)為開環(huán)傳遞函數(shù)繪制出 Nyquist曲線，但這里不能直接采用奈氏判據(jù)，因?yàn)樵谇跋蛲ǖ郎嫌幸环糯笙禂?shù) k=10,因此，奈氏判據(jù)中的臨界點(diǎn)應(yīng)改成 (1/k,j0)點(diǎn)。由圖可知， ? Nyquist曲線按逆時(shí)針方向包圍 (1,j0)點(diǎn) 1次，而開環(huán)系統(tǒng)包含右半 s平面上的一個極點(diǎn)，所以以此構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 ? [num,den]=zp2tf(z,p,k)。z=[]。 )()(23 ???? ssssHsG圖 516 例 5－ 20的 Nyquist曲線 ? 例 【 5－ 21】 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： ? 繪制系統(tǒng)的 Nyquist曲線，并判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。den=[1 2 1 ]。 ? 例 526 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ? 繪制 Nyquist圖 ， 并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 ? 當(dāng)然也可使用下面的簡單命令來直接繪出系統(tǒng)的奈奎斯特圖 。 ? Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)可表示為：當(dāng) ω從－ ∞ → + ∞變化時(shí) ， Nyquist曲線 G(jω)H(jω)逆時(shí)針包圍 (1,j0)點(diǎn)的次數(shù) N， 等于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)位于右半 s平面的極點(diǎn)數(shù) P， 即 N＝ P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 ， 否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 。F=evalfr(sys,w)。den=[1 10 35 50 24]。 ? 解： MATLAB程序?yàn)椋? ? % ? w=0+。 ? F=freqresp(num,den,sqrt(1)*w) ? 結(jié)果顯示： 324 3 27 2 4 2 4()1 0 3 5 5 0 2 4s s sGss s s s? ? ??? ? ? ?? F = ? ? ? ? ? ? ? ? MATLAB也提供了直接求取 LTI系統(tǒng)（ LTI系統(tǒng)的定義參見第九章）在單個復(fù)數(shù)頻率點(diǎn)處的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)的函數(shù) evalfr()，其調(diào)用格式為： ? F= evalfr(sys,w) ? 式中， F為頻率響應(yīng)， w為給定的頻率向量。num=[1 7 24 24]。 例 【 5－ 18】 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 求在頻率為 ~10之間的頻率響應(yīng)。 ? 1 00102030Magnitude (dB)101100101 1 8 0 1 3 5 9 0 4 50Phase (deg)G a i n m a r g i n = 4 . 4 9 2 2 P h a s e m a r g i n = 2 3 . 0 7 0 6F r e q u e n c y ( r a d / s e c )圖 515 Bode 圖 ? 除了根據(jù)系統(tǒng)模型直接求取幅值和相位裕量之外 ， MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中還提供了由幅值和相位相應(yīng)數(shù)據(jù)來求取裕量的方法 ， 這時(shí)函數(shù)的調(diào)用格式為 ? [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,w) ? 式中 ,頻率響應(yīng)可以是由 bode( )函數(shù)獲得的幅值和相位向量 ， 也可以是系統(tǒng)的實(shí)測幅值與相位向量 ， w為相應(yīng)的頻率點(diǎn)向量 。 ? Gm = ? ? Pm = ? ? Wcg = ? ? Wcp = ? ? 幅值裕量 =，相位裕量 =，即 ? ω＝ ，相位曲線穿越－ 180 線，幅值裕量為 Gm==。])。 ? disp([‘幅值裕量 =’,num2str(20*log10(Gm)),‘dB,’,‘相位裕量=’,num2str(Pm),‘度 。D=0。1]。0。 54]。0 0 1 0。 ? 解： MATLAB程序?yàn)椋? ? ?0 1 0 0 00 0 1 0 0( ) ( ) ( )0 0 0 1 062 .5 21 20 54 1( ) 15 62 18 75 0 0 ( )t t u ty t t? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?????xxx? % ? w=logspace(1,1)。 利用 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供的 margin( )函數(shù)可以求出系統(tǒng)的幅值裕量與相位裕量 ， 該函數(shù)的調(diào)用格式為 ? [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num,den) ? 或 [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(A,B,C,D) ? 式中 Gm和 Pm分別為系統(tǒng)的幅值裕量和相位裕量 ， 而 Wcg和 Wcp分別為幅值裕量和相位裕量處相應(yīng)的頻率值 ， 即相位穿越頻率 和幅值穿越 。 從圖中可以看出，當(dāng) ω→ 0時(shí)，相角趨于 0，當(dāng) ω→∞ 時(shí)，相角趨于 1800，當(dāng) ω=ω n時(shí)，相角等于 900，此時(shí)的幅值也最大。 title(‘Bode plot’)。 bode(num,den, w)。num=9。 a=[::]。 解： 當(dāng) a取 , Bode圖可直接采用 bode( )函數(shù)得到。semilogx(w,phase) ? 在同一個窗口上同時(shí)繪制出系統(tǒng)的 Bode圖了 ， 其中前一條命令中對幅值向量 mag求取分貝 (dB)值 。當(dāng)帶輸出變量引用函數(shù)時(shí)，可得到系統(tǒng) Bode圖相應(yīng)的幅值 mag，相位 phase及頻率點(diǎn)向量 ，其 ( , , , )A B C D???? 相互關(guān)系為 ? 相位以度為單位，幅值可轉(zhuǎn)換成以分貝為單位，即 1( ) ( )G j j?? ?? C I A B + D( ) ( ) , ( ) ( )m a g G j p h a s e G j? ? ? ?? ? ?( ) 2 0 * l o g 1 0 ( )m a g d B m a g?? 有 了 這 些 數(shù) 據(jù) 就 可 以 利 用 下 面 的