【正文】 ssG11)(??? ste t?2)1(1)11()()(????????sstett ?2)1(1)(???stett?)()( tettg t??? 電路的 S域模型如圖 a. 所示。 ? 1） KCL、 KVL的 S域形式 對 KCL和 KVL的時域形式 與 分別取單邊拉氏變換，則有 KCL和 KVL的 S域形式如下 () 式 ()表明：流入集總電路任一節(jié)點(diǎn)的電流的象函數(shù)的代數(shù)和為零；而沿集總電路中任一回路的各支路電壓的象函數(shù)的代數(shù)和也為零。試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng) 、完全響應(yīng) 以及系統(tǒng)函 數(shù) 和單位沖激響應(yīng) 。 由于 LTI連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的 n個初始狀態(tài) 是在初始時刻 之前的系統(tǒng)狀態(tài) ，因而容易確定，這樣就避開了時域分析中復(fù)雜的初值問題。 )()()( tgtftyf??)()()( sGsFsYf?1)(tyf圖 用拉氏變換法求 設(shè) 階 LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 （ ） 式 （ ）中， 為 y(t) 的 i 次導(dǎo)數(shù)， ； 為 f(t) 的 j 次導(dǎo)數(shù)， ， 且 a =1， m≤n 為實(shí)常數(shù)，則 n 階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 （ ） 式（ ）給出了系統(tǒng)微分方程與系統(tǒng)函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。 可得 )3()1(53)(2 ????ssssF ?)( ?tf)(sF 12,1 ??s 33 ??s)(sF3)1(1)(321211?????? sksksksF1])3()1( 53)1[( 12211 ??? ??? ??sss ssdsdk1|)3()1( 53)1( 12212 ??? ??? ??sss ssk1|)3()1( 53)3( 323 ???? ??? ??sss ssk31)1(111)(2 ?????? ssssF)()()( 3 teetetf ttt ???? ???例 已知 ，求 解： 由題 有二重極點(diǎn) 和單極點(diǎn) ，所以 ，其中 而 所以 即 為所求。 若 F(s)為假 分式，則必須用多項式除法將 F(s)分解為有理多項式（商）與有理真分式（余式）之和，即 01110111)()()(asasasbsbmbsbsAsBsFnnnmmmm????????????????)()()()()()(110 sASDsNsAsDscsccsF nmn ??????????)(sN )(t?)()( ti?的逆變換直接對應(yīng)于沖激函數(shù) 階導(dǎo)數(shù) 之和 其中，商 及其多 ),2,1( nmi ?? ? ； 而多項式除法的余式即 )()(sASD 則可展開為部分分式之和后再求逆變換。 下面主要介紹求解單邊拉氏逆變換的部分分式展開法。 在實(shí)際問題中，單邊拉氏逆變換的求解方法主要有查表法，部分分式展開法及反演積分法（留數(shù)定理）等三種，其中部分分式展開法是最常用的方法，是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。 在 時的極限 存在，并且 ， ， 只在 [s] 右半平面及虛軸上解析 的終值為 。 式中： 重積分。 此時 ， 時域 )()( sFtf ? )]R e [( 0??s )(1)(asFaatf ?)]R e[( 0?as ? a⑷ 尺度變換性質(zhì) 若 , 則 ， 式中 為大于 0的常數(shù)。 )()( sFtf ? )]R e [( 0??s)0()()()1( ??? fsFstf )]R e [( 0??s)0()0()()( )1(2)2( ?? ??? ffssFstf )]R e [( 0??????????? 10)(1)( )0()()( niiinnn fssFstf )]R e [( 0??s)(tf 0)0()( ??nf ),2,1,0( ??n)()()( sFstf nn ? )]R e [,21( 0??? sn ?，⑹ 時域微分性質(zhì) 若 ，則有 時域微分性質(zhì)中包含了信號的初始狀態(tài)，因此在求解系統(tǒng)的微分方程時，不僅能求解零狀態(tài)響應(yīng)，而且還能求解零輸入響應(yīng)，所以單邊拉氏變換的時域微分性質(zhì)非常重要。 )()( 11 sFtf ? )]R e [( 1??s )()( 22 sFtf ? )]R e [( 2??s)()()()( 22112211 sFasFatfatfa ??? ),m a x (]R e [ )21 ???s)()( sFtf ? )]R e [( 0??s)()()( 000 sFettttf ts???? ? 0]R e [ ??s 00 ?t)(tf 00 ?t)()()( 000 ttfttttf ???? ?⑴ 線性性質(zhì) 若 ，則 ， ⑵ 時移性質(zhì) 若因果信號： ，則有 注意， 必須是因果信號，且 時，上述性質(zhì)才成立， 此時 )()( sFtf ? )]R e [( 1??s )()( 00 ssFtfe ts ?? )]R e [( 10 ?? ??s0s ]Re[ 00 s??)(sF 1?)( 0ssF ? 