【導讀】連續(xù)系統(tǒng)時域與復頻域分析的計算機仿真。指導教師曹才開學生姓名詹宏福。信號的定義及分類。系統(tǒng)的微分方程描述及其算子表示。系統(tǒng)的零輸入響應與零狀態(tài)響應。沖激函數與階躍函數。沖激響應與階躍響應。卷積的概念及其性質。連續(xù)系統(tǒng)時域分析的MATLAB實現。常用信號的拉普拉斯變換。始值定理與終值定理。拉氏反變換－－部分分式展開法。系統(tǒng)函數H的零、極點分析。H的零、極點分布與時域特性的關系。起止日期工作內容。2020．—認真閱讀自己的對論文初稿進行修改和完善，編寫畢業(yè)設計說明書。2020．—通過指導老師曹教授的指點，對畢業(yè)設計文檔進行相應的修改，以符合設計要求。工業(yè)出版社，2020。[7]鄭君里、應啟珩、楊為理，信號與系統(tǒng)[M]，北京：高等教育出版社，2020。學生姓名詹宏福學號402070136班級電信0701. 答辯委員會主任簽名：。完成時間：2020年5月

　　

【正文】 證明 : 從卷積與拉氏變換定義出發(fā)，則有 L ? ? ? ? dtedtfftftf st?? ?? ? ???0 0 2121 )()()()( ??? 令 , )( dxdteeeext sxsxsst ?????? ????? ??? 則 於是有 ? ?)()()()()()(210 20 10 0 21sFsFdxexfdefdxdeexffsssxs?? ??? ?? ?? ??? ? ???????? 卷積定理的重要應用之一是用於系統(tǒng)分析。因為零狀態(tài)回應 )()()( thtftyf ?? 取拉氏變換，有 )()()( sHsFsYf ? 始值定理與終值定理 始值定理敘述如下： 若 )()()( sFttf ?? ，且 )(sF 為真分數，則 )(tf 的始值為 )()0( l i m ssFfs ??? ? () 若 )(sF 為假分數，則可分解為 )()()( 1 sFsNsF ?? 其中 )(sN 為 s 整次冪的多項式， )(1sF 為真分數，然後再將 )(1sF 代入式 () 中進行計算。 應該注意：無論拉氏變換中積分限所規(guī)定的是 ?0 、 0 還是 ?0 ，用式 () 求)(tf 的始值必定為 )0( ?f 。當然，在 0?t 處不出現沖激信號時， )0()0( ?? ? ff 。 另外，如果 )0( ?f 不存在，但 )(lim ssFs ??也可能存在。因此，這個定理只適應 )0( ?f存在的情況。 終值定理敘述如下： 若 )()()( sFttf ?? ，且 )(ssF 的收斂域包括 ?j 軸，則 )(tf 的終值為 )()( lim0 ssFf s??? () 用式 () 計算 )(tf 的終值時，當 s=0 時， )(ssF 不能無限大，因此，要求 )(ssF的收斂域包括 ?j 軸。 同樣，如果 )(?f 不存在，但 )(lim0 ssFs?也可能存在。因此，這個定理只適應)(?f 存在的情況?；蛘哒f， )(tf 應為收斂函數。例如，當 )(tf 為週期函數時，終值定理就不適應了。 表 拉氏變換的性質 名稱 時域)0()( ?ttf 複頻域 )(sF 定義 線性 頻移特性 延時特性 尺度變換 卷積定理 微分定理 積分定理 初值定理 終值定理 dsesFjtf jj st? ?? ??? ??? )(21)( )()( 2211 tfatfa ? )(0 tfe ts )()( 00 ttttf ?? ? 0),( ?aatf )(*)( 21 tftf )()()(/tf tf n ??t dxxf0 )( )0(),()( ?? ftf n )(lim)0( sFsf s ?? ??? dtetfsF st???? )()( 0 )()( 2211 sFasFa ? )( 0ssF ? )(0 sFe st? )(1 asFa )()( 21 sFsF )0()0()0()()0()()1(/21???????????????nnnnffsfssFsfssF )(1 sFs )(1 sFsn )(lim)( 0 sFsf s ??? ? 拉氏反變換 ——部分分式展開法 應用拉氏 變換法求解系統(tǒng)的時域回應時，不僅要根據已知的激勵信號求其象函數還必須把回應的象函數再反變換為時間函數，這就是拉氏反變換。求拉氏反變換最簡單的方法是利用拉氏變換表，但它只適用於有限的一些簡單變換式，而從系統(tǒng)求得的象函數一般並非表中所列的形式。為此，這裏要介紹對 )(sF 進行反變換的一般方法。 對線性系統(tǒng)而言，回應的象函數 )(sF (在本節(jié)中，無論是輸入信號還是輸出信號的象函數均用 )(sF 表示 )常具有有 理分式的形式，它可以表示為兩個實係數的 s 的多項式之比，即 asasasabsbsbsbnnnnmmmmsDsNsF0......)()()(1110111?????????????? () 式中的 m 和 n 為正整數，且 mn? 。 )(sF 為有理分式。對此形式的象函數可以用部分分式展開法 (或稱為分解定理 )將其表示為許多簡單分式之和的形式，而這些簡單項的反變換都可以在拉氏變換表中找到。部分分式展開法簡單易行，避免了 應用式 ()求反變換時要計算複變函數的積分問題。 用部分分式展開有理分式 )(sF 時，第一步是把有理分式化為真分式。若mn? ，則 F(s)為真分式；若 mn? ，則 )( )()( 0 sD sNAsF ?? 其中，餘數項 )(/)(0 sDsN便是一個真分式。上式中的 A 是一個常數，其對應的時間函數為 )(tA? 。所以在下面的討論中都假定 )(sF 為真分式。 用部分分式展開有理分式 )(sF ，首先必須求出 D(s)=0 的根。下麵就這些根的不同情況分別討論 )(sF 的展開方法。 D(s)=0 有 n個單根的情況 設 n 個單根分別為 nppp ，， ?21 。