【正文】 對任意輸入響應(yīng) impulse() 求連續(xù)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) dlism() 求離散系統(tǒng)對任意輸入響應(yīng) dimpulse() 求離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 表 5－１時域響應(yīng)函數(shù) ? ? 生成任意信號函數(shù) gensig( )的調(diào)用格式為 ? [u,t]=gensig(type,Ta) ? 或 [u,t]=gensig(type,Ta,Tf,T) ? 其中 ,第一式產(chǎn)生一個類型為 type的信號序列 u(t)，周 期 為 Ta ， type 為 以 下 標(biāo) 識 字 符 串 之一： ’ sin’— 正 弦 波 ； ’ square’— 方波； ’ pulse’—脈沖序列；第二式同時定義信號序列 u(t)的持續(xù)時間 Tf和采樣時間 T。 ? end 0111????????x = x執(zhí)行結(jié)果顯示： P0,正定，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的 課后作業(yè) ? P216， 7－ 1 控制系統(tǒng)的時域分析 利用時域分析方法能夠了解控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，如系統(tǒng)的上升時間，調(diào)節(jié)時間，超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差都可以通過系統(tǒng)在給定輸入信號作用下的過渡過程來評價。系統(tǒng)不穩(wěn)定 39。)。 n20) ? disp(39。n2=length(i2)。n1=length(i1)。P=lyap(A,Q)。1 1]。 ? AP+PB=Q (54) ? 對于離散系統(tǒng)的李雅普諾夫方程的求解函數(shù)為 ? dlyap(). ? 【 例 54】 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ? 其平衡狀態(tài)在坐標(biāo)原點(diǎn)處，試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ? MATLAB提供了李雅普諾夫方程的求解函數(shù)lyap( )，其調(diào)用格式為 ? P=lyap(A ,Q) ? 式中， A,Q和 P矩陣與式（ 53）中各矩陣相對應(yīng)。在這種情況下，利用李雅普諾夫第二法比較有效，尤其在系統(tǒng)含有非線性環(huán)節(jié)時更是如此。else disp(‘System is Stable’)。n=length(ii)。 r=eig(A)。)。 else disp(39。system is Unstable39。n=length(ii)。r=roots(P)。 ]。 。 解：可利用以下的 MATLAB程序。當(dāng)然判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性同樣可利用特征值來判斷。其中， 稱為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式系數(shù)。)。 else disp(39。 unstable pole39。system is Unstable,with 39。n1=length(ii)。 r=roots(denc)。den0=[1 0 0 0 0 0]。 系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，如圖 71所示 . 2 1 . 5 1 0 . 5 0 0 . 51 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 81Z e r o p o l e M a pR e a l A x i sImage Axis圖 51 零極點(diǎn)圖 【 例 52】 已知離散系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為： 判斷單位負(fù)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性。)。 else disp(39。)。 if (n10) disp(39。 ii=find(real(p)0)。den=[3 5 1 2 2 1]。 ? [例 51] 已知閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ? 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并給出不穩(wěn)定極點(diǎn)。本節(jié)主要介紹幾種利用 MATLAB來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。對離散系統(tǒng)來說，如果一個系統(tǒng)的全部極點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)，則此系統(tǒng)可以被認(rèn)為是穩(wěn)定的。 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 在分析控制系統(tǒng)時，首先遇到的問題就是系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這樣做不但會大大提高運(yùn)算的效率，而且可以提高仿真的精度和可靠性。在前面曾經(jīng)介紹過一般常微分方程的數(shù)值解法，該方法是系統(tǒng)仿真的基礎(chǔ)。第 5章 控制系統(tǒng)的計算機(jī)輔助分析 ? 系統(tǒng)仿真實(shí)質(zhì)上就是對描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。對控制系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型實(shí)際上就是某種微分方程或差分方程，因而在仿真過程中需要根據(jù)某種數(shù)值算法從系統(tǒng)給定的初始值出發(fā)，逐步地計算出每一個時刻系統(tǒng)的響應(yīng)，最后繪制出系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，由此來分析系統(tǒng)的性能。其實(shí)，對于各種線性系統(tǒng)模型在典型輸入信號作用下來說，當(dāng)然沒有必要采用那些通用的算法來完成這種任務(wù)，而是應(yīng)該充分地利用線性系統(tǒng)的特點(diǎn)，采取更簡單的方法來得到問題的解。本章主要介紹利用 MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱所提供的函數(shù)對線性系統(tǒng)進(jìn)行計算機(jī)分析和處理。對線性系統(tǒng)來說，如果一個連續(xù)系統(tǒng)的所有極點(diǎn)都位于左半 s平面，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由此可見，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全取決于系統(tǒng)的極點(diǎn)在根平面上的位置。 ? ? 判斷一個線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種最有效的方法是直接求出系統(tǒng)所有的極點(diǎn)，然后根據(jù)極點(diǎn)的分布情況來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對于極點(diǎn)的求取我們在上節(jié)中已作過介紹，下面舉例說明其判斷方法。 4 3 25 4 3 23 2 4 2()3 5 2 2 1s s s sGss s s s s? ? ? ??? ? ? ? ?解：可以利用下面的 MATLAB程序 % num=[3 2 1 4 2]。 [z,p]=tf2zp(num,den)。n1=length(ii)。The Unstable Poles are:39。 disp(p(ii))。System id Stable39。end 執(zhí)行結(jié)果顯示： The Unstable Poles are: + 當(dāng)然，如果增加以下兩條語句，則可畫出例 51 系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，如圖 51所示。 解：則可利用下面的 MATLAB程序： % num0=[5 4 1 3 ]。 [numc,denc]=cloop(num0,den0)。ii=find(abs(r)1)。 if (n10) disp([39。,int2str(n1),39。])。System is Stable39。 End 執(zhí)行結(jié)果顯示： system is Unstable,with 1 unstable pole 5 4 3 255 4 0 . 6 3 0 . 5( ) ,z z z z zGzz? ? ? ? ?? 對于線性定常系統(tǒng) 稱多項(xiàng)式 為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式。 令特征多項(xiàng)式等于零，即得系統(tǒng)的特征方程 |sIA|=sn+a1sn1+…+ an1s+an＝ 0 的根稱為系統(tǒng)的特征值，即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。 【 例 53】 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ? x = Ax + Buy = Cx + D u111( ) de t .. .nnnnf s s s s a s a s a??? ? ? ? ? ? ?I A I A12, , .. ., na a a 5 5 5 46 5 5 5 5 24 5 5 1 22 5 5 5 5 02u? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ????? ? ? ?x = x +判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 % A=[ 5 。 1。 P=poly(A)。ii=find(real(r)0)。 if (n0) disp(39。)。System is Stable39。 end 執(zhí)行結(jié)果顯示： System is Stable 對于例 53，利用下列命令可得同樣的結(jié)果。ii=find(real(r)0)。 if(n0) disp(‘System is Unstable’)。end ? 在高階系統(tǒng)或者特征多項(xiàng)式中，當(dāng)某些系數(shù)不是數(shù)值時，利用求閉環(huán)極點(diǎn)或特征值的方法來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性是比較困難的。 ? 線性定常連續(xù)系統(tǒng) ? (52) ? 在平衡狀態(tài) xe=0處，漸近穩(wěn)定的充要條件是：對任給的一個正定對稱矩陣 Q，存在一個正定的對稱矩陣 P，且滿足矩陣方程 ? ATP＋ PA＝－ Q (53) ? 而標(biāo)量函數(shù) V(x)=xTPx是這個系統(tǒng)的一個二次型形式的李雅普諾夫函數(shù)。 Axx ??? 更一般的，利用函數(shù) P=lyap(A ,Q)可以求解下面給出的李雅普諾夫方程。 ? 解： MATLAB程序?yàn)椋? ? % ? A=[0 1。Q=eye(size(A))。 ? i1=find(P(1,1)0)。 ? i2=find(det(P)0)。 ? if(n10 amp。P0,正定，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的 39。 ? else ? disp(39。)。Matlab控制系統(tǒng)工具箱中提供了多種求取多種線性系統(tǒng)在特定輸入下的時間響應(yīng)曲線的函數(shù)，如表 5－１所示。 ? 例 55 生成一個周期為 5秒 ， 持續(xù)時間為30秒 ， 采樣時間為 。 ? [u,t]=gensig(’square’,5,30,)。函數(shù)返回值 y為系統(tǒng)在各個仿真時刻的輸出所組成的矩陣；而 x為自動選擇的狀態(tài)變量的時間響應(yīng)數(shù)據(jù) 。 ? 【 例 5－ 6】 假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ? 試求該系統(tǒng)在單位負(fù)反饋下的階躍響應(yīng)曲線和最大超調(diào)量。den0=[1 8 36 40 0]。 ? t=0::10。plot(t,y) ? M=((max(y)1)/1)*100。 4 3 220()8 36 40Gss s s s?? ? ?? 另外，對于例 5－ 6結(jié)果，也可利用step(num,den,t)命令得到。 S t e p R e s p o n s eT i m e ( s e c )Amplitude0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 4S y s t e m : s y sP e a k a m p l i t u d e : 1 . 0 3O v e r s h o o t ( % ) : 2 . 5 5A t t i m e ( s e c ) : 5 . 8圖 53 例 5－ 6的單位階躍響應(yīng)曲線 ? 例 57 對于典型二階系統(tǒng) ? ? 試?yán)L制出無阻尼自然振蕩頻率 ωn=6， 阻尼比 ζ分別為 ,… ,位階躍響應(yīng)曲線 。zeta=[::,]。hold on for k=zeta。 den=[1,2*k*wn,wn.^2]。end title(39。)。 從圖中可以看出，在過阻尼 ( ) 和臨界阻尼 ( ) 響應(yīng)曲線中，臨界阻尼響應(yīng)應(yīng)具有最短的上升時間，響應(yīng)速度最快；在欠阻尼（ ） 響應(yīng)曲線中，阻尼系數(shù)越小，超調(diào)量越大，上升時間越短，通常取 1?? 1??01???0 .4 ~ 0 .8? ?? 為宜，這時超調(diào)量適度，調(diào)節(jié)時間較短。 ? 解： MATLAB程序?yàn)椋? ? % ? w=[2:2:12]。 ? figure(1)。 ? den=[1,2*zeta*wn,wn.^2]。end ? title(39。)。 例 59 已知二階離散系統(tǒng) 試求其單位階躍響應(yīng) 。 den=[1 ]。 title(‘Piscrete Step Response’) 執(zhí)行后得如圖 57所示的單位階躍響應(yīng)曲線。 ? 解：這是雙入雙出系統(tǒng)，因此其階躍響應(yīng)應(yīng)有 4個。 。 ]。2 4。0 2]。0 2 0 2]。 ? figure(1)。 ? ? 對于連續(xù)系統(tǒng)由初始狀態(tài)所引起的響應(yīng) ，即零輸入響應(yīng) ， 可由函數(shù) initial( )來求得 ， 其調(diào)用格式為 ? [y,x,t]=initial(A,B,C,D,x0) ? 或 [y,x,t]=initial(A,B,C,D,x0,t) ? 其中 x0為初始狀態(tài) ， 其余參數(shù)定義同前 。 ? 【 例 5－ 11】 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： ? 以 T＝ ，采用雙線性變換算法轉(zhuǎn)換成離散系統(tǒng)，然后求出離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)、單位脈沖響應(yīng)及零輸入響應(yīng)（設(shè)初始狀態(tài) x0=[1 1 1 1]T） ? 解