10 ]R e [ ??? ss 10]R e [ ?? ??s⑶ 復(fù)頻移性質(zhì) 若 ， 則 ， 式中， 為復(fù)常數(shù)， 關(guān)于收斂域的說明：因為 的收斂域為 Re[s] ，所以 的收斂域也為 ，即 。 利用這些性質(zhì)并結(jié)合常用信號的單邊拉氏變換對 ，能夠較快地求解單邊拉氏變換和逆變換的問題。 其中 F(s)為 f(t)的象函數(shù)， f(t)則為 F(s)的原函數(shù)。即： F1(s)的收斂域為整個復(fù)平面， 或 σ=Re[s] ∞ seesesdtedtedtedtetdtetdtettsFsstststststststs?????????????????????????????????????????????????????1)1(1|1)()(])()([)(0001? 3） 單邊拉普拉斯變換 信號的單邊拉氏變換及其逆變換 (或反變換 )分別為 （ ） （ ） 式（ ）稱為的單邊拉氏變換 。由于 F(s)的存 在與否，完全由 s 的實(shí)部 σ決定，而與 s 的虛部 jω?zé)o關(guān)，因此 收斂域的邊界是平行于 jω軸的直線。由于 σ =Re[s]， 所以 F(s)是否存在，取決于是否選擇了適當(dāng)?shù)? s 。 te ??tsetje ??tse?tje ??? js ?? )( 為實(shí)數(shù)， ?? 連續(xù)信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 ? 拉普拉斯變換 ? 用拉普拉斯變換法求解微分方程 ? R LC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 ? 閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡 ? 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能 拉普拉斯變換 ? 1）從傅立葉變換到拉普拉斯變換 用 表示信號 的傅立葉變換 ， 由傅里葉 變換的定義 ， 則有： 令 ， 則有： （ ） 式（ ）即為信號 f(t)的雙邊拉普拉斯變換，記為 = )( ?? jF ? tetf ??)(tdetftdeetfjF tjtjt ?? ??? ?????? ? ??? )()()()( ?????? ?? js ??tdetfsF ts? ??? ?? )()()(sF )]([ tf同樣，根據(jù)傅里葉逆變換的定義，則有： （ ） 式（ ）稱為 F(s)的拉普拉斯逆變換，記為 sdesFjtf jj ts? ?? ??? ??? )(2 1)( ?)(tf 1 )]([ sF2） 雙邊拉普拉斯變換的收斂域 任一信號 f(t)的雙邊拉氏變換 F(s)是否存在，完全取決于是否選擇了合適的 σ。 ? 復(fù)頻域分析法則是能夠有效克服頻域分析法局限性：不僅能夠避免出現(xiàn)信號分析的死區(qū)，全面解決信號的復(fù)頻域分析問題；而且能夠求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)問題，即可以求解系統(tǒng)的完全響應(yīng)，使信號與系統(tǒng)的分析更為完整、簡潔。第 7章 信號與系統(tǒng)控制的復(fù)頻域分析法 復(fù)頻域分析法及其特點(diǎn) 連續(xù)信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 離散信號與系統(tǒng)控制的復(fù)頻域分析 復(fù)頻域分析法及其特點(diǎn) ? 什么是復(fù)頻域分析法 ? 復(fù)頻域分析法的主要特點(diǎn) 什么是復(fù)頻域分析法 ? 復(fù)頻域分析法包括連續(xù)信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析與離散信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析兩部分； ? 在連續(xù)信號與系統(tǒng)的分析中，復(fù)頻域分析法即拉普拉斯分析法； ? 在離散信號與系統(tǒng)的分析中，復(fù)頻域分析法則稱為 Z變換法。 ? 頻域分析法揭示了信號的頻譜特性和系統(tǒng)的頻域特性，但頻域分析法有兩個局限性：一是某些信號的傅立葉變換不存在，給信號與系統(tǒng)的分析帶來了很大的不便；另一個最大的局限性就是只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 復(fù)頻域分析法的主要特點(diǎn) ? 在連續(xù)信號與系統(tǒng)的分析中，復(fù)頻域分析法的主要特點(diǎn)是在頻域分析法的基礎(chǔ)上引入衰減因子 ，使傅立葉正變換中的 變成 ；使原來頻域分析中的基本虛指數(shù)信號 擴(kuò)展為復(fù)頻域分析中的基本復(fù)指數(shù)信號 ，其中 即為復(fù)頻率 ； 同時也使傅立葉變換成為了拉普拉斯變換。只要選擇了合適的 σ，就能滿足絕對可積條件，即： ?????? ? dtetf t?|)(| 此時， f(t) 的雙邊拉氏變換 F(s)就一定存在。在復(fù)平面上， 能使 F(s)存在的 s 的取值范圍稱為 F(s) 的收斂域。 ? 例 求時限信號 f1(t)=ε(t)ε(tτ),τ 0 的雙邊拉氏變換及其收斂域 解：設(shè) f1(t)的雙邊拉氏變換為 F1(s)，則有 由上述積分過程可知： F1(s)的存在與 σ的取值無關(guān)可任意選取。 式（ ）為的單邊拉氏反變換 。 tdetfsF ts? ? ???0)()(?????????????jjts tsdesFjttf ???0)(2100)(? 4) 常用信號的單邊拉普拉斯變換對 ⑴ 沖激信號 , 即 :