於是 )(sF 可以展開為 )(2211nn ps kps kps ksF ??????? ? () 式中 nkkk 、 ?21 等是待定係數。這些係數可以按下述方法確定，把上式兩邊都乘以 ? ?1ps? ，得 ? ? ? ? ???????? ????????npskps kpsksFps n?22111 )( 令 1ps? ，則等式除第一項外都變?yōu)榱?，這樣就求得 1)]()[( 11 pssFpsk ??? 同理可求得 nkkk ，、 ?32 。所以確定式 ()中各待定係數的公式為 ? ?? ? nsFpsk ips iii . . . ,3,2,1 )( ???? () 由於 F(s)=N(s)/D(s),所以 )( )()()]()[( 1 iiiipsii pD pNppsFpsk ???? ? 因為ip是 D(s)=0 的一個根，因上面關於 ik 的運算式為 0/0 的不定式，可以用羅必塔法則來確定 ik 的 值如下 )( )()( )()()(l i m)( )()(l i m ///iiipsipsi pD pNsD sNsNpssD sNpskii ???????? 所以確定式 ()中各待定係數的另一公式為 )( )(/ iii pD pNk ? ni ,...,3,2,1? () 於是， )(sF 所對應的原函數 )(tf 為 tpnini iitpi ii epD pNektf ? ?? ??? 1 1 / )()()( () D(s)=0 具有共軛複根的情況 由於 D(s)是 s的實係數多項式，所以 D(s)=0 若出現複根，則必然共軛成對。若 D(s)=0 有一對共軛複根， ?? japjap ???? 21 , 則有 ? ?? ?? ?? ????????jsjasjasjassDsNsFjasksDsNsFjask????????????????)()()()()()(/2/1 由於 )(sF 是實係數多項式之比，故 21,kk 必為共軛複數。如設 111 ?jekk ? ，則112 ?jekk ?? ，於是在 )(sF 的展開式中，將包含如下兩項 ?? jas kjas k ????? 21 在對應的原函數 )(tf 中將包含如下分量 ? ? ? ? ? ?)c o s (2 1111)()(121???????????????????????tekeeekekekattjtjattjatja () D(s)=0 具有重根的情況 設 D(s)中含有 3)( 1ps? 的因式，則 1p 為 D(s)=0 的 三重根。對這類 )(sF 進行分解時，首先假設存在著常數 131211 kkk 、 ，使得 )(sF 的展開式中包含如下與 1p有關的 3項，即 ?? ???????? ni iips kps kps kps ksF 231112112113 )()()()( () 現在的問題是如何確定 131211 kkk 、 。若把式 ()兩邊都乘以 3)( 1ps? ，則 11k 被單獨分離出來，即 ?? ?????????ni iipskpskkpskpssFps23111121323)()()()()()(111 () 所以 11k 便可確定如下 1)()( 3111 pssFpsk ??? 再對式 ()兩邊對 S求導一次，則 12k 被分離出來，即 ?? ???????ni ii ps kpsdsdkkpssFpsdsd2311213131 ])()[()(2)]()[( 所以 12k 便可以確定如下 1)]()[( 3112 pssFpsdsdk ??? 利用同樣的方法可以確定 13k 1)]()[(21 312213 pssFpsdsdk ??? 因此，式 ()對應的拉氏反變換為 )()(])!13([)( 22111213 111 tektetktekektf tpinitptptp i ?? ??????? 系統(tǒng)的複頻域分析 系統(tǒng)函數 )(sH 系 統(tǒng)函數 )(sH 的定義 在第 2 章中，我們曾經討論過單輸入、單輸出 LTI 系統(tǒng)微分方程的一般形式為 )()()()( )()()()( 0)1(1)1(1)( 0)1(1)1(1)(tfbtfbtfbtfb tyatyatyatya mmmmnnnn???????? ??????? ???? () 設輸入信號 )(tf 為因果信號，且系統(tǒng)初始狀態(tài)為零。對式 () 兩邊進行拉氏變換得： )()()()( )()()()( 0111 0111sFbssFbsFsbsFsb sYassYasYsasYsa mmmmnnnn???????? ??????? ???? 整理上式得： ??? )( )()( )()( sF sYsF sYsH f asasaa bsbsbsb nnnnmmmm01110111 ...... ???? ???? ???? () 式中 )(sYf 為系統(tǒng)零狀態(tài)回應， )(sH 為系統(tǒng)函數， n≥ m。為此可見：系統(tǒng)函數)(sH 定義為系統(tǒng)零狀態(tài)回應的象函數與設輸入信號的象函數之比。系統(tǒng)函數 H(s) 僅與系統(tǒng)本身結構和元件參數有關，與激勵 (包括初始值 ) 和回應的形式無關。 系統(tǒng)函數 )(sH 的物理意義與系統(tǒng)的性質、激勵變數和回應變數不同而不同。例如 RLC 單口網路的端口電壓 )(sU 和 電流 )(sI ，其中一個為激勵變數，另一個為回應變數，它們之比，即系統(tǒng)函數 )(sH 就有兩種情況： 若 )(sU 為回應變數， )(sI 為激勵變數，則系統(tǒng)函數為 )()( )()(1 sZsI sUsH ?? 這時系統(tǒng)函數 )(1sH 就是這個單口網路 (即系統(tǒng) )的輸 入阻抗。 若 )(sU 為激勵變數， )(sI 為回應變數，則系統(tǒng)函數為 )()( )()(2 sYsU sIsH ?? 這